Generalized quantum mechanical two-centre problems

Abstract

For the one-electron Schrödinger equation among the solutions of which the Slater-Zener-type functions can be found, it is shown, that it can be generalized to the two-centre case only in one way, if one demands separability in prolate spheroidal coordinates, and if in addition to the Coulomb term of the potential energy there shall be an additional function of the product r ₁ · r ₂ only. The generalized problem with a potential energy of the form V(r) = − Z₁/r₁ − Z₂/r₂ − Q(R)/r₁r₂ is studied for the case of two equal centres Z ₁=Z₂=Z≧0 with regard to the existence and number of bound states. The results are extended as far as possible also to the case with unequal centres. For some examples with equal centres wave functions and correlation diagrams have been computed exactly for the lowest electronic states.

Zusammenfassung

Es wird gezeigt, daß sich die Ein-Elektron-Schrödingergleichung, unter deren Lösungen die Slater-Zener-Funktionen sind, nur auf eine Art auf den Zwei-Zentren-Fall verallgemeinern läßt, wenn Separierbarkeit in elliptischen Koordinaten verlangt wird, und wenn zusätzlich zum Coulomb-Anteil der potentiellen Energie ein Zusatzglied, das nur eine Funktion des Produkts r ₁ · r ₂ ist, vorhanden sein soll. Das verallgemeinerte Problem mit der potentiellen Energie der Form V(r) = − Z₁/r₁ − Z₂/r₂ − Q(R)/r₁r₂ wird im Hinblick auf die Existenz und Anzahl gebundener Zustände für den Fall gleicher Zentren Z ₁=Z₂=Z≧0 untersucht. Die Ergebnisse werden soweit möglich auf den Fall ungleicher Zentren erweitert. Für einige Beispiele mit gleichen Zentren wurden Wellenfunktionen und Korrelationsdiagramme für die tiefsten elektronischen Zustände exakt berechnet.

Résumé

L'équation de Schrödinger mono-électronique qui comporte parmi ses solutions des fonctions du type Slater-Zener, ne peut être généralisée au cas à deux centres que d'une seule manière en exigeant la séparabilité en coordonnées sphéroïdales allongées et en ajoutant au terme coulombien d'énergie potentielle une fonction du produit r ₁r₂ seulement. Le problème généralisé avec une énergie potentielle de la forme

$$V(r) = - \frac{{Z_1 }}{{r_1 }} = \frac{{Z_2 }}{{r_2 }} - \frac{{Q(R)}}{{r_1 r_2 }}$$

est étudié pour le cas de deux centres identiques Z ₁=Z₂=Z≧0, en ce qui concerne l'existence et le nombre d'états liés. Les résultats sont étendus autant que possible au cas avec centres différents. Pour certains exemples à centres identiques on a calculé exactement les fonctions d'ondes et les diagrammes de corrélation pour les états électroniques les plus bas.