Surface- and interface oscillations of a rotating viscoelastic liquid column of immiscible liquids

Summary

The natural damped coupled frequencies of a solidly rotating visco-elastic infinite liquid column with no axial dependency (∂/∂z=0, two-dimensional problem) have been determined. The frequency equation is numerically evaluated for a single visco-elastic liquid column, where the influence of the tension parameterTa/ϱv ², the relaxation parameter τ^*/a ² and the rotational Reynoldsnumber$\tilde Re = \Omega _0 a^2 /v(\tilde Re \equiv \sqrt {\tilde T} a,\tilde Ta$=Taylornumber) has been determined. It was found that the liquid column becomes unstable for a rotational speed$\Omega _0^2 \geqq \frac{T}{{\rho a^3 }}(m^2 - 1)$, which is much earlier than in the case of frictionless liquid, where$\Omega _0^2 \geqq \frac{T}{{\rho a^3 }}m(m + 1)$. In addition the stability boundary does neither depend on the magnitude of the viscosity nor the Maxwell relaxation time τ^* of the liquid. The complex frequencies are presented for the modem=2, where the cross-section of the liquid column assumes during its oscillation an elliptic shape.

Zusammenfassung

Es werden die gekoppelten gedämpften Frequenzen einer rotierenden visko-elastischen Flüssigkeitssäule ohne axiale Abhängigkeit (zweidimensionales Problem) aus nichtmischbaren Flüssigkeiten bestimmt. Die Frequenzgleichung einer einfachen viskoelastischen Säule wird numerisch ausgewertet, wobei der Einfluß des OberflächenspannungsparametersTa/ϱv ², des Relaxationparameters τ^* v/a ² und der rotierenden Reynoldszahl$\tilde Re = \Omega _0 a^2 /v$ untersucht wird. Die Flüssigkeitssäule wird instabil bei$\Omega _0^2 \geqq \frac{T}{{\rho a^3 }}(m^2 - 1)$, unabhängig von der Größe der Viskosität und der Relaxationszeit. Bei reibungsfreier Flüssigkeit tritt diese Instabilität erst für größeres$\Omega _0^2 \geqq \frac{T}{{\rho a^3 }}m(m + 1)$ auf. Es werden die komplexen Frequenzen für die elliptische Querschnitts-Schwingungsform m=2 berechnet.