Summary
In the two-state mechanical oscillator, a mathematical model of a buckled beam, the refined criterion for the system parameter critical values where chaotic motion can be expected is derived. The derivation is based on the assumption of the second approximate solution for the small orbit. It is shown that a simple approximate analysis of the Hill's type variational equation gives the sought stability loss of the resonant solution as the period doubling bifurcation. The stability limits of the resonant and non-resonant solutions are proposed as the boundary of the region where strange phenomena can appear and the refined criterion thus derived is compared to computer simulation results and to other approximate criteria.
Übersicht
Für ein mechanisches Schwingungssystem mit zwei stabilen Gleichgewichtslagen, das ein mathematisches Modell eines Knickstabes darstellt, wird ein verfeinertes Kriterium für die kritischen Systemparameterwerte, bei denen chaotische Bewegung zu erwarten ist, hergeleitet. Die Herleitung geht von der Näherungslösung zweiter Ordnung für kleine Bahnen um das Gleichgewicht aus. Es wird gezeigt, daß eine einfache Näherungsbehandlung der Variationsgleichung vom Hill-Typ den gesuchten Stabilitätsverlust der Resonanzlösung als Verzweigung der Periodenverdopplung liefert. Die Stabilitätsgrenzen der resonanten und nichtresonanten Lösungen werden als Bereichsgrenze, wo chaotische Bewegungen auftreten können, vorgeschlagen. Das derart hergeleitete verfeinerte Kriterium wird mit Computer-Simulationen und anderen Näherungskriterien verglichen.
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References
Holmes, P.: Strange phenomena in dynamical systems and their physical implications. Appl. Math. Modelling 1 (1977) 362–366
Holmes, P.: A nonlinear oscillator with a strange attractor. Phil. Trans. R. Soc. London Ser. A 292 (1979) 419–448
Moon, F. C.: Experiments on chaotic motion of a forced nonlinear oscillator: Strange attractors. J. Appl. Mech. 47 (1980) 638–644
Guckenheimer, J., Holmes, P.: Nonlinear oscillations, dynamical systems and bifurcations of vector fields. Berlin, Heidelberg, New York: Springer 1983
Holmes, P.; Moon, F. C.: Strange attractors and chaos in nonlinear mechanics. J. Appl. Mech. 50 (1983) 1021–1032
Tseng, W. Y.; Dugundij, J.: Nonlinear vibrations of a buckled beam under harmonic excitation. J. Appl. Mech. 38 (1971) 467–476
Moon, V. C.; Li, G.-X.: Fractial basis boundaries and homoclinic orbits for periodic motion in a two-well potential. Phys. Rev. Lett. 55 (1985) 1439–1492
Moon, F. C.; Li, G.-X.: The fractial dimension of the two-well potential strange attractor. Physica D 17 (1985) 98–108
Melnikov, V. K.: On the stability of the center for time periodic perturbation. Trans. Mosc. Math. Soc. 12 (1963) 1–57
Rudowski, J.; Szemplińska-Stupnicka, W.: On an approximate criterion for chaotic motion in a model of a buckled beam. Ing. Arch. 57 (1987) 243–255
Hayashi, Ch.: Nonlinear oscillations in physical systems. New York: McGraw-Hill 1964
Bolotin, W. W.: Dynamic stability of elastic systems. San Francisco: Holden Day 1964
Szemplińska-Stupnicka, W.; Bajkowski, J.: The 1/2 subharmonic resonance and its transition to chaotic motion in a non-linear oscillator. Int. J. Non-Linear Mech. 21 (1986) 401–419
Szemplińska-Stupnicka, W.: Secondary resonances and approximate models of transition to chaotic motion in nonlinear oscillators. J. Sound Vib. 183 (1987) 155–172
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Szemplińska-Stupnicka, W. The refined approximate criterion for chaos in a two-state mechanical oscillator. Ing. arch 58, 354–366 (1988). https://doi.org/10.1007/BF00534355
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF00534355