Ingenieur-Archiv

, Volume 57, Issue 1, pp 61–72

# A general perturbation theory for large discrete linear dynamical systems

• H. L. Hasslinger
Originals

## Summary

Large discrete linear dynamical systems are described by the equation of motion with symmetrical and non-symmetrical matrices. With the solution of the associated right-hand eigenproblem state transition matrix is calculated in an efficient manner, because a complex inversion of a big matrix is substituted by three small, real inversions. Now the system is assumed to be altered. The new parameters cause a change of system matrices. The new eigenvalues and eigenvectors are represented as sums of unperturbed and perturbational terms up to fourth order. Inserting yields algebraic equations arranged in the order of perturbation. They are solved successively by expanding the perturbation eigenvectors in terms of unperturbed ones and employing the appropriately defined left-hand eigenvectors. The perturbation-eigenvalues are obtained directly from simple quotients, the expansion coefficients are solutions of linear systems of equations. Repeated solution of the eigenproblem is unnecessary. For special systems formulas become even more simple. Perturbed modal matrix of state equation and its inverse are represented as simple sums. Hence, also the state transition matrix of the altered system is known.

## Keywords

Perturbation Theory Expansion Coefficient System Matrice Fourth Order Efficient Manner
These keywords were added by machine and not by the authors. This process is experimental and the keywords may be updated as the learning algorithm improves.

# Eine allgemeine Störungsrechnung für diskrete, lineare Vielfreiheitsgradsysteme

## Übersicht

Ein diskretes, lineares, mechanisches Vielfreiheitsgradsystem ist durch die Bewegungsgleichung mit Matrizen beliebiger Symmetrieeigenschaften beschrieben. Aus der Lösung des zugeordneten RechtsEigenproblems folgt die Überführungsmatrix, welche effizient durch Ersatz der komplexen Inversion einer großen Matrix durch drei kleine, reelle Inversionen berechnet wird. Nun wird das System verändert, die neuen Parameter bewirken geänderte Systemmatrizen. Die neuen Eigenwerte und Eigenvektoren werden als Summen der ungestörten und der Störungsgrößen bis vierter Ordnung angesetzt. Einsetzen liefert nach der Ordnung der Störung sortierte algebraische Gleichungssysteme. Diese werden durch Entwicklung der Störungsvektoren nach den ungestörten Eigenvektoren sukzessive gelöst, wobei geeignet definierte Links-Eigenvektoren verwendet werden. Die Störungen der Eigenwerte sind direkt aus einfachen Quotienten berechenbar, die Entwicklungskoeffizienten folgen aus linearen Gleichungssystemen ohne neuerlicher Lösung eines Eigenproblems. Die gestörte Modalmatrix der Zustandsgleichung und ihre Inverse werden als einfache Summen dargestellt. Damit ist auch die Überführungsmatrix des geänderten Systems bekannt.

## References

1. 1.
Franklin, J. N.: Matrix theory, pp. 186–189. Englewood Cliffs NJ: Prentice-Hall 1968Google Scholar
2. 2.
Fritzen, C. P.; Nordmann, R.: Influence of parameter changes to the stability behavior of rotos. Private communication 1980Google Scholar
3. 3.
Hablani, H. B.; Shrivastava, S. K.: A modal analysis for the damped linear gyroscopic systems. J. Appl. Mech. 44 (1977) 750–754Google Scholar
4. 4.
Hagedorn, P.: On the vibrations of almost diagonalizable linear gyroscopic systems. Proc. VII Congresso Brasileiro de Engenharia Mecânica, COBEM 83, Uberlandia December 13–16, 1983Google Scholar
5. 5.
Hagedorn, P.: The eigenvalue problem for a certain class of discrete, linear systems: a perturbation approach. Rev, Bras. Mec. V, 2 (1983) 3–20Google Scholar
6. 6.
Hagedorn, P.: Zum Eigenwertproblem diskreter mechanischer Systeme mit schwacher Dämpfung und kleinen gyroskopischen Tennen. Z. Angew. Math. Mech. 64 (1984) T48 -T49Google Scholar
7. 7.
Hasslinger, H. L.: Schwingungssysteme mit Rotoren unter Erdbebenerregung. Doctoral Thesis, TU Wien 1982Google Scholar
8. 8.
Hasslinger, H. L.: Schwingungen eines konservativen, gyroskopischen Systems. Z. Angew. Math. Mech. 63 (1983) T53-T55Google Scholar
9. 9.
Hasslinger, H. L.: Komplexe Eigenvektoren konservativer, gyroskopischer Systeme. Z. Angew. Math. Mech. 65 (1985) 318–319Google Scholar
10. 10.
Lancaster, P.: Theory of matrices. New York, London: Academic Press 1969Google Scholar
11. 11.
Meirovitch, L.: A new method of solution of the eigenvalue problem for gyroscopic systems. AIAA J. 12, 10(1974) 1337–1342Google Scholar
12. 12.
Meirovitch, L.; Ryland, G.: Response of slightly damped gyroscopic systems. J. Sound Vib. 67 (1979) 1–19Google Scholar
13. 13.
Müller, P. C.: Eigenverhalten rotationssymmetrischer Rotorsysteme. Z. Angew. Math. Mech. 60 (1980) T65-T67Google Scholar
14. 14.
Müller, P. C.: Allgemeine lineare Theorie für Rotorsysteme ohne oder mit kleinen Unsymmetrien. Ing. Arch. 51 (1981) 61–74Google Scholar
15. 15.
16. 16.
Zurmühl, R.: Matrizen und ihre technischen Anwendungen. 4. Aufl. Berlin, Göttingen, Heidelberg, New York: Springer 1964Google Scholar