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über die Definition von effektiven Zufallstests

Teil II
  • Claus -Peter Schnorr
Article

Summary

We continue the discussion on the definition of random sequences from Part I. We will show that the idea of Kolmogoroff to characterize random sequences by their program complexity can be formulated in such a way as to let this definition coÏncide with the others given in Part I. Another equivalent definition of random sequences can be derived from the games of chance. A sequence is random, if and only if no player who calculates his pool by effective methods can raise his fortune indefinitely when playing on this sequence. Finally we will study transformations which preserve the random property of a sequence. We will prove that the original concept of v. Mises can also be modified in such a manner as to coÏncide with all our other definitions. A sequence is random, if and only if it satisfies the strong law of large numbers and if every sequence obtained from it by a constructive measure-preserving transformation is random, too.

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Literatur

  1. 1.
    Chaitin, G.J.: On the length of programs for computing finite binary sequences. J. Assoc. comput. Machin. 13, 547–569 (1966).Google Scholar
  2. 2.
    —: On the length of programs for computing finite binary sequences: statistical considerations. J. Assoc. comput. Machin. 16, 145–159 (1969).Google Scholar
  3. 3.
    Church, A.: On the concept of a random sequence. Bull. Amer. math. Soc. 46, 130–135 (1940).Google Scholar
  4. 4.
    Davis, M.: Computability and unsolvability. New York-Toronto-London: McGraw-Hill 1958.Google Scholar
  5. 5.
    Doob, J.L.: Note on probability. Ann. of Math. II. Ser. 37, 363–367 (1936).Google Scholar
  6. 6.
    Hermes, H.: AufzÄhlbarkeit, Entscheidbarkeit, Berechenbarkeit. Berlin-Göttingen-Heidelberg: Springer 1961.Google Scholar
  7. 7.
    Heyting, A.: Intuitionism. an introduction. Amsterdam: North-Holland 1956.Google Scholar
  8. 8.
    Kolmogoroff, A.N.: Drei ZungÄnge zur Definition des Begriffs „Informationsgehalt“, (russisch) Probl. Peredači Inform. 1, 3–11 (1965).Google Scholar
  9. 9.
    Loveland, D.: A new interpretation of the von Mises' concept of random sequence. Z. math. Logik Grundl. Math. 12, 1–12 (1966).Google Scholar
  10. 10.
    Martin-Löf, P.: Algorithmen und zufÄllige Folgen. Vier VortrÄge gehalten am Mathematischen Institut der UniversitÄt Erlangen-Nürnberg. Als Manuskript vervielfÄltigt. Erlangen (1966).Google Scholar
  11. 11.
    v. Mises, R.: Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie. Math. Z. 5, 52–99 (1919).Google Scholar
  12. 12.
    Schnorr, C.P.: Eine Bemerkung zum Begriff der zufÄlligen Folge. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb. 14, 27–35 (1969).Google Scholar
  13. 13.
    —: über die Definition von effektiven Zufallstests. Teil I. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb. 15, 297–312 (1970).Google Scholar
  14. 14.
    - Klassifikation der Zufallsgesetze nach KomplexitÄt und Ordnung. In Vorbereitung.Google Scholar
  15. 15.
    Solomonoff, R.J.: A formal theory of inductive inference. Part I. Inform. and Control 7, 1–22 (1964).Google Scholar
  16. 16.
    Ville, J.: étude critique de la notion de collectif. Paris: Gauthier-Villars 1939.Google Scholar
  17. 17.
    Wald, A.: Sur la notion de collectif dans le calcul des probabilités. C.r. Acad. Sci. Paris 202, 180–183 (1936).Google Scholar
  18. 18.
    —: Die Widerspruchsfreiheit des Kollektivbegriffs der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ergebnisse eines math. Koll. 8, 38–72 (1937).Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag 1970

Authors and Affiliations

  • Claus -Peter Schnorr
    • 1
  1. 1.Institut für Angewandte Mathematik der UniversitÄt des SaarlandesSaarbrücken 15

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