An analysis of the Hui-Riedel equation

Abstract

We consider several of the features exhibited by the equation derived by Hui and Riedel for the angular variation of the stress function near the tip of a crack propagating under steady-state, quasi-static, antiplane strain conditions in an elastic/power-law creeping material. We show that the regularity condition imposed in front of the crack tip by Hui and Riedel as an extra boundary condition is in fact implicit in the physically derived boundary conditions, and does not therefore constitute an independent boundary condition. On the other hand, these physical boundary conditions do not imply that the solution is regular on the crack flank. Despite an apparent shortage of boundary conditions, uniqueness of positive solutions can be explained as behavior typical of certain kinds of nonlinear eigenvalue problems. We further examine the asymptotic behavior of the solution for large values of the power-law exponent. Here it is shown that the solution is not the elastic-perfectly plastic solution, as might be supposed, but rather a solution which is in good agreement with the numerical results of Hui and Riedel.

Résumé

On considère diverses caractéristiques que présente l'équation dérivée par Hui et Reidel pour la variation angulaire de la fonction de contrainte au voisinage de l'extrémité d'une fissure, qui se propage sous des conditions de déformation stable quasi-statique et anti-planaire dans un matériau soumis à fluages élastique et non-élastique. On montre que la condition de régularité imposée au front de l'extrémité de la fissure par Hui et Reidel est, comme condition aux limites supplémentaires, en fait implicite dans les conditions aux limites dérivées de la physique et qu'elles ne constituent dès lors pas une condition aux limites indépendantes. D'autre part, ces conditions aux limites physiques n'impliquent pas une solution régulière sur le flanc de la fissure. En dépit d'une apparente limitation des conditions limites, l'unicité des solutions positives peut être expliquée par le comportement typique de certaines sortes de problèmes non linéaires d'eigenvalue. On examine en outre le comportement asymptotique de la solution dans le cas de valeurs élevées de l'exposant de la loi de déformation. On montre que la solution n'est pas une solution élastique-parfaitement plastique comme on pourrait le supposer, mais plutôt une solution qui est en bon accord avec les résultats numériques de Hui et Reidel.