Problèmes elliptiques à frontière libre axi-symétriques: Estimation du diamètre de la section au moyen de la capacité

Abstract

In the meridional half plane Π, the capacity relative to some elliptic operators L(≡ L _k ) of slender ([2]) line-segments Λ lying on or or parallel to oz and centered on or is considered. We obtain that if ε is small enough (where for some a > 0, 2aε denotes the length of Λ), then Cap_L(Λ) = O(1/(a ^k log 1/ɛ)). This is used to estimate the diameter of the cross-section for some axi-symmetric free-boundary elliptic problems. This can apply to some steady vortex rings and plasma problems.

Résumé

Le but de cet article est d'estimer la capacité d'un pétit segment [a(1−ε), a(1+ε)]×{z=0} du démi-plan П := {x = (r, z)|r > 0, z ∈ ℝ} de ℝ² par rapport à la capacité définie par la norme $\left\| u \right\|_{H_L }^2 = \int_\prod u Lu r dr dz: = \int_\prod \{ u_r^2 + u_z^2 \} r^{ - k} dr dz$. Ce résultat est ensuite utilisé pour estimer le diamètre de la surface libre de certains problèmes elliptiques non linéaires.