Far field velocity potential induced by a rapidly decaying vorticity distribution

Abstract

We study the velocity field induced by a vorticity distribution decaying rapidly in the distancer from the origin. In the far field, the vector potential for the velocity field can be represented by a series ΣA ⁽ⁿ⁾, withA ⁽ⁿ⁾ proportional tor ⁻ⁿ−1, forn=1, 2, .... We show thatA ⁽ⁿ⁾ can be expressed as a linear combination ofM _n linearly independent vector functions. The numberM _n is equal to 3 forn=1 and 4n forn≥2 and the coefficient of a vector function is defined by a linear combination of$\frac{3}{2}(n + 1)(n + 2)$ nth moments of vorticity. We then show that only 2n+1 linear combinations of thoseM _n vector functions contribute to the far field velocity which is irrotational. The corresponding scalar potential Φ⁽ⁿ⁾ is then represented by a linear combination of 2n+1 spherical harmonics ofnth order whose coefficients are again linear combinations ofnth moments of vorticity.

Zusammenfassung

Die vorliegende Arbeit beschreibt das Geschwindigkeitsfeld fernab einer Wirbelverteilung, welche mit dem Abstandr vom Ursprung eines geeigneten Bezugssystems hinreichend schnell abklingt. Die Geschwindigkeit besitzt ein Vektorpotential, dessen Fernfeldverhalten einer Reihenentwicklung ΣA ⁽ⁿ⁾, genügt. Dabei istA ⁽ⁿ⁾ proportional zur ⁻ⁿ−1 fürn=1, 2, .... Wir entwickeln eine explizite Darstellung vonA ⁽ⁿ⁾ als Linearkombination vonM _n linear unabhängigen Vektorfunktionen. Die auftretenden Koeffizienten sind ihrerseits Kombinationenn-ter Momente der Wirbelverteilung. Die ZahlM ₁ ist gleich 3 und es istM _n=4n fürn≥2, während die Gesamtzahl dernten Momente$\frac{3}{2}(n + 1)(n + 2)$ beträgt. Weiterhin zeigen wir, da\ nur 2n+1 dieser Vektorfunktionen auch zum drehungsfreien Fernfeld der Geschwindigkeitn-ter Ordnung beitragen können und identifizieren die zugehörigen Kombinationen von Wirbelmomenten. Dieselben Kombinationen liefern dann auch die Koeffizienten in einer Entwicklung desskalaren Fernfeldpotentials nach Kugelfunktionen.