Journal für Mathematik-Didaktik

, Volume 37, Supplement 1, pp 99–129

# Aspects and “Grundvorstellungen” of the Concepts of Derivative and Integral

Subject Matter-related Didactical Perspectives of Concept Formation
• G. Greefrath
• R. Oldenburg
• H.-S. Siller
• V. Ulm
• H.-G. Weigand
Originalarbeit/Original article

## Abstract

This paper discusses Aspects and “Grundvorstellungen” in the development of the concepts of derivative and integral, which are considered central to the teaching of calculus in senior high school. We focus on perspectives that are relevant when these concepts are first introduced. In the context of a subject-matter didactical debate, the ideas are separated into two classes: firstly, mathematically motivated aspects, such as the limit of difference quotients or local linearization within the concept of derivative, as well as the product sum, antiderivative, and measure aspects of integration; secondly, the “Grundvorstellungen” associated with the concepts of derivative and integral. We regard finding a comprehensive description of Aspects and “Grundvorstellungen” an important objective of subject matter didactics. This description should clarify both the differences and the relationships between these perspectives, including mathematically motivated Aspects and “Grundvorstellungen” that are central to the students’ perspective. The primary objectives of this paper include a specification of the concepts of Aspects and “Grundvorstellungen” within the context of differentiation and integration, and a discussion of the relationships between the Aspects and “Grundvorstellungen” associated with the concepts of derivative and integral. We first present the characteristic properties of Aspects and “Grundvorstellungen”, including an account of related concepts and the current state of research. Aspects and “Grundvorstellungen” are analyzed, based on a subject-matter didactical analysis of the concepts of derivative and integral. We conclude with an account of how these insights can be beneficially exploited for introducing differentiation and integration in real-life environments, within the framework of a theory of concept understanding and subject matter didactics.

## Keywords

Aspects Grundvorstellungen Derivative Integral Concept

# Aspekte und Grundvorstellungen zum Ableitungs- und Integralbegriff

Stoffdidaktische Perspektiven zur Begriffsbildung

## Zusammenfassung

Der Beitrag befasst sich mit Aspekten und Grundvorstellungen bei der Entwicklung des Ableitungs- und Integralbegriffs, die als zentrale Begriffe des Analysisunterrichts der Sekundarstufe II angesehen werden. Wir konzentrieren uns dabei auf Sichtweisen, die bei der Einführung dieser Begriffe von Bedeutung sind. In der stoffdidaktischen Diskussion werden einerseits verschiedene stärker fachwissenschaftlich fundierte Aspekte wie etwa der Grenzwert des Differenzenquotienten oder die lokale Linearisierung beim Ableitungsbegriff bzw. Produktsummen-, Stammfunktions- oder Maßaspekt beim Integralbegriff unterschieden. Andererseits werden mit dem Ableitungs- und dem Integralbegriff Grundvorstellungen verbunden. Eine wichtige Aufgabe der Stoffdidaktik sehen wir in der umfassenden Beschreibung von Aspekten und Grundvorstellungen sowie in der Klärung der Unterschiede und Zusammenhänge dieser Sichtweisen, also zwischen den eher fachmathematisch zu begründenden Aspekten sowie den aus der Perspektive der Lernenden zentralen Grundvorstellungen. Die Präzisierung der Begriffe Aspekt und Grundvorstellung im Kontext der betrachteten Begriffe Ableitung und Integral sowie die Diskussion der Beziehungen zwischen Aspekten und Grundvorstellungen am Beispiel des Ableitungs- und Integralbegriffs sind zentrale Ziele des Beitrags. Im Beitrag werden zunächst unter Berücksichtigung verwandter Konzepte und des aktuellen Forschungsstandes die charakteristischen Eigenschaften von Aspekten und Grundvorstellungen vorgestellt. Dann werden diese auf der Basis einer stoffdidaktischen Analyse für den Ableitungs- und Integralbegriff analysiert. Abschließend geben wir einen Ausblick, wie diese Erkenntnisse unter den aktuellen Rahmenbedingungen im Rahmen von Begriffsverständnis und Stoffdidaktik zur Einführung des Ableitungs- und Integralbegriffs gewinnbringend genutzt werden können.

## Schlüsselwörter

Aspekte Grundvorstellungen Ableitung Integral Begriff

C30 I40 I50

## References

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## Authors and Affiliations

• G. Greefrath
• 1
Email author
• R. Oldenburg
• 2
• H.-S. Siller
• 3
• V. Ulm
• 4
• H.-G. Weigand
• 5
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2. 2.Institut für MathematikUniversität AugsburgAugsburgGermany
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4. 4.Lehrstuhl für Mathematik und ihre DidaktikUniversität BayreuthBayreuthGermany
5. 5.Lehrstuhl für Didaktik der MathematikJulius-Maximilians-Universität WürzburgWürzburgGermany