A finite line crack in a pressurized spherical shell

Abstract

The deformation of a thin sheet having initial spherical curvature is shown to be associated with that of an initially flat plate resting upon an elastic foundation. Using an integral formulation the coupled Reissner equations for a shell with a crack of length 2c are solved for the in-plane and Kirchhoff bending stresses, and, among other things, it is found that the explicit nature of the stresses near the crack point depends upon the inverse half power of the non-dimensional distance from the point e. The character of the combined extension-bending stress field near the crack tip is investigated in detail for the special case of a radial crack in a spherical cap which is subjected to a uniform internal pressure q_o and is clamped at the boundary $\overline {\text{R}} = \overline {\text{R}} _{\text{o}}$. Pending a complete study of the solution, approximate results for the combined surface stresses near the crack tip normal and along the line of crack prolongation are respectively of the form

$$\sigma _y (\varepsilon ,0)|_{\nu = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 3}} \approx 0.45\sqrt {{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 \varepsilon }} \right. \kern-\nulldelimiterspace} \varepsilon }} \tfrac{{q_O R}}{h} + ...$$

$$\lambda = 0.98$$

$${\text{c = 0}}{\text{.23 in}}$$

$$\overline {\text{R}} _{\text{o}} = 4.25 {\text{in}}$$

and similarly

$$\sigma _x (\varepsilon ,0)|_{\nu = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 3}} \approx 0.45\sqrt {{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 \varepsilon }} \right. \kern-\nulldelimiterspace} \varepsilon }} \tfrac{{q_O R}}{h} + ...$$

$$\lambda = 0.98$$

$${\text{c = 0}}{\text{.23 in}}$$

$$\overline {\text{R}} _{\text{o}} = 4.25 {\text{in}}$$

It is interesting to note that the stress σ_x and σ_y, along the line of crack prolongation, for this geometry are equal. In general, they will be of the same sign and will differ only slightly in magnitude due to the bending component. Finally, the experimental and theoretical results for ε_y, along the line of crack prolongation, compare very well.

Résumé

On montre que la déformation d' une feuille mince ayant une courbure sphérique initiale, est associée avec celle d'une plaque mince reposant sur une fondation élastique.

En utilisant une forme intégrale, on résoud les equations couplées de Reissner, pour une coque avec une fracture de longueur 2c, pour le plan interne et les contraintes de flexion de Kirchhoff. D' autre part on trouve que la forme explicite des contraintes près due point de fracture, depend de l'inverse de la demi puissance de la distance, sans dimension, au point ε. Le caractère du champs de contrainte combinée, flexiontension, pret de l'extrémité de la fracture, est étudié en detail dans le cas particulier d'une fracture radiale dans une calotte sphérique soumise à une pression interne uniforme q_o et qui est encastrée à la limite $\overline {\text{R}} = \overline {\text{R}} _{\text{o}}$. En attendant une etude complete de la solution, des résultats approchés pour les contraintes combinées de surface, près de l' extrémité de la fracture normale, et le long de la ligne de prolongation de la fracture, ont donnés respectivement

$$\sigma _y (\varepsilon ,0) \approx \sigma _x (\varepsilon ,0) \approx 0.45 \sqrt {1/\varepsilon } (q_o R/h)$$

$$ou \nu = 1/3, c = 0.23 inch, \overline R _o = 4.25 inch et \lambda = 0.98.$$

Il est interressant de noter que les contraintes σ_x et σ_y le long de la ligne de prolongation de fracture sont éagles pour cette géométrie En general, elles out le même signe et ne différent légèrement qu' en module, du fait de la composante de flexion. Finalement les resultats expérimentaux et théoriques pour ε_y le long de la ligne de prolongation de la fracture coïncident bien.

Zusammenfassung

Es wird gezeigt, dass die Verformung einer duennen, anfaenglich sphaerisch gekruemmten Platte mit der Verformung einer anfaenglich ebenen Platte, die elastisch gebettet ist, verbunden ist. Mit Hilfe einer Integralformulation werden die gekuppelten Reissner-Gleichungen fuer eine Schale, die einen Riss der Laenge 2c enthaelt, fuer die ebenen und die Kirchhoff Biegespannungen geloest. Unter anderem wurde festgestellt, dass die explizite Form der Spannungen in der Naehe des.Bruchpunktes umgekehrt proportional der Wurzel des dimensionslosen Abstandes vom Punkte ist. Der Charakter des Dehnmigs-Biegespannungsfeldes in der Umgebung der Risspitze wind im Detail untersucht fuer den speziellen Fall eines radialen Risses in einer sphaerischen Kappe unter gleichfoermigen Innendruck q_o, die an ihrer Auflage $\overline {\text{R}} = \overline {\text{R}} _{\text{o}}$ eingeklemmt ist. Die angenaeherten Ergebnisse - das ausfuehrliche Studium der Loesungen ist noch nicht abgeschlossen - fuer die kombinierten Oberflaechenspannungen nahe der Risspitze senkrecht zum Riss and in Richtung des Risses sind von der Form:

$$et \nu = 1/3, c = 0.23 inch, \overline R _o = 4.25 inch und \lambda = 0.98.$$

Es ist interessant, dass die Spannungen σ_x and σ_y entlang der Linie der Rissfortpflanzung gleich sind fuer diessen Fall. Im allgemeinen werden sie dasselbe Vorzeichen haben and sich nut wenig in der absoluten Groesse unterscheiden infolge der Biegekomponente. Die experimentellea und theoretischen Ergebnisse fuer ɛ_y entlang der Linie der Rissfortpflaazung stimmen sehr gut ueberein.