The acoustic impedance of a semi-infinite tube fitted with a conical flange

Abstract

The acoustic characteristics of a semi-infinite tube of constant cross sectionσ, fitted with a semi-infinite conical flange of solid angleω, are investigated. Let the acoustic potential in the tube be given by

$$\varphi = e^{ - ikx} - Ae^{ikx}$$

where exp(−ikx) represents the incident wave travelling along the tube towards the open endx=0 and −A exp(ikx) represents the reflected wave. It is shown that for long waves,A can be written in the form

$$A = \exp \{ - 2ik\alpha (\sigma /\omega )^{1/2} - 2k^2 \sigma /\omega \}$$

whereα is a parameter which depends only on the solid angleω. From existing work the value ofα is known forω=2π (the infinite plane flange) andω=4π (the unflanged tube). In this paper, the variation ofα for small values ofω is calculated. Because 1≦α≦1.2266 over the whole range 0≦ω≦4π, it is suggested that general values ofα can be interpolated from the existing results. An explicit interpolation formula is proposed.

Zusammenfassung

Es werden die akustischen Eigenschaften eines halbunendlichen Rohres mit dem Querschnittσ untersucht, der in einen halbunendlichen konischen Flansch mit dem sphärischen Öffnungswinkelω mündet. Es sei das akustische Potential im Rohr gegeben durch

$$\varphi = e^{ - ikx} - Ae^{ikx}$$

wobei exp(−ikx) die einfallende Welle im Rohr darstellt, die sich gegen das offene Ende fortpflanzt; −A exp(ikx) ist die reflektierte Welle. Es wird gezeigt, daß für lange WellenA dargestellt werden kann in der Form

$$A = \exp \{ - 2ik\alpha (\sigma /\omega )^{1/2} - 2k^2 \sigma /\omega \}$$

wobei α ein Parameter ist der nur vom sphärischen Winkelω abhängt. Bekannt sind die Werte vonα fürω=2π (unendlicher ebener Flansch) undω=4π (kein Flansch). Da 1≦α≦1.266 ist über dem ganzen Intervall 0≦ω≦4π, wird eine Interpolation, ausgehend von den bekannten Werten, vorgeschlagen und eine explizite Interpolationsformel angegeben.