Die Berechnung statisch unbestimmter Tragwerke mit einseitigen Bindungen

Übersicht

Im vorliegenden Aufsatz werden die statisch unbestimmten linearen Tragwerke behandelt, welche eine gewisse Anzahl von einseitigen Bindungen aufweisen. Diese Bindungen können nur in einer Richtung wirken und somit nur positive Spannungen aufnehmen. Die Berechnung erfolgt auf Grund des Satzes vom Minimum der Formänderungsarbeit, dessen Gültigkeit auch für den vorliegenden Fall bewiesen wird. Im Gegensatz zum normalen Fall der zweiseitigen Bindungen, in welchem das Minimum nur in Verbindung mit den in Form von Gleichungen geltenden Gleichgewichtsbedingungen bestimmt wird, treten hier zusätzlich nicht-Negativi-tätsbedingungen auf. Somit verwandelt sich die Minimumaufgabe in ein Problem der quadratischen Programmierung. Zur Lösung dieser Aufgabe wird das Theorem von Kühn und Tucker angewendet, welches zu den Lösungsbedingungen der statischen Aufgabe führt. Im weiteren werden dieselben Bedingungen auch direkt, wie die Grundgleichungen der klassischen Baustatik, auf Grund von reinen statischen Überlegungen hergeleitet. Aus diesen Überlegungen folgt der Äquivalenzsatz, welcher erlaubt, ohne Bezugnahme auf die Theorie der Programmierung, das Aufschreiben der Lösungsbedingungen, wie im normalen Fall des Tragwerkes mit ausschließlich zweiseitigen Bindungen.

Summary

This investigation deals with statically indeterminate linear structures incorporating a number of unilateral constraints i.e. constraints reacting only in a given unilateral sense. The analysis is based on the minimum strain energy theorem, the validity of which will be proved for the present problem. It is known that the minimum strain energy for structures incorporating bilateral constraints only, is determined with reference to the equilibrium conditions expressed in the form of equations. In the case of structures with, a certain number of lion-negative constraints the problem becomes one of quadratic programming. To proceed, we use the Kuhu-Tucker theorem which gives the conditions leading to the solution of the structural analysis problem. We then derive once again these conditions from a purely statical point of view. This leads to our theorem of equivalence by which we can determine the solution conditions without the use of quadratic programming for structures with unilateral constraints in the same way as with structures involving exclusively bilateral constraints.