Kinetische Instabilität eines elastischen Trägers unter Parametererregung durch rotierende Unwuchten

Übersicht

Es wird ein einseitig eingespannter elastischer Stab mit flachem Rechteckquerschnitt betrachtet, der am freien Ende einen aus zwei gegenläufig rotierenden Unwuchtmassen bestehenden Schwingungserreger trägt. Die ebene Form des Stabes wird instabil und geht in parametererregte gekoppelte Biege-Torsionsschwingungen über, wenn die Drehgeschwindigkeit der Massen in gewisse Wertbereiche in der Nähe einer doppelten Eigenfrequenz oder der Summe von zwei Eigenfrequenzen des Systems fällt. Bringt man statt der Trägheitskräfte der Massen zum Vergleich eine eingeprägte richtungstreue pulsierende Kraft an, so tritt ähnliches Stabilitätsverhalten ein. Läßt man dagegen eine pulsierende Folgelast am Stabende angreifen, so entsteht Instabilität der ebenen Form, wenn die Erregerfrequenz in die Nähe der Differenz von zwei Eigenfrequenzen fällt. Nach ausführlicher Ableitung der Differentialgleichungen und Diskussion der Stabilitätsbedingungen für diese drei Belastungsfälle wird schließlich ein Vergleich zwischen den Breiten der Instabilitätsbereiche angestellt.

Summary

An elastic cantilever beam with flat rectangular cross section is studied subjected to an excitation at its free end which is due to two masses rotating in opposite directions. The plane form of bending becomes unstable and changes into parametrically excited and coupled bending and torsional vibrations if the angular velocity of the rotating masses is close to twice the value of one eigenfrequency or close to the sum of two eigenfrequencies of the system. Similar stability behavior is found if, for comparison, the excitation by inertia forces is replaced by an external pulsating load with fixed direction. On the contrary, if a pulsating follower force acts at the free end, the plane form becomes unstable when the exciting frequency is close to the difference of two eigenfrequencies. After a detailed derivation of the differential equations and after the discussion of the stability conditions in the three above mentioned loading cases, a comparison of the widths of the instability regions is presented.