Über die Konvergenz des Galerkinschen Verfahrens bei nichtkonservativen Stabilitätsproblemen dünner elastischer Platten und schlanker elastischer Stäbe

Zusammenfassung

Zunächst ist bewiesen worden, daß das Galerkinsche Verfahren für Gleichungen von der Form u + T u = 0 konvergiert, wenn T vollstetig in einem Hilbertraum H ₀ ist, dessen Definition durch das Skalarprodukt (22) und die Norm (23) gegeben wird. Sodann ist gezeigt worden, daß für Platten- und Stabprobleme die maßgebliche Differentialgleichung die Form (A ₀ + K) u = 0 hat. Da A ⁻¹₀ existiert, kann die Differentialgleichung durch Linksmultiplikation mit A ⁻¹₀ in u + A ⁻¹₀ K u = 0 überführt werden. Sowohl für Platten als auch für Stäbe wird bewiesen, daß T = A ⁻¹₀ K in H ₀ vollstetig ist, so daß in beiden Fällen das Galerkinsche Verfahren konvergiert. Dazu ist es, wie in Abschnitt 2 ausführlich dargelegt worden ist, hinreichend zu zeigen, daß in einem Hilbertraum H A ⁻¹₀ symmetrisch, positiv-definit, von diskretem Spektrum und K beschränkt ist. In allen betrachteten Fällen ist dieser Nachweis möglich und daher die Konvergenz des Galerkinschen Verfahrens gesichert.