Probabilistic aspects of particles transiting a trapping field: an exact combinatorial solution in terms of Gauss polynomials

Abstract

The probabilistic aspects of a queue of particles transiting a trapping field is studied. In particular, the probability that thek-th transiting particle is absorbed, given that there are initiallyt traps, is obtained in closed form by combinatorial arguments in terms of Gauss polynomials (q-binomial coefficients). In addition the probability of survival of thek-th transiting particle is also evaluated, again in terms of Gauss polynomials. The analysis is general enough to allow the number of trapst to be a discrete random variable, although numerical calculations (in the form of tables) are confined tot being deterministic.

Zusammenfassung

Die wahrscheinlichkeitstheoretischen Aspekte einer Reihe von Teilchen, welche ein Feld von Fallen durchlaufen, werden untersucht. Insbesondere wird die Wahrscheinlichkeit, daß dask-te Teilchen absorbiert wird, wenn anfangst Fallen vorhanden waren, mittels kombinatorischer Argumente durch Gauss-Polynome (q-Binomialkoeffizienten) in geschlossener Form dargestellt. Außerdem wird die Überlebenswahrscheinlichkeit desk-ten das Feld durchlaufenden Teilchens errechnet, ebenfalls in Form von Gauss-Polynomen. Die Allgemeinheit der Untersuchung läßt zu, daß die Anzahlt der Fallen eine diskrete Zufallsvariable sein kann, wobei aber die numerischen Berechnungen (in Form von Tabellen) auf deterministischet-Werte beschränkt wurden.