Skip to main content

Relative consistency and accessible domains

This is a preview of subscription content, access via your institution.

References

  • Abrusci, V. M. 1980, ‘“Proof”, “Theory”, and “Foundations” in Hilbert's Mathematical Work From 1885 to 1900’, in Dalla Chiara (ed.), Italian Studies in the Philosophy of Science, Dordrecht, pp. 453–91.

  • Aczel, P.: 1977, ‘An Introduction to Inductive Definitions’, in J. Barwise (ed.), Handbook of Mathematical Logic, North Holland, Amsterdam, pp. 739–82.

    Google Scholar 

  • Aspray, W. and P. Kitcher, (eds.): 1988, History and Philosophy of Modern Mathematics, Minnesota Studies in the Philosophy of Science, Volume XI, University of Minnesota Press, Minneapolis.

    Google Scholar 

  • Baire, R., E. Borel, J. Hadamard, and H. Lebesgue: 1905, ‘Cinq lettres sur la théorie des ensembles’, Bulletin de la Société Mathématique de France 33, 261–273. (Translated in Moore's book Zermelo's Axiom of Choice, New York 1982, pp. 311–20.)

    Google Scholar 

  • Bernays, P.: 1922, ‘Über Hilberts Gedanken zur Grundlegung der Arithmetik’, Jahresberichte DMV 31, 10–19.

    Google Scholar 

  • Bernays, P.: 1922A, ‘Hilberts Bedeutung für die Philosophie der Mathematik’, Die Naturwissenschaften 4, 93–99.

    Google Scholar 

  • Bernays, P.: 1930, ‘Die Philosophie der Mathematik und die Hilbertsche Beweistheorie’, in (Bernays, 1975), pp. 17–61.

  • Bernays, P.: 1935, ‘Hilberts Untersuchungen über die Grundlagen der Arithmetik’, in (Hilbert, 1935), pp. 196–216.

    Google Scholar 

  • Bernays, P.: 1935a, ‘Über den Platonismus in der Mathematik’, in (Bernays, 1976), pp. 62–78.

    Google Scholar 

  • Bernays, P.: 1941, ‘Sur les questions méthodologiques actuelles de la théorie hilbertienne de la démonstration’, in F. Gonseth (ed.), Les entretiens de Zurich sur les fondements et la méthode des sciences mathématiques, Zurich 1941, pp. 144–52.

  • Bernays, P.: 1946, ‘Gesichtspunkte zum Problem der Evidenz’, in (Bernays, 1976), pp. 85–91.

    Google Scholar 

  • Bernays, P.: 1950, ‘Mathematische Existenz und Widerspruchsfreiheit’, in (Bernays, 1976), pp. 92–106.

    Google Scholar 

  • Bernays, P.: 1967, ‘Hilbert, David’, in P. Edwards (ed.), Encyclopedia of Philosophy, New York 1967, pp. 496–504.

  • Bernays, P.: 1970, ‘Die Schematische Korrespondenz und die Idealisierten Strukturen’, in (Bernays, 1976), pp. 176–88.

    Google Scholar 

  • Bernays, P.: 1976, Abhandlungen zur Philosophie der Mathematik, Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt.

    Google Scholar 

  • Börger, E. (ed.): 1987, Computation Theory and Logic, Springer Lecture Notes in Computer Science 270, New York.

  • Brouwer, L. E. J.: 1927, ‘Über Definitionsbereiche von Funktionen’, Mathematische Annalen 97, 60–75; translated in van Heijenoort, pp. 446–63.

    Google Scholar 

  • Buchholz, W.: 1990, ‘Proof Theory of Iterated Inductive Definitions Revisited’, to appear in Archive for Mathematical Logic.

  • Buchholz, W., S. Feferman, W. Pohlers, and W. Sieg: 1981, Iterated Inductive Definitions and Subsystems of Analysis: Recent Proof-theoretical Studies, Springer Lecture Notes in Mathematics 897, New York.

    Google Scholar 

  • Cantor, G.: 1932, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, E. Zermelo (ed.), Berlin.

  • Dedekind, R.: 1854, ‘Über die Einführung neuer Funktionen in der Mathematik’, in (Dedekind, 1932), pp. 428–38.

    Google Scholar 

  • Dedekind, R.: 1872, ‘Stetigkeit und irrationale Zahlen’, in pp. 315–24.

    Google Scholar 

  • Dedekind, R.: 1877, ‘Sur la théorie des nombres entiers algébriques, Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques, pp. 1–121; partially reprinted in (Dedekind, 1932), pp. 262–96.

  • Dedekind, R.: 1888, ‘Was sind und was sollen die Zahlen?’, in (Dedekind, 1932), pp. 335–91.

    Google Scholar 

  • Dedekind, R.: 1890, ‘Letter to Keferstein’, in van Heijenoort, pp. 98–103.

  • Dedekind, R.: 1932, Gesammelte mathematische Werke, Dritter Band, R. Fricke, E. Noether, and Ü. Ore (eds.), Vieweg, Braunschweig.

    Google Scholar 

  • Dieudonné, J.: 1970, ‘The Work of Nicholas Bourbarki’, American Mathematical Monthly 77, 134–45.

    Google Scholar 

  • Dirichlet, G. and P. Lejeune: 1837, ‘Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Faktor sind, unendlich viele Primzahlen enthält’, reprinted in (Dirichlet, 1889), pp. 313–42.

  • Dirichlet, G. and P. Lejeune: 1838, ‘Sur l'usage des séries infinies dans la théorie des nombres’, reprinted in (Dirichlet, 1889), pp. 357–74.

  • Dirichlet, G. and P. Lejeune: 1839/40, ‘Recherches sur diverses applications de l'analyse infinitésimale à la théorie des nombres’, reprinted in (Dirichlet, 1889), pp. 411–96.

  • Dirichlet, G. and P. Lejeune: 1889, Gesammelte Werke I, edited by L. Kronecker, Berlin.

  • Dirichlet, G. and P. Lejeune: 1897, Gesammelte Werke II, edited by L. Kronecker and continued by L. Fuchs, Berlin. (Both volumes were reprinted by Chelsea in one volume, New York 1969.)

  • Edwards, H.: 1988, ‘Kronecker's Place in History’, in (Aspray and Kitcher, 1988), pp. 139–44.

    Google Scholar 

  • Feferman, S.: 1977, ‘Theories of Finite Type Related to Mathematical Practice’, in J. Barwise (ed.), Handbook of Mathematical Logic, North Holland, Amsterdam, pp. 913–71.

    Google Scholar 

  • Feferman, S.: 1988, ‘Hilbert's Program Relativized: Proof-theoretical and Foundational Reductions’, Journal of Symbolic Logic 53 (2), 364–84.

    Google Scholar 

  • Feferman, S. and W. Sieg: 1981, ‘Iterated Inductive Definitions and Subsystems of Analysis’, in (Buchholz, e.a., 1981), pp. 16–77.

    Google Scholar 

  • Guillaume, M.: 1985, ‘Axiomatik und Logik’, in J. Dieudonné (ed.), Geschichte der Mathematik, 1700–1900, Vieweg, Braunschweig, pp. 748–882.

    Google Scholar 

  • Hilbert, D.: 1900, ‘Über den Zahlbegriff’, Jahresberichte DMV 8, 180–194.

    Google Scholar 

  • Hilbert, D.: 1902, ‘Sur les problèmes futurs des mathématiques’, in Compte Rendu du Deuxième Congrès International des Mathématiciens, Paris, pp. 59–114.

  • Hilbert, D.: 1904, ‘Über die Grundlagen der Logik und Arithmetik’, in Grundlagen der Geometrie, 5th edition, Berlin, 1922, pp. 243–58; translated in van Heijenoort, pp. 129–38.

  • Hilbert, D.: 1928, ‘Die Grundlagen der Mathematik’, Abhandlungen aus dem mathematischen Seminar der Hamburgischen Universität 6 (1/2), 65–85.

    Google Scholar 

  • Hilbert, D.: 1929, ‘Probleme der Grundlegung der Mathematik’, in K. Reidemeister (ed.), Springer, Berlin, pp. 9–19; appeared first in Math. Annalen 102(1), 1–9.

    Google Scholar 

  • Hilbert, D.: 1931, ‘Die Grundlegung der elementaren Zahlenlehre’, Math. Annalen 104(4), 485–94.

    Google Scholar 

  • Hilbert, D.: 1935, Gesammelte Abhandlungen 3, Dritter Band, Springer, Berlin.

    Google Scholar 

  • Hilbert, D. and Paul Bernays: 1934–1939, Grundlagen der Mathematik, Springer-Verlag, Berlin.

    Google Scholar 

  • Klein, F.: 1926, Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert, Teil I, Springer, Berlin.

    Google Scholar 

  • Kreisel, G.: 1958, ‘Hilbert's Programme’, Dialectica 12, 346–372; reprinted in Philosophy of Mathematics, p. Benacerraf and H. Putnam (eds.), Cambridge University Press, Cambridge, 1983, pp. 207–38.

    Google Scholar 

  • Kreisel, G.: 1965, ‘Mathematical Logic’; in Lectures on Modern Mathematics, vol. III, T. L. Saaty (ed.) John Wiley and Sons, New York, pp. 95–195.

    Google Scholar 

  • Kreisel, G.: 1968, ‘Survey of Proof Theory’, Journal of Symbolic Logic 33, 321–88.

    Google Scholar 

  • Kronecker, L.: 1968, ‘Über einige Anwendungen der Modulsysteme’, Crelles Journal für die reine und angewandte Mathematik 99, 329–71; also, Werke III, pp. 145–208.

    Google Scholar 

  • Kronecker, L.: 1887, ‘Über den Zahlbegriff’, in Werke, Band III, pp. 251–74.

  • Kronecker, L.: 1899, Werke III, Leipzig, Berlin.

  • Kronecker, L.: 1901, Vorlesungen zur Zahlentheorie, K. Hensel (ed.), Leipzig, Berlin.

  • Kummer, E. E.: 1860, ‘Gedächtnisrede auf Gustav Peter Lejeune Dirichlet’, reprinted in (Dirichlet, 1897), pp. 311–44.

  • Lipschitz, R.: 1986, Briefwechsel mit Cantor, Dedekind, Helmholtz, Kronecker, Weierstrass, Vieweg, Braunschweig.

    Google Scholar 

  • Luckhardt, H.: 1989, ‘Herbrand-Analysen zweier Beweise des Satzes von Roth: polynomiale Anzahlschranken’, Journal of Symbolic Logic 54(1), 234–63.

    Google Scholar 

  • Moore, G. H.: 1988, ‘The Emergence of First-order Logic’, in (Aspray and Kitcher), pp. 95–138.

    Google Scholar 

  • Müller, G. H.: 1981, ‘Framing Mathematics’, Epistemologia 4(1), 253–86.

    Google Scholar 

  • Parsons, C. D.: 1983, ‘The Impredicativity of Induction’, in Cauman, Levi, Parsons, Schwartz (eds.), How Many Questions? — Essays in Honor of Sidney Morgenbesser, Hackett Publishing Co., Indianapolis, pp. 132–53.

    Google Scholar 

  • Purkert, W. and H. J. Ilgauds: 1987, Georg Cantor, Birkhäuser, Boston.

    Google Scholar 

  • Reid, C.: 1970, Hilbert, Springer-Verlag, New York.

    Google Scholar 

  • Sieg, W.: 1984, ‘Foundations for Analysis and Proof Theory’, Synthese 60(2), 159–200.

    Google Scholar 

  • Sieg, W.: 1985, ‘Reductions of Theories for Analysis’, in G. Dorn and P. Weingartner (eds.), Foundations of Logic and Linguistics, Plenum Press, New York, pp. 199–230.

    Google Scholar 

  • Sieg, W.: 1988, ‘Hilbert's Program Sixty Years Later’, Journal of Symbolic Logic 53(2), 338–48.

    Google Scholar 

  • Simpson, S. G.: 1988, ‘Partial Realizations of Hilbert's Program’, Journal of Symbolic Logic 53(2), 359–63.

    Google Scholar 

  • Smorynski, C.: 1977, ‘The Incompleteness Theorems’, in J. Barwise (ed.), Handbook of Mathematical Logic, North Holland, Amsterdam, pp. 821–66.

    Google Scholar 

  • Stein, H.: 1988, ‘Logos, Logic, Logistike: Some Philosophical Remarks on the 19th Century Transformation of Mathematics’, in (Aspray and Kitcher), pp. 238–59.

    Google Scholar 

  • Tait, W. W.: 1981, ‘Finitism’, Journal of Philosophy 78, 524–46.

    Google Scholar 

  • van Heijenoort, J. (ed.): 1967, From Frege to Gödel, A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931, Harvard University Press, Cambridge.

    Google Scholar 

  • Wiener, H.: 1891, ‘Über Grundlagen und Aufbau der Geometrie’, Jahresberichte der DMV 1, 45–48.

    Google Scholar 

  • Zassenhaus, H. J.: 1975, ‘On the Minkowski-Hilbert Dialogue on Mathematization’, Canadian Math Bulletin 18, 443–61.

    Google Scholar 

  • Zermelo, E.: 1930, ‘Über Grenzzahlen und Mengenbereiche’, Fundamental Mathematics 16, 29–47.

    Google Scholar 

  • Zermelo, E.: 1931, ‘Über Stufen der Quantifikation und die Logik des Unendichen’, Jahresberichte DMV 41, 85–88.

    Google Scholar 

  • Zermelo, E.: 1935, ‘Grundlagen einer allgemeinen Theorie der mathematischen Satzsysteme’, Fundamental Mathematics 25, 136–46.

    Google Scholar 

Download references

Author information

Authors and Affiliations

Authors

Additional information

This is a much expanded version of my essay Relative Konsistenz that was written in German and published in Börger (1987). That collection of papers was dedicated to the memory of Professor Dieter Rödding, my first logic teacher.

Rights and permissions

Reprints and Permissions

About this article

Cite this article

Sieg, W. Relative consistency and accessible domains. Synthese 84, 259–297 (1990). https://doi.org/10.1007/BF00485379

Download citation

  • Issue Date:

  • DOI: https://doi.org/10.1007/BF00485379

Keywords

  • Relative Consistency
  • Accessible Domain