A review of the three-dimensional stress problem for a cracked plate

Abstract

An analytical study has been carried out to examine the influence of plate thickness on the stress distribution around the crack. The qualitative feature of the three-dimensional solution is first determined by an asymptotic expansion of the stresses and displacements in terms of the cylindrical polar coordinates r, θ, z for small values of r which is referenced from the border of a semi-infinite crack. It is found that the stresses σ_rr, σ_θθ, σ _zz , and σ _rθ are singular of the order r $r{\text{ }}^{{\text{ - }}\tfrac{1}{2}}$, but the transverse shear stresses σ _rz and σ_θz , are bounded for plates under stretching and bending. The intensity of crack-border stress field becomes a function of the thickness coordinate z. Knowing that the problem prohibits any exact analytical solutions of a quantitative nature, the three-dimensional equations of elasticity will be approximated by appealing to minimum principles in the calculus of variations.

Guided by the results obtained from the asymptotic expansions, each one of the six stress components is assumed to be the product of two functions, one being assigned to describe the stress distribution in the plane of the plate and the other across the thickness. The z-distribution of the stresses may either be pre-assigned arbitrarily or determined from the plane strain condition ahead of the crack. On the basis of the principle of minimum complementary energy, a system of three simultaneous differential equation in two variables is obtained and solved for the problem of an infinite plate containing a through crack by means of integral representations. Determined in closed elementary form are the detailed structure of the three-dimensional crack-edge stress field. The stress-intensity factor, which varies in the thickness direction, is shown to be a function of the ratio of plate thickness to crack length and is found to increase rapidly in magnitude as the plate thickness is perturbed slightly from zero. The present analysis suggests a method by which the effect of a finite plate thickness can be incorporated into an examination of the fracture toughness of cracked sheet specimens.

Résumé

On a effectué une etude analytique pour examiner l'influence de l'épaisseur d'une tôle sur la distribution ties contraintes au voisinage d'une fissure. Qualitativement, la solution tridimensionnelle trouvée se caractérise au premier chef par une extension asymptotique des contraintes et déplacements, exprimés en coordonnées polaires r, θ et z, pour les faibles valeurs de r rapportées aux frontières de l'extrémité d'une fissure semi-infinie. On trouve que les contraintes σ _rr σ _zz , σ _rθ, et σ_rζ présentent une singularitée d'ordre r $r{\text{ }}^{{\text{ - }}\tfrac{1}{2}}$, mais que les contraintes transversales de cisaillement σ _rz et σ_θz sont associées dans le cas d'une tôle soumise à traction et flexion. L'intensité du champ de contraintes an bord de la fissure devient une variable dépendante de l'axe z des épaisseurs.

Compte tenu que le problème ne permet pas de proposer une solution analytique exacte de caractère quantitatif, il faut résoudre les équations élastiques tridimensionnelles par approximation, en procédant à un calcul des variations et en appliquant le principe des minimas.

En se basant sur l'extension asymptotique des contraintes et déplacements, on suppose que chacune des six composantes de la contrainte est le produit de deux fonctions dont l'une décrit la distribution des contraintes dans le plan de la tôle et l' autre selon son épaisseur.

La distribution ties contraintes selon l'axe ties z peut être fixée de manière arbitraire, on pent être exprimée à partir des conditions d'état plan de déformation existant devant la fissure.

En appliquant le principe de l'énergie complémentaire minimum, on obtient un système de trois équations différentielles à deux inconnues. Ces équations sont résolues par représentation intégrale pour le cas de la tôle infinie comportant une fissure de part en part de son épaisseur. La structure fine du champ tridimensionnel ties contraintes au bord de la fissure peut être décrite sous la forme d'éléments finis.

On démontre que le facteur d'intensité ties contraintes, qui est variable selon l'axe ties épaisseurs, est une fonction du rapport de lépaisseur de la tôle à longueur de la fissure; il augmente considérablement pour de légères variations de l'épaisseur aus-dessus de l'épaisseur nulle.

L'analyse effectuée laisse déduire une méthode permettant de faire intervenir l'influence de l'épaisseur d'une tôle de dimensions finies dans l'étude de la ténacité à la rupture d'échantillons de tôles minces comportant ties fissures.

Zusammenfassung

Es wurde eine analytische Untersuchung durchgeführt, um den Einfluß tier Blechstärke auf die Spannungsverteilung in tier Umgebung eines Risses zu bestimmen.

Qualitativ gesehen kennzeichnet sich die gefundene dreidimensionale Lösung in erster Linie durch eine asymptotische Ausdehnung tier Spannungen und Verschiebungen, ausgedrückt durch die polaren Koordinaten r, θ and z für kleine Werte von r, bezogen auf die Grenze eines halb-unendlichen Risses. Man finder, daß die Spannungen σ _rr , σ_θθ, σ _zz und σ_rθ eine Singularität der Ordnung r $r{\text{ }}^{{\text{ - }}\tfrac{1}{2}}$ aufweisen; im Falle von Blechen unter Zugbiegebeanspruchungen sind die transversalen Scherbeanspruchungen ζ _rz and σ_θz jedoch gebunden. Die Intensität des Spannungsfeldes am Rande eines Risses wird abhängig von der Dickenkoordinaten z.

Unter Berücksichtigung der Tatsache, daß das Problem eine exakte analytische Lösung quantitativer Art nicht zuläßt, müssen die dreidimensionalen elastischen Gleichungen durch Annäherung gelöst werden, unter Bezugnahme auf das Minimum-Prinzip der Variationsrechnungen.

Auf Grund der von der asymptotischen Ausdehnung erzielten Ergebnisse wird jede der sechs Spannungskomponenten als das Produkt von zwei Funktionen angenommen, wovon eine die Spannungsverteilung in der Ebene des Bleches und die andere diejenige entlang der Dickenkoordinaten beschreibt. Die Spannungsverteilung entlang der z-Achse kann entweder beliebig festgelegt, oder aus den planen Spannungsbedingungen vor dem Riß ermittelt werden.

Unter Anwendung des Prinzips der minimalen Komplementarenergie erhält man ein System von drei Differentialgleichungen mit zwei Unbekannten. Diese Gleichungen werden durch eine Integraldarstellung für den Fall eines unendlichen Bleches mit einem sich über die ganze Dicke erstreckenden Riß gelöst. Die endliche Struktur des dreidimensionalen Spannungsfeldes am Rand des Risses kann in Form von endlichen Elementen beschrieben werden.

Es wird bewiesen, daß der Spannungsintensitätsfaktor, welcher entlang der Dickenachse ändert, eine Funktion des Verhältnisses von Blechstärke zu rißlänge ist; für Blechstärken leicht öber Null steigt er schon bei nur sehr geringer Erhöhung der Dicke, sehr erheblich an. Die durchgeführte Analyse führt zu einem Verfahren, das es ermöglicht den Einfluß der Dicke eines Bleches endlicher Abmessungen bei der Untersuchung der Zerreißfestigkeit von Feinblechproben mit Rissen, zu berücksichtigen.