Dualité convexe, temps d'arrêt optimal et contrôle stochastique

  • Jean Michel Bismut


The purpose of this paper is to apply convex analysis methods to prove existence results for optimal stopping time problems for the diffusion processes considered by Stroock and Varadhan. The work is based on the characterization given by Rost of the measures associated to the stopping times.

The method is applied to the problem of control of diffusions where the stopping time is also a control.


Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.


  1. 1.
    Azema, J.: Le retournement du temps. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 4‡ Série, t6 1973, pp. 459–519Google Scholar
  2. 2.
    Azema, J., Meyer, P.A.: Une nouvelle représentation du type de Skorokhod, Séminaire de probabilités n‡ 8. Lecture notes in Mathematics. 381, pp. 1–10. Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1974Google Scholar
  3. 3.
    Bensoussan, A., Lions, J.L.: Problèmes de temps d'arrÊt optimal et inéquations variationnelles paraboliques. Applicable Anal. 3, 267–294 (1973)Google Scholar
  4. 4.
    Billingsley, P.: Convergence of probability measures. New York: Wiley 1968Google Scholar
  5. 5.
    Bismut, J.M.: Théorie probabiliste du contrÔle des diffusions. Memoir of A.M.S. Vol. 4 nℴ 167 (Janvier 1976)Google Scholar
  6. 6.
    Bismut, J.M.: Control of jump processes and applications, (à paraÎtre)Google Scholar
  7. 7.
    Bismut, J.M., Skalli, B.: Temps d'arrÊt optimal, théorie générale des processus et processus de Markov. (A paraÎtre)Google Scholar
  8. 8.
    Blumenthal, R.M., Getoor, R.K.: Markov processes and potential theory. New York and London: Academic Press 1968Google Scholar
  9. 9.
    Friedman, A.: Stochastic games and variational inequalities. Arch. Rational Mech. Anal. 51, 321 -346 (1973)Google Scholar
  10. 10.
    Grigelonis, B.I., Shiryaev, A.N.: On Stefan's problem and optimal stopping rules for Markov processes. Theor. Probability Appl. XI, 4, 541–558 (1966)Google Scholar
  11. 11.
    Mertens, J. F.: Strongly supermedian functions and optimal stopping. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete 26, 119–139 (1973)Google Scholar
  12. 12.
    Mertens, J.F.: Processus stochastiques généraux et surmartingales. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete 22, 45–68 (1972)Google Scholar
  13. 13.
    Meyer, P.A.: Processus de Markov, Lecture notes in Math. 26. Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1967Google Scholar
  14. 14.
    Meyer, P.A.: Exposé sur les diffusions à coefficients continus. Séminaire de probabilités nℴ 4, 241–282. Lecture notes in Math. 124. Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1970Google Scholar
  15. 15.
    Meyer, P.A.: Les travaux d'Azema sur le retournement du temps. Séminaire de probabilités nℴ 8, 262–288, Lecture notes in Math. 381. Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1974Google Scholar
  16. 16.
    Meyer, P.A.: Probabilités et potentiels. Paris: Hermann 1966Google Scholar
  17. 17.
    Moreau, J.J.: Fonctionnelles convexes. Séminaire d'équation aux dérivées partielles. Collège de France 1966–1967Google Scholar
  18. 18.
    Rost, H.: The stopping distribution of a Markov process. Invent. Math. 14, 1–16 (1971)Google Scholar
  19. 19.
    Rockafellar, R.T.: Convex analysis. Princeton: Princeton University Press 1972Google Scholar
  20. 20.
    Rockafellar, R.T.: Measurable dependence of convex sets and functions on parameters. J. Math. Anal. Appl. 28, 4–25 (1969)Google Scholar
  21. 21.
    Shiryaev, A.N.: Analyse statistique séquentielle. Moscou. Nauka 1969Google Scholar
  22. 22.
    Stroock, D.W., Varadhan, S.R.S.: Diffusion processes with continuous coefficients. Comm. Pure Appl. Math. XXII, 345–400, 479–530 (1969)Google Scholar
  23. 23.
    Stroock, D.W.: Diffusion processes associated with Levy generators. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete 32, 209–244 (1975)Google Scholar

Références supplémentaires Sur le balayage par un cÔne de fonctions, on consultera

  1. a.
    Mokobodzki, G.: CÔnes de potentiel et noyaux subordonnés. Centre Internazionale Matematico Estive (C.I.M.E.), Stresa (1969)Google Scholar
  2. b.
    Mokobodzki, G., Sibony, D.: CÔnes de fonctions et Théorie du Potentiel. Exposés 8 et 9. Séminaire de Théorie du Potentiel. Institut Henri-Poincaré (1966)Google Scholar
  3. c.
    Sibony, D.: CÔnes de fonctions et potentiels. Cours de 3‡ cycle. Faculté des Sciences de Paris (1967–1968)Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag 1977

Authors and Affiliations

  • Jean Michel Bismut
    • 1
  1. 1.ParisFrance

Personalised recommendations