A convexity property of zeros of Bessel functions

Abstract

Fork=1, 2,... letj _vk andc _vk be thek-th positive zeros of the Bessel function

$$C_v \left( x \right) = C_v \left( {\alpha ;x} \right) = J_v \left( x \right)\cos \alpha - Y_v \left( x \right)\sin \alpha , 0 \leqslant \alpha< \pi$$

whereY _v (X) is the Bessel function of the second kind. Using the notationj _vκ =C _vk withκ=k−α/π introduced in [3] we show that the functionj _vκ +f(v) is convex with respect toυ≥0 forκ≥0.7070..., wheref(υ) is defined in the theorem of section 2. As an application we find the inequality 0 >j _0κ +j _1κ − 2κπ > log 8/9, where κ≥0.7070....

Sunto

Perk=1,2,..., sianoj _vk ec _vk rispettivamente ilk-esimo zero della funzione di BesselJ _v (X) di prima specie e della funzione cilindrica

$$C_v \left( x \right) = C_v \left( {\alpha ;x} \right) = J_v \left( x \right)\cos \alpha - Y_v \left( x \right)\sin \alpha , 0 \leqslant \alpha< \pi$$

doveY _v (X) rappresenta la funzione di Bessel di seconda specie. Usando la notazionejC _vκ con κ =k−α/π, introdotta in [3], si dimostra che la funzionej _vκ +f(v) é convessa rispetto aυ≥0 perκ≥0.7070..., dovef(υ) é definita nel teorema del par. 2. Come applicazione troviamo la doppia disuguaglianza 0 >j _0κ +j _1κ − 2κπ > log 8/9, dove κ≥0.7070....