On the Lebesgue summability of regularly convergent double trigonometric series

Abstract

We recall that the Lebesgue summability of the double trigonometric series

$$\sum\limits_{m \in \mathbb{Z}} {\sum\limits_{m \in \mathbb{Z}} {c_{m,n} e^{i(mx + ny)} } }$$

((*))

is defined in terms of the symmetric differentiability of its formally integrated series with respect to both variables. Under conditions weaker than the known ones in the literature, in this paper we prove that if the series (*) converges regularly at a point (x, y) to the sum s, then it is also Lebesgue summable at (x, y) to s (cf. the conditions (2.6) and ((2.7) in the known Theorem 1 and the conditions (3.1) and (3.2) in our new Theorem 2). This also demonstrates the superiority of the notion of regular convergence over the notion of convergence in Pringsheim’s sense of double series of numbers (see other examples in [5]).

Резюме

Напомним, что определение суммируемости по Лебегу двойного тригонометрического ряда

$$\sum\limits_{m \in \mathbb{Z}} {\sum\limits_{m \in \mathbb{Z}} {c_{m,n} e^{i(mx + ny)} } }$$

даëтся в терминах симметрической дифференцируемости формально проинтегрированного ряда по обеим переменным. При условиях, которые менее ограничительны по сравнению с уже известными в литературе, в этой работе мы устанавливаем, что если ряд регулярно сходится в некоторой точке (x, y) к сумме s, то он также суммируем к s по Лебегу в этой же точке (см. условия (2.6) и (2.7) в ранее известной теореме 1, и условия (3.1) и (3.2) в нашей новой теореме 2). Это также показывает превосходство понятия регулярной сходимости над понятием сходимости по Прингсхейму для двойного числового ряда (другие примеры см. в [5]).