Ein Integrationsverfahren für die Berechnung der Biegespannungen achsensymmetrischer Schalen unter achsensymmetrischer Belastung

Zusammenfassung

Das Variationsproblem vom Minimum der potentiellen Energie, das wir für achsensymmetrische Schalen unter achsensymmetrischer Belastung aufgestellt haben, können wir nach den in der analytischen Mechanik gebräuchlichen Methoden in ein kanonisches Variationsproblem transformieren und hieraus die kanonischen Gleichungen für den Biegespannungszust and herleiten. Da man ein Integral dieses Differentialgleichungssystems angeben kann — es ist nämlich die Komponente der resultierenden Schnittkraft parallel zur Schalenachse das Integral der Belastungskomponente in dieser Richtung —, können wir eine zyklische Koordinate einführen und das ursprüngliche kanonische Gleichungssystem von sechs linearen Differentialgleichungen erster Ordnung auf eins mit nur vier Differentialgleichungen transformieren.

In den Koeffizienten dieser Differentialgleichungen tauchen nur die ersten Ableitungen der Baugrößen — Schalendicke und Meridian der Schale — auf. Zur Integration machen wir uns die Vorteile zunutze, die sich aus der Theorie linearer kanonischer Differentialgleichungssysteme erster Ordnung ergeben. Für Schalen, deren Meridianneigung gegen die Schalenachse nicht allzu steil ist, können wir eine die Integration sehr vereinfachende Verkürzung des Gleichungssystems treffen. Setzen wir außerdem zunächst die Querkontraktionsziffer und die relative Änderung der Schalendicke gleich null, so ergibt sich eine wohl in den meisten Fällen schon recht brauchbare Näherungslösung, die sehr einfach zu ermitteln ist, da man zur Kenntnis eines Hauptsystems von vier Lösungen der homogenen Gleichungen nur deren zwei zu berechnen braucht. Die durch die letzte Vernachlässigung gestrichenen Glieder können dann durch eine Störungsrechnung für eine Verbesserung dieser ersten Näherungslösung wieder berücksichtigt werden.

Ein entsprechendes Integrationsverfahren ist im letzten Abschnitt für die flache Schale angegeben worden. Durch die Streichung von zwei Gliedern zerfällt das ursprüngliche Gleichungs-system in zwei unabhängige, kanonische Systeme von je 2 Gleichungen. Mit den weggestrichenen Gliedern, die die beiden Systeme koppeln, wird eine Störungsrechnung durchgeführt, die die zunächst erhaltenen Lösungen verbessert.

Die Partikularlösungen für den jeweiligen Belastungszustand der Schale lassen sich aus dem kanonisch konjugierten System von Grundlösungen sehr einfach nach der Methode der Variation der Konstanten berechnen.