A new application of Lagrange-Bürmann expansions. I. General principle

  • Naoyuki Tokuda
Original Papers

Abstract

A new scheme is developed for improving the convergence of slowly convergent series solutions. The method is based on a transformation of variables of similarity form whereby the resulting composite function is constructed by its Lagrange-Bürmann expansion. It is the improved convergence of the new expansion that we take most advantage of in this method. The convergence of the Lagrange-Bürmann expansion as well as its inversion scheme is proved for analytic (object) functions. The inversion is required to recover from the Lagrange-Bürmann expansion the object function which is imbedded in the mapping functions.

Several numerical examples demonstrate the improved convergence of the new method. The improvement owes much to the invariance properties of the mapping function under a group and the “built-in” feature of analytic continuation of the method. These features are elucidated in detail.

Keywords

Object Function Mathematical Method General Principle Mapping Function Analytic Continuation 

Zusammenfassung

Ein neues Schema zur Konvergenzverbesserung für langsam konvergierende Reihen dargestellter Lösungen wird entwickelt. Die Methode beruht auf eine Ähnlichkeittransformation der Veränderlichen, wodurch eine schneller konvergierende zusammengesetzte (Lagrange-Bürmannsche) Entwicklung nach neuen Veränderlichen erhalten wird. Die Konvergenz der Lagrange-Bürmannschen Entwicklung und diejenige ihrer Inversion werden für analytische (Objekt-)Funktionen bewiesen. Die inverse Funktion wird benötigt, um die in den Abbildungsfunktionen eingebettete Objektfunktion aus der Lagrange-Bürmannschen Reihe herauszuziehen.

Einige numerische Beispiele erläutern die verbesserte Konvergenz der neuen Methode. Der Erfolg der Methode beruht zur Hauptsache auf der besonderen Wahl der eingeführten Veränderlichen, die eng mit der Invarianz von Differentialgleichungskoeffizienten der Objekt-Funktion unter einer kontinuierlichen einparametrigen Transformation verknüpft ist. Einer Eigentümlichkeit der Methode ist die Möglichkeit der analytischen Fortsetzung auf einen ausgedehnteren Bereich, der den ganzen Bereich von physikalischem Interesse enthalten kann.

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Copyright information

© Birkhäuser Verlag 1983

Authors and Affiliations

  • Naoyuki Tokuda
    • 1
  1. 1.Faculty of General EducationUtsunomiya UniversityUtsunomiyaJapan

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