Approximate solutions of eigenvalue problems with reproducing nonlinearities

Summary

We study a class of nonlinear eigenvalue problemsB (u)=λu and the approximation of their solutions by then-th step of the Rayleigh-Ritz-Galerkin procedure. We require that the operatorB can be written asB=A+N, where the operatorN is “finitely reproducing relative to the orthonormal sequenceu _i”, generated byAu=λu.

Nonlinearities of the classN(u)=([u ^(g)]^p)(^l) are shown to be finitely reproducing in a real, separable Hubert spaceH. The investigation closes with the special examples −u″+u ³=λu and −u″+u ^2′=λu (including an analysis of their bifurcation behaviour).

Zusammenfassung

Wir untersuchen eine Klasse nichtlinearer EigenwertproblemeB(u)=λu und die Approximation ihrer Lösungen durch denn-ten Schritt des Rayleigh-Ritz-Galerkin-Verfahrens.

Wir setzen voraus, daß der OperatorB in der FormB=A+N geschrieben werden kann, wobei der OperatorN „endlich relativ reproduzierend bezüglich einer Orthonormalfolgeu _i“ ist, und diese durchAu=λu erzeugt wird. Für Nichtlinearitäten der KlasseN(u)=([u ^(g)]^p)^(l) wird ihre relative Reproduzierbarkeit in einem reellen separablen HilbertraumH gezeigt. Die Untersuchung wird mit speziellen Beispielen −u″+u ³=λu und −u″+u ^2′=λu (einschließlich einer Untersuchung ihres Verzweigungsverhaltens) abgeschlossen.