Über Hauptschwingungen mit endlichen Schwingweiten

Zusammenfassung und Folgerungen

Die Ordnung des Systems der Bewegungsgleichungen eines Systems mit mehreren Freiheitsgraden kann durch Elimination der Zeit mittels des Prinzips der kleinsten Wirkung — zweckmäßig in der von Jacobi angegebenen Form — um zwei Einheiten erniedrigt werden. Für das Doppelpendel ergibt sich dadurch eine einzige Differentialgleichung zweiter Ordnung. Obwohl ihr Integral nicht bekannt ist, so können doch die zugeordneten Lagen der beiden schwingenden Massen auch für beliebig große Asschläge ermittelt werden; und zwar sind diese für die beiden Scharen der Hauptschwingungen durch je eine Differentialgleichung erster Ordnung gegeben, die angenähert durch eine der bekannten Näherungsmethoden gelöst werden können.

Dieselbe Methode ist unmittelbar auch für das Doppel-Körperpendel und — nach sinngemäßer Erweiterung — auch für mehrfache Pendel anwendbar und selbstverständlich auch für alle schwingungsfähigen Systeme verwandter Art.

Von besonderem Interesse dürfte jedoch die Tatsache sein, daß durch die angegebene Elimination der Zeit t auch das allgemeine Problem des Doppelpendels (für beliebige Anfangsbedingungen), dessen Lösung noch nicht bekannt ist, — und ähnlicher Probleme — auf die Integration einer einzigen Differentialgleichung zweiter Ordnung zurückgeführt und dadurch wesentlich vereinfacht wird.

Die Behandlung der erzwungenen Schwingungen für Systeme mit endlichen Ausschlägen, wie sie z. B. bei dem System Glocke und Klöppel verwirklicht ist, erfordert jedoch eine besondere Untersuchung.