Free vibrations of a gravity-loaded clamped-free beam

Summary

For the free vibrations of a gravity-loaded clamped-free Euler-Bernoulli-beam (flexible pendulum) no exact analytical solutions are known in the literature. Approximate analytical closed-form solutions are determined by use of the Ritz-Galerkin method with gravity-free beam eigenfunctions in the series expansion. A comparison with experimentally obtained modal data on a heavy beam with strong gravity influence shows good agreement and justifies the necessity of modelling gravity effects. Since in many vibration problems of engineering one of both influences of gravity or flexural rigidity is dominating, further approximated solutions are determined by applying regular perturbation theory (influence of bending moment dominates) and singular perturbation theory by the method of the “matched asymptotic expansions” (influence of gravity dominates: heavy rope with small bending stiffness), which creates a boundary layer problem at the clamped end. Within a wide range of values of the perturbated parameters the lower eigenfrequencies agree well with the Ritz-Galerkin solutions.

übersicht

Die freien Schwingungen des parallel zum Schwerefeld der Erde hÄngenden Balkens (flexibles Pendel) werden durch die Schwerkraft entscheidend beeinflu\t. Da für das entsprechende Eigenwertproblem des Euler-Bernoulli-Balkens keine Lösungen in geschlossener Form bekannt sind, werden NÄherungslösungen für die unteren Eigenfrequenzen und Eigenformen mit Hilfe des Ritz-Galerkin-Verfahrens gesucht. Ein Vergleich zwischen den theoretisch und experimentell bestimmten modalen Daten für einen schweren Balken ergibt eine sehr gute übereinstimmung, wodurch die Notwendigkeit der Schwerkraftmodellierung und die Güte des NÄherungsverfahrens unterstützt werden. Bei vielen technischen Schwingungsproblemen wird einer der beiden Einflüsse von Schwerkraft und Biegemoment überwiegen. Daher erschien es nützlich, für das Eigenwertproblem weitere NÄherungslösungen zu bestimmen mit Hilfe der Methode der singulÄren Störung (herabhÄngendes Seil mit kleiner Biegesteifigkeit) bzw. mit Hilfe der regulÄren Störungsrechnung (Biegemomenteinflu\ überwiegt). Innerhalb eines weiten Bereiches der Störparameter stimmen die unteren Eigenfrequenzen recht gut überein mit den entsprechenden Ritz-Galerkinschen Lösungen.