Etude variationnelle des decalages spectraux

Abstract

The aim of the author has been to establish a non-relativistic general formulation for the shift of spectral lines by means of a variational method.

As a first step, we establish a dual formulation of the Doppler-Fizeau effect for Euclidean space ℝ₃, and we show this can be interpreted as a principle of least action. In this case, the hypothesis can be clearly exhibited: isotropy of space and uniformity of time applied toaa Lagrangian system. The use of the isometries group of ℝ₃ is required, since the comparison with the fiducial trajectory can be done only near the observer. A systematic overvaluation appears when incorrect use of this groups is made.

The second step consists of an identification of the physical space with a Riemannian manifoldV ₃. The time can be defined by means of geodesics ofV ₃. This can be done by taking an isochronic surface Σ(t) as aV ₂ quotient manifold such asV ₃ =V ₂ ×R. This implies the existence ofnonnatural trajectories of less extent than the corresponding geodesics. From that, we deduce the existence of a local proper time, measured along geodesics, which depends on the local conditions of symmetry.

In a third step, we can consider the physical space as a Lagrangian system with uniform proper time allowing us to proceed from LagrangianG, describing the symmetry conditions of theV ₃ manifold, to a local Lagrangian G by means of a conformal transformation. If the transformation functionF(x,t) is supposed to be slowly variable with x andt, a relation between the proper times of any two points in the manifold can be found.

With this hypothesis, the application of the principle of stationary action leads to a nonrelativistic formulation for shifts of spectral lines including, at the same time, the Doppler-Fizeau effect, the gravitational effect, and the cosmological effect. In this case, we can consider the Doppler-Fizeau effect as the result of a generalised Fermat principle.

Sommaire

L'auteur se propose d'établir une formulation générale non relativiste des décalages spectraux à partir d'une méthode variationnelle.

Le premier pas consiste à établir pour l'espace euclidien ℝ₃ une formulation duale de l'effet Doppler-Fizeau et à montrer que celle-ci peut s'interpréter comme un principe de moindre action. Nous faisons ressortir dans ce cas les hypothèses utilisées: isotropie de l'espace et uniformité du temps appliquées à un système lagrangien. Une telle façon d'opérer nécessite l'utilisation du groupe d'isométries de ℝ₃, la comparaison des trajectoires naturelle et variée ne pouvant s'effectuer qu'au voisinage de l'observateur. Dans le cas où le groupe d'isométries de ℝ₃ ne peut être utilisé, il y a surestimation systématique des décalages spectraux observés.

La seconde étape est d'assimiler l'espace physique à une variété riemannienneV ₃ et à montrer que le temps peut être défini à partir des géodésiques de cette variété. Cela est possible en assimilant. pour un observateur donné, les surfaces isochrones Σ(t) à une variété quotientV ₂ telle queV ₃ =V ₂ ×R. Cela implique l'existence de trajectoiresnon naturelles passant par deux points donnés deV ₃, de longueurs plus petites que celles des géodésiques riemanniennes correspondantes. D'où l'existence d'un temps propre local, mesuré le long des géodésiques, variable d'un point à l'autre selon les différences de symétries de l'espace au voisinage de ces points.

Nous pouvons alors considérer dans un troisième temps l'espace physique comme un système lagrangien nanti de temps propres uniformes et tels que l'on passe du lagrangienG, définissant les conditions de symétries de la variétéV ₃, au lagrangien local G par une transformation conforme. Si l'on suppose que la fonction de transformationF(x,t) varie très lentement avec x ett, on est conduit à une relation entre les temps propres de deux points quelconques deV ₃.

L'application d'un principe de moindre action, avec ces hypothèses permet alors une formulation non relativiste des décalages spectraux, contenant à la fois l'effet Doppler-Fizeau, un effet gravitationnel et un effet cosmologique. On peut alors considérer l'effet Doppler-Fizeau comme résultant d'un principe de Fermat généralisé.