Résumé
Soit X un processus gaussien stationnaire non dérivable. Nous étudions le nombre de passages en zéro du processus régularisé par convolution. Sous des hypothèses peu restrictives sur X, cette variable convenablement normalisée, converge au sens de L 2 quand la taille du filtre tend vers zéro. Lorsque X admet un temps local continu, la limite obtenue est le temps local.
Summary
Let {X(t)} be a stationary non differentiable Gaussian process and let ϕɛ(u=ɛ−1 ϕ(u/ɛ) be an approximate identity. Setting X ɛ(t)=X*ϕɛ(t) and letting N ɛ(T) be the number of zeros of X ɛ in the interval [0, T] it is shown that under weak technical conditions there are constants C(ɛ) so that C(ɛ) N ɛ(T) converges in L 2 as ɛ→0. When X admits a continuous local time, the limit is the local time L(0, T) at zero of X(t).
Bibliographie
Azais, J.M.: Approximation du temps local des mouvements stables. A paraître
Bermann, S.M.: Local non determinism and local times of gaussian processes. Indiana Univ. Math. J. 23, 69–94 (1973)
Cramer, H., Leadbetter, H.R.: Stationary and related processes. New York: Wiley 1967
Kac, M.: On the average number of real roots of a random algebraic equation. Bull. Am. Math. Soc. 44, 314–320 (1943)
Wschebor, M.: Surfaces aléatoires: mesure géométrique des ensembles de niveau. Lect. Notes Math. 1147 (1985)
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Azaïs, J.M., Florens-Zmirou, D. Approximation du temps local des processus gaussiens stationnaires par régularisation des trajectoires. Probab. Th. Rel. Fields 76, 121–132 (1987). https://doi.org/10.1007/BF00390279
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF00390279