A note on the μ-zeros of combinations of cross-product bessel functions

Summary

In the problem of diffraction of elastic waves in annular circular, or cylindrical (doubly connected) domains, the zeros of complicated combinations of cross-products of cylinder functions as analytic functions of the index γ=n+i μ (in general complex) are required. In this note, the imaginary μ-zeros of two such combinations of cross-products of two identical doubly connected domains, however with two different boundary conditions on one boundary, are asymptotically computed and graphically displayed. It is shown that even for such a comparison of different boundary conditions, one can obtain with a minimum effort in mathematics asymptotic distributions and the relative dispositions of the respective μ-zeros. It is then rather simple to determine with a computer the exact positions of the μ-zeros.

Zusammenfassung

Bei der Behandlung des Beugungsproblems elastischer Wellen in kreisringförmigen oder zylindrischen (zweifach zusammenhängenden) Bereichen werden die Nullstellen komplizierter Produktkombinationen von Zylinderfunktionen benötigt, und zwar als analytische Funktionen ihrer im allgemeinen komplexen Ordnung γ=n+i μ. In dieser Arbeit werden die imaginären μ-Nullstellen zweier solcher Produktkombinationen in zwei identischen, zweifach zusammenhängenden Bereichen, jedoch mit an einem Rand verschiedenen Randbedingungen, asymptotisch berechnet und graphisch dargestellt. Es wird gezeigt, daß man selbst bei einem solchen Vergleich verschiedener Randbedingungen mit einem Minimum an mathematischem Aufwand asymptotische Verteilungen und die relativen Lagen der entsprechenden μ-Nullstellen erhalten kann. Es ist dann ziemlich einfach, mit Hilfe eines Rechners die exakten Lagen der μ-Nullstellen zu bestimmen.