Symetries du Probleme desN Corps, Regularisation des Solutions Centrales Singulieres

Résumé

Le probème newtonien den masses ponctuelles est invariant dans plusieurs changements de variables spatio-temporelles. Ces symétries correspondent à des choix arbitraires du référentiel. Elles sont liées aux lois de conservation du mouvement par le théorème de Noether ou par sa généralisation. Pourn=2 l'auteur a défini deux famillles,S ₁ etS ₂, de symétries changeant l'excentricité d'une solution. La famille de symétries,S ₁, est associée au choix arbitraire duniveau zéro du potentiel et peut échanger deux solutions non bornée et bornée. La famille de symétries,S ₂, est liée à une éventuelleaffinité de l'espace des configurations. Via une symétrie de la familleS ₂ une solution de moment angulaire nul est équivalente à une solution de moment angulaire non nul. Via un produit de symétries de chaque famille, désigné parS ₁.S ₂, une solution du problème des deux corps est équivalente à une solution circulaire. Dans cet article il est établi que certaines de ces transformations peuvent se généraliser à des symétries changeant la quantitéC ² H du problème desn corps, oùC est le moment cinétique etH l'énergie. L'extension est aisée pour les solutions centrales car elles comportent plusieurs problèmes de deux corps synchrones. Nous considèrons le casn=3 pour l'exposition.

Les principaux résultats sont résumés par les propositions suivantes:

• (P1) Les deux familles de symétriesS ₁ etS ₂ sont décrites par une transformation d'espace qui est le produit d'une homothétie et d'une rotation, instantanées, complètée par un changement d'horaire.

• (P2) La famille de symétriesS ₁ peut associer des solutions centrales, bornée et non bornée, de même type, c.à.d. alignée ou non alignée.

• (P3) La famille de symétriesS ₂ peut régulariser les collisions multiples parmi les solutions centrales de même type.

Par conséquent une solution centrale, via une symétrie,S ₁,S ₂ ouS ₁.S ₂ est équivalente à une solution centrale circulaire, de même type. C'est une forme de régularisation.

Abstract

The newtonian problem ofn mass points bodies is invariant by several changes of spatio-temporal variables. These symmetries correspond to arbitrary choices of the referential and they are related via Noether's theorem or by its generalization to conservative quantities of the motion. Forn=2 the author has defined two families of symmetriesS ₁ andS ₂ changing the eccentricity of a solution. The family of symmetries,S ₁, is associated to the arbitrary choice of thezero level of the potential and may related unbounded and bounded solutions. The family of symmetries,S ₂, is related to a possibleaffinity of the configurations space. Via a symmetry of theS ₂ family a zero angular momentum solution is equivalent to a non-zero angular momentum solution. Via a product of two symmetries of each family, denoted byS ₁.S ₂, any solution of the two-body problem is equivalent to a circular solution. In this paper it is shown that some of these transformations may be generalized to symmetries changing the quantityC ² H in then-body problem, whereC is the angular momentum andH is the energy. The extension is easily made to central solutions of then-body problem because involving several synchroneous two-body problems. We consider for exposition then=3 case. The principal results may be resumed by the following propositions:

• (P1) The two families of symmetriesS ₁ andS ₂ are described by a spatial transformation product of an instantaneous homothethy and an instantaneous rotation completed by a change of temporal variable.

• (P2) TheS ₁ family of symmetries may relate unbounded and bounded central solutions of the same type, i.e. unaligned or aligned.

• (P3) TheS ₂ family of symmetries may regularize multiple collisions among central solutions of the same type.

Therefore any central solution, via a symmetryS ₁ orS ₂ orS ₁.S ₂, is equivalent to a central circular solution of the same type. That is a form of regularization.