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Forschung im Ingenieurwesen

, Volume 83, Issue 2, pp 129–135 | Cite as

Regelung eines redundant aktuierten Steer-by-Wire-Systems

  • V. EwaldEmail author
  • U. Konigorski
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Zusammenfassung

Im Rahmen des autonomen Fahrens gewinnen Steer-by-Wire (SbW) Systeme wieder an Bedeutung, da ein permanent mitdrehendes Lenkrad im Fahrzeug unerwünscht ist. Zudem müssen bei autonomen Fahrzeugen Redundanzen an der Fahrzeuglenkung vorgesehen werden, die bis heute als Hemmnis für SbW-Systeme galten. In diesem Beitrag wird ein Modell eines doppelt aktuierten SbW-Systems vorgestellt, bei dem die Aktoren der Lenkung elastisch miteinander verbunden sind. Anschließend wird das Modell vereinfacht. Ein Regelungskonzept für redundant aktuierte SbW-Systeme wird vorgestellt. Durch den Einsatz eines unterlagerten Drehzahlreglers wird durch Verkopplung die Systemordnung des redundanten Systems auf die eines Systems ohne Redundanz reduziert. Mittels eines algebraisch ausgelegten Model-Matching-Reglers wird das unterlagert geregelte System auf die Dynamik eines generischen Lenkungsmodells geregelt. Abschließend werden die Systemeigenschaften des geregelten Systems analysiert. Hierbei kann eine hohe Übereinstimmung zwischen dem geregelten System und dem Referenzsystem nachgewiesen werden. Des Weiteren wird die Passivität des geregelten Systems nachgewiesen, so dass dessen Stabilität bei der Ankopplung an eine passive Umgebung sichergestellt ist.

Control of redundant actuated Steer-by-Wire systems

Abstract

Steer-by-Wire (SbW) systems gain new importance with regard to autonomous driving since a permanently rotating steering wheel is undesired in such a vehicle. Furthermore, redundancies in the vehicle’s steering system must be provided for autonomous vehicles, which have been seen as an obstacle for SbW systems until now. In this article, a control concept for redundantly actuated SbW systems is presented. For this purpose, the mechanical model of a redundantly actuated SbW is presented, in which the actuators of the steering are elastically connected to each other. The mechanical modell is simplified. Using an inner coupling speed controller reduces the system order of the redundant system to the system order without redundancy. With an algebraically designed model-matching controller, the speed controlled system is regulated to the dynamics of a generic steering model. Finally, the system characteristics of the controlled system are analysed. The controlled system matches the reference system in the relevant frequency range. Furthermore passivity can be achieved over the entire frequency range, which ensures the stability of the controlled system when connected to a passive environment.

1 Einleitung

Seit den 1970er Jahren wird die X‑by-Wire-Technologie eingesetzt [10] . So war die Concorde das erste Flugzeug, das mit einem Fly-by-Wire-System ausgestattet wurde. In der Automobilindustrie hat sich Drive-by-Wire heute am Markt durchgesetzt und ermöglicht ein gezieltes Anpassen der Parameter des Fahrzeugantriebs unter Berücksichtigung der fahrdynamischen Gesamtsituation des Fahrzeugs. Weitere X‑by-Wire-Konzepte sind im Kraftfahrzeug in Serie nicht zu finden. So werden zwar diverse Prototypen und Sonderfahrzeuge mit Steer- oder Brake-by-Wire-Konzepten ausgestattet, jedoch haben sich die Konzepte bisher am Markt aufgrund der hohen Anforderungen an ausfallsichere Systeme nicht durchsetzen können. Dies wird sich jedoch in den nächsten Jahren ändern, weil durch die Entwicklung des autonomen Fahrens ausfallsichere und somit redundante Lenksysteme in jedem Fahrzeug vorgesehen werden müssen [11]. Des Weiteren ist ein sich drehendes Lenkrad während der Fahrt eines autonom fahrenden Fahrzeugs für den Fahrer störend und kann bei hochdynamischen Ausweichmanövern des Fahrzeugs gefährlich für den Fahrer sein [4, 8]. Ein drehendes Lenkrad in einem autonomen Fahrmodus würde sich aufgrund der Systemarchitektur bei SbW-Systemen unterbinden lassen.

Im Rahmen dieses Beitrags wird zunächst ein Modell eines überaktuierten SbW-Systems vorgestellt und vereinfacht. Anschließend wird eine unterlagerte Drehzahlregelung entworfen, welche die redundanten Aktoren synchronisiert und somit die Ordnung der unterlagert geregelten Strecke auf die des Zielsystems reduziert [6, 7]. Für die unterlagert geregelte Strecke wird ein Regler entworfen, der eine hohe Modellübereinstimmung zwischen der Strecke und einem Referenzmodell erreicht [9]. Besonders wird dabei auf die Robustheit der Regelung geachtet, welche mittels der Passivität des Systems untersucht wird [2].

2 Modellbildung

In diesem Abschnitt wird die Modellierung des SbW-Systems vorgestellt. Die Lenkungseinheit des Modells besteht aus zwei parallel geschalteten EPS-Systemen mit achsparallelen Antrieben (EPS APA Type) ohne Lenksäule [1, 12]. Die Lenkradeinheit besteht aus einer Welle, auf der sich ein Antrieb sowie ein Lenkrad befinden. Somit ergibt sich keine Nachgiebigkeit im Teilmodell Lenkrad. Die sich so ergebenden mechanischen Schaltbilder werden in Abb. 1 dargestellt. Die Parameter des Modells wurden in [1] ermittelt und sind in Tab. 1 beschrieben. Die Zustandsgrößen sowie Ein- und Ausgangsgrößen des mechanischen Modells sind in Tab. 2 hinterlegt.
Abb. 1

Aufbau SbW

Tab. 1

Parameter des mechanischen Lenkungsmodells nach [1]

Parameter

Wert

Einheit

\(J_{\mathrm{SW}}\)

\(5{,}19\cdot 10^{-2}\)

\(\text{kgm}^2\)

\(d_{\mathrm{SW}}\)

\(1{,}25\cdot 10^{-1}\)

Nms/rad

\(J_{{\mathrm{A}},\mathrm{S}}\)

\(4{,}08\cdot 10^{-4}\)

\(\text{kgm}^{2}\)

\(d_{{\mathrm{A}},\mathrm{S}}\)

\(1{,}35\cdot 10^{-3}\)

Nms/rad

\(i_{\mathrm{K}}\)

\(2{,}56\cdot 10^{3}\)

rad/m

\(k_{\mathrm{K}}\)

\(1{,}62\cdot 10^{7}\)

N/m

\(d_{{\mathrm{K}}}\)

\(2{,}88\cdot 10^{4}\)

Ns/m

\(m_{\mathrm{Z}}\)

\(4{,}83\)

kg

Tab. 2

Eingänge, Ausgänge und Zustandsgrößen des mechanischen Modells

Parameter

Bedeutung

Einheit

\(M_{\mathrm{Drv}}\)

Drehmoment Fahrer auf Lenkrad

Nm

\(M_{{\mathrm{A}},\mathrm{SW}}\)

Drehmoment Aktor auf Lenkrad

Nm

\(\phi_{\mathrm{SW}}\)

Winkel Lenkrad

rad

\(F_{\mathrm{Z}}\)

externe Zahnstangenkraft

N

\(M_{{\mathrm{A}},\mathrm{S},1}\)

Drehmoment Lenkungsaktor 1

Nm

\(M_{{\mathrm{A}},\mathrm{S},2}\)

Drehmoment Lenkungsaktor 2

Nm

\(\phi_{\mathrm{S},1}\)

Winkel Lenkungsaktor 1

rad

\(\phi_{\mathrm{S},2}\)

Winkel Lenkungsaktor 2

rad

\({x}_{{\mathrm{Z}}}\)

Position Zahnstange

m

Bei der Modellbildung der EPS APA Type wird die Dynamik des Zahnriementriebs und des Kugelumlaufgetriebes, welche die rotatorische Bewegung der Motoren in eine translatorische Bewegung der Zahnstange übersetzen, mit der Dämpfung \(d_{{\mathrm{K}}}\), der Steifigkeit \(k_{\mathrm{K}}\) und zum Teil mit der Massenträgheit \(J_{{\mathrm{A}},\mathrm{S}}\) berücksichtigt. Die Parameter \(d_{{\mathrm{K}}}\) und \(k_{\mathrm{K}}\) bestehen jedoch ausschließlich aus der Steifigkeit und Dämpfung des Kugelumlaufgetriebes, da der Zahnriementrieb gegenüber dem Kugelumlaufgetriebe als steif angesehen werden kann. Die Trägheit der Kugelumlaufgetriebe kann somit der Massenträgheit der Aktoren \(J_{{\mathrm{A}},\mathrm{S}}\) zugeschlagen werden [1].

Aus dem mechanischen Schaltbild wird das Zustandsraummodell
$$\dot{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{SW}}=\mathbf{A}_{\mathrm{SW}}\boldsymbol{x}_{\mathrm{SW}}+\mathbf{B}_{\mathrm{SW}}\boldsymbol{u}_{\mathrm{SW}}\text{, }\boldsymbol{y}_{\mathrm{SW}}=\mathbf{C}_{\mathrm{SW}}\boldsymbol{x}_{\mathrm{SW}}$$
für das Lenkrad mit
$$\begin{array}[]{l}\boldsymbol{x}_{\mathrm{SW}}=\begin{bmatrix}\phi_{\mathrm{SW}}\\ \dot{\phi}_{\mathrm{SW}}\\ \end{bmatrix},\boldsymbol{u}_{\mathrm{SW}}=\begin{bmatrix}M_{\mathrm{Drv}}\\ M_{{\mathrm{A}},\mathrm{SW}}\end{bmatrix}\\ \mathbf{A}_{\mathrm{SW}}=\begin{bmatrix}0&1\\ 0&-\frac{d_{\mathrm{SW}}}{J_{\mathrm{SW}}}\end{bmatrix},\mathbf{B}_{\mathrm{SW}}=\begin{bmatrix}0&0\\ \frac{1}{J_{\mathrm{SW}}}&\frac{1}{J_{\mathrm{SW}}}\end{bmatrix} \mathrm{\ und \ }\mathbf{C}_{\mathrm{SW}}=\begin{bmatrix}1&0\\ 0&1\end{bmatrix}\end{array}$$
(1)
aufgestellt.

Aus Abb. 1 ergibt sich auch das Zustandsraummodell der Lenkung, das in (2) auf der nächsten Seite dargestellt wird. Die Position der Zahnstange ist nicht messbar, weswegen \(\mathbf{C}_{\mathrm{S,3DoF}}\), nicht der Einheitsmatrix entspricht.

Die Eigenwerte des Systems liegen bei \(\boldsymbol{\lambda}_{\mathrm{S,3DoF}}=\begin{bmatrix}0&-3{,}3&-7{,}04\pm 77{,}5i&-626{,}7&-5345\end{bmatrix}^{T}\) Die schnellen Eigenwerte \(-626{,}7\) und \(-5345\) resultieren aus der geringen Massenträgheit der Zahnstange gegenüber den Lenkungsaktoren \(\left( J_{{\mathrm{A}},\mathrm{S}}\gg\frac{m_{\mathrm{Z}}}{i^{2}_{\mathrm{K}}} \right)\). Dies lässt vermuten, dass diese beiden Eigenwerte nur einen geringen Einfluss auf die Dynamik des Systems haben. Da zudem die Zahnstangenposition \({x}_{{\mathrm{Z}}}\) nicht messbar ist, wird das um diesen Freiheitsgrad reduzierte Zustandsraummodell \(\dot{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{S}}=\mathbf{A}_{\mathrm{S}}\boldsymbol{x}_{\mathrm{S}}+\mathbf{B}_{\mathrm{S}}\boldsymbol{u}_{\mathrm{S}}\) mit
$$\boldsymbol{x}_{\mathrm{S}}=\begin{bmatrix}\phi_{\mathrm{S},1}\\ \dot{\phi}_{\mathrm{S},1}\\ \phi_{\mathrm{S},2}\\ \dot{\phi}_{\mathrm{S},2}\\ \end{bmatrix},\boldsymbol{u}_{\mathrm{S}}=\begin{bmatrix}M_{{\mathrm{A}},\mathrm{S},1}\\ M_{{\mathrm{A}},\mathrm{S},2}\\ F_{\mathrm{Z}}\end{bmatrix}$$
(3)
$$\mathbf{A}_{\mathrm{S}}=\begin{bmatrix}0&1&0&0\\ -\frac{k_{\mathrm{K}}}{2{i_{\mathrm{K}}}^{2}J_{{\mathrm{A}},\mathrm{S}}}&-\frac{d_{{\mathrm{A}},\mathrm{S}}+\frac{d_{{\mathrm{K}}}}{2{i_{\mathrm{K}}}^{2}}}{J_{{\mathrm{A}},\mathrm{S}}}&\frac{k_{\mathrm{K}}}{2{i_{\mathrm{K}}}^{2}J_{{\mathrm{A}},\mathrm{S}}}&\frac{d_{{\mathrm{K}}}}{2{i_{\mathrm{K}}}^{2}J_{{\mathrm{A}},\mathrm{S}}}\\ 0&0&0&1\\ \frac{k_{\mathrm{K}}}{2{i_{\mathrm{K}}}^{2}J_{{\mathrm{A}},\mathrm{S}}}&\frac{d_{{\mathrm{K}}}}{2{i_{\mathrm{K}}}^{2}J_{{\mathrm{A}},\mathrm{S}}}&-\frac{k_{\mathrm{K}}}{2{i_{\mathrm{K}}}^{2}J_{{\mathrm{A}},\mathrm{S}}}&-\frac{d_{{\mathrm{A}},\mathrm{S}}+\frac{d_{{\mathrm{K}}}}{2{i_{\mathrm{K}}}^{2}}}{J_{{\mathrm{A}},\mathrm{S}}}\end{bmatrix}$$
und
$$\mathbf{B}_{\mathrm{S}}=\begin{bmatrix}0&0&0\\ \frac{1}{J_{{\mathrm{A}},\mathrm{S}}}&0&\frac{1}{J_{{\mathrm{A}},\mathrm{S}}{i_{\mathrm{K}}}}\\ 0&0&0\\ 0&\frac{1}{J_{{\mathrm{A}},\mathrm{S}}}&\frac{1}{J_{{\mathrm{A}},\mathrm{S}}{i_{\mathrm{K}}}}\\ \end{bmatrix},$$
betrachtet, bei dem die Zahnstange als masselos angenommen wird (\(m_{\mathrm{Z}}=0\)) und somit die beiden schnellsten Eigenwerte vernachlässigt werden [6]. Für das System gilt \(\boldsymbol{y}_{\mathrm{S}}=\boldsymbol{x}_{\mathrm{S}}\), weil alle Zustände gemessen werden.
In Abb. 2 ist zu erkennen, dass der Fehler durch die Vernachlässigung von \(m_{\mathrm{Z}}\) bezüglich der Amplitude der Zahnstangenposition \({x}_{{\mathrm{Z}}}\) erst bei höheren Frequenzen in Erscheinung tritt. Bezüglich der Amplitude von \(\phi_{\mathrm{S},1}\) und \(\phi_{\mathrm{S},2}\) treten Abweichungen im abgebildeten Frequenzbereich nicht auf. Da der lenkungsdynamisch relevante Frequenzbereich zwischen \(0\text{Hz}<f<30\text{Hz}\) liegt, kann das Modell daher um einen mechanischen Freiheitsgrad reduziert werden [5].
Abb. 2

Bodediagramm Vergleich zwischen Modell mit drei mechanischen Freiheitsgraden (3DoF,—) gegenüber zwei mechanischen Freiheitsgraden (2DoF,- - -)

3 Regelung

In diesem Abschnitt wird die Regelung des SbW-Systems vorgestellt. Diese besteht aus zwei unterlagerten Drehzahlreglern, sowie einem Model-Matching-Regler. Dem Model-Matching-Regler wird ein lineares Referenzsystem vorgegeben, welches das Sollverhalten der Lenkung abbildet. Der Aufbau des sich so ergebenden Systems ist in Abb. 3 dargestellt.
Abb. 3

Reglerstruktur

Durch die unterlagerten Drehzahlregler werden zum einen die redundanten Aktoren synchronisiert und zum anderen Modellfehler und Nichtlinearitäten ausgeregelt, während der Model-Matching-Regler für die Verkopplung der Teilsysteme und somit mechanisch gesehen für die Nachbildung der Lenksäule verantwortlich ist. Die unterlagerten Drehzahlregelungen werden wesentlich schneller als der überlagerte Modell-Matching-Regler und somit schneller als das Referenzsystems ausgelegt.

Die Auslegung der Drehzahlregelung für das Lenkrad wird über Polplatzierung vorgenommen. Da es sich um ein Single-Input-Single-Output-System (SISO) handelt, wird auf eine Herleitung verzichtet und auf die entsprechende Literatur verwiesen [3]. Mit einem P‑Regler und einem Vorfilter mit dem Regelgesetz
$$\begin{array}[]{l}M_{{\mathrm{A}},\mathrm{SW}}={k}_{\mathrm{\dot{\phi},\mathrm{SW}}}\cdot\dot{\phi}_{\mathrm{SW}}+{v}_{\dot{\phi},\mathrm{SW}}\cdot\dot{\phi}_{\mathrm{SW},{\mathrm{So}}}\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=-0{,}3945\cdot\dot{\phi}_{\mathrm{SW}}+0{,}519\cdot\dot{\phi}_{\mathrm{SW},{\mathrm{So}}},\end{array}$$
(4)
wird der Eigenwert des Lenkrads auf \(-10\) gelegt und die stationäre Genauigkeit sichergestellt, sofern keine Störung am Lenkrad vorliegt.

Die Drehzahlregelung des Lenksystems gestaltet sich aufwendiger, weil beide Aktoren elastisch verbunden sind. Um ein Verspannen und somit Schwingen der Aktoren gegeneinander zu vermeiden, wird eine Verkopplungsregelung mittels Vollständiger Modaler Synthese eingesetzt [3]. Diese Regelung hat den Vorteil, dass die Systemordnung auf die eines Systems ohne Redundanz reduziert wird und somit die Drehzahl und Position eines Aktors für den überlagerten Regler unsteuerbar gemacht werden [6].

Als Verkopplungsbedingung wird \(\phi_{\mathrm{S},1}-\phi_{\mathrm{S},2}\overset{!}{=}0\) festgelegt. Die Eigenwerte des Systems werden auf \(\boldsymbol{\lambda}_{\dot{\phi}_{\mathrm{S}},{\mathrm{G}}}=\begin{bmatrix}0&-15&-85&-90\end{bmatrix}^{T}\) gelegt. Der Eigenwert in 0 stellt sicher, dass die Drehzahl und nicht die Position die Führungsgröße des geregelten Systems ist. Der zweite Eigenwert in \(-15\) gibt dem verkoppelten drehzahlgeregelten System die Dynamik vor. Die beiden restlichen Eigenwerte in \(-85\) und \(-90\) werden für den überlagerten Modell-Matching-Regler unsteuerbar gemacht und ausschließlich durch Störungen auf das System angeregt [7]. Das Regelgesetz
$$\begin{bmatrix}M_{{\mathrm{A}},\mathrm{S},1}\\ M_{{\mathrm{A}},\mathrm{S},2}\end{bmatrix}=\mathbf{K}_{\dot{\phi}_{\mathrm{S}}}\boldsymbol{x}_{\mathrm{S}}+\boldsymbol{v}_{\mathrm{S}}\dot{\phi}_{\mathrm{S},{\mathrm{So}}}=10^{-3}\cdot$$
(5)
$$\left(\begin{bmatrix}-324{,}6&-35{,}21&324{,}6&30{,}44\\ 324{,}6&30{,}44&-324{,}6&-35{,}21\end{bmatrix}\boldsymbol{x}_{\mathrm{S}}+\begin{bmatrix}6{,}11\\ 6{,}11\end{bmatrix}\dot{\phi}_{\mathrm{S},{\mathrm{So}}}\right)$$
beschreibt den Verkopplungsregler für das System (3).
Werden die Drehzahlregler (4) und (5) in (1) und (3) eingesetzt und die beiden unterlagert geregelten Teilsysteme zu einem System zusammengefasst, ergibt sich
$$\underbrace{\begin{bmatrix}\dot{\phi}_{\mathrm{SW}}\\ \ddot{\phi}_{\mathrm{SW}}\\ \dot{\phi}_{\mathrm{S},1}\\ \ddot{\phi}_{\mathrm{S},1}\\ \dot{\phi}_{\mathrm{S},2}\\ \ddot{\phi}_{\mathrm{S},2}\\ \end{bmatrix}}_{\dot{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{Sys}}}=\underbrace{\begin{bmatrix}0&1&0&0&0&0\\ 0&-10&0&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&0\\ 0&0&-3825&-95&3825&80\\ 0&0&0&0&0&1\\ 0&0&3825&80&-3825&-95\\ \end{bmatrix}}_{\mathbf{A}_{\mathrm{Sys}}}\underbrace{\begin{bmatrix}\phi_{\mathrm{SW}}\\ \dot{\phi}_{\mathrm{SW}}\\ \phi_{\mathrm{S},1}\\ \dot{\phi}_{\mathrm{S},1}\\ \phi_{\mathrm{S},2}\\ \dot{\phi}_{\mathrm{S},2}\\ \end{bmatrix}}_{\boldsymbol{x}_{\mathrm{Sys}}}+$$
$$\underbrace{\begin{bmatrix}0&0\\ 10&0\\ 0&0\\ 0&15\\ 0&0\\ 0&15\\ \end{bmatrix}}_{\mathbf{B}_{{\mathrm{Sys}},1}}\underbrace{\begin{bmatrix}\dot{\phi}_{\mathrm{SW},{\mathrm{So}}}\\ \dot{\phi}_{\mathrm{S},{\mathrm{So}}}\\ \end{bmatrix}}_{\boldsymbol{u}_{{\mathrm{Sys}},1}}+\underbrace{\begin{bmatrix}0&0\\ 19{,}27&0\\ 0&0\\ 0&0{,}4797\\ 0&0\\ 0&0{,}4797\\ \end{bmatrix}}_{\mathbf{B}_{{\mathrm{Sys}},2}}\underbrace{\begin{bmatrix}M_{\mathrm{Drv}}\\ F_{\mathrm{Z}}\\ \end{bmatrix}}_{\boldsymbol{u}_{{\mathrm{Sys}},2}}$$
(6)
als drehzahlgeregeltes Gesamtsystem.
Das Referenzsystem, an das dieses System angepasst werden soll, wird durch das Zustandsraummodell \(\dot{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{Re}}=\mathbf{A}_{\mathrm{Re}}\boldsymbol{x}_{\mathrm{Re}}+\mathbf{B}_{\mathrm{Re}}\boldsymbol{u}_{\mathrm{Re}}\) mit
$$\boldsymbol{x}_{\mathrm{Re}}=\begin{bmatrix}\Delta_{{\mathrm{Re}}}\\ \dot{\phi}_{\mathrm{SW},{\mathrm{Re}}}\\ \dot{x}_{{\mathrm{Z}},{\mathrm{Re}}}\\ \end{bmatrix},\boldsymbol{u}_{\mathrm{Re}}=\begin{bmatrix}M_{\mathrm{Drv}}\\ F_{\mathrm{Z}}\end{bmatrix}$$
$$\mathbf{A}_{\mathrm{Re}}=\begin{bmatrix}0&1&-i_{\mathrm{S}}\\ -\frac{k_{\mathrm{TB}},{\mathrm{Re}}}{J_{\mathrm{SW},{\mathrm{Re}}}}&-\frac{d_{{\mathrm{TB}},{\mathrm{Re}}}+d_{\mathrm{SW},{\mathrm{Re}}}}{J_{\mathrm{SW},{\mathrm{Re}}}}&\frac{d_{{\mathrm{TB}},{\mathrm{Re}}}i_{\mathrm{S}}}{J_{\mathrm{SW},{\mathrm{Re}}}}\\ \frac{k_{\mathrm{TB}},{\mathrm{Re}}i_{\mathrm{S}}}{m_{{\mathrm{Z}},{\mathrm{Re}}}}&\frac{d_{{\mathrm{TB}},{\mathrm{Re}}}i_{\mathrm{S}}}{m_{{\mathrm{Z}},{\mathrm{Re}}}}&-\frac{d_{{\mathrm{TB}},{\mathrm{Re}}}i_{\mathrm{S}}^{2}+d_{{\mathrm{Z}},{\mathrm{Re}}}}{m_{{\mathrm{Z}},{\mathrm{Re}}}}\\ \end{bmatrix}$$
und
$$\mathbf{B}_{\mathrm{Re}}=\begin{bmatrix}0&0\\ \frac{1}{J_{\mathrm{SW},{\mathrm{Re}}}}&0\\ 0&\frac{1}{m_{{\mathrm{Z}},{\mathrm{Re}}}}.\end{bmatrix}$$
(7)
beschrieben. Der Zustandsvektor besteht aus der Drehzahl des Lenkrads \(\dot{\phi}_{\mathrm{SW},{\mathrm{Re}}}\), der Zahnstangengeschwindigkeit \(\dot{x}_{{\mathrm{Z}},{\mathrm{Re}}}\), sowie der Verdrehung des Drehstabs \(\Delta_{{\mathrm{Re}}}\) bezogen auf die Lenksäule. Beliebige Zweimassenschwinger, deren Massenträgheiten mit denen des zu regelnden Systems übereinstimmen, können dem System als Referenzmodell vorgegeben werden. Für die freien Parameter wird auf Literaturwerte zurückgegriffen [10]. Die mechanischen Parameter sind in Tab. 3 angegeben. Die Eigenwerte des Referenzsystems der Lenkung ergeben sich aus \(\mathbf{A}_{\mathrm{Re}}\) zu \(\lambda_{{\mathrm{Re}},1{,}2}=-1{,}36\pm 50{,}44i\mathrm{\ und \ }\lambda_{{\mathrm{Re}},3}=-0{,}026\).
Abb. 4

Aufbau Referenzlenkung

Tab. 3

Parameter des Referenzsystems

Parameter

Wert

Einheit

\(J_{\mathrm{SW},{\mathrm{Re}}}\)

\(0{,}0519\)

\(\text{kgm}^{2}\)

\(d_{\mathrm{SW},{\mathrm{Re}}}\)

\(0{,}01\)

Nms/rad

\(d_{{\mathrm{TB}},{\mathrm{Re}}}\)

\(0{,}1146\)

Nms/rad

\(k_{\mathrm{TB},{\mathrm{Re}}}\)

\(114{,}59\)

Nm/rad

\(m_{{\mathrm{Z}},{\mathrm{Re}}}\)

\(5456{,}1\)

kg

\(d_{{\mathrm{Z}},{\mathrm{Re}}}\)

\(0{,}01\)

Ns/m

\(i_{\mathrm{S}}\)

\(125{,}66\)

rad/m

Aus Sicht der überlagerten Modell-Matching-Regelung des Systems sind zwei Zustände aufgrund des Verkopplungsreglers über \(\boldsymbol{u}_{{\mathrm{Sys}},1}\) nicht steuerbar. Bei alleiniger Betrachtung des Differenzwinkels ist der Absolutwinkel \(\phi_{\mathrm{SW}}\) nicht beobachtbar. Daher lässt sich das System aus (6) auf drei Zustände reduzieren. Als Zustandsvektor des reduzierten Systems wird
$$\boldsymbol{x}_{{\mathrm{Sys}},{\mathrm{Red}}}=\begin{bmatrix}\phi_{\mathrm{SW}}-\frac{i_{\mathrm{S}}}{{i_{\mathrm{K}}}^{2}}\phi_{\mathrm{S}}\\ \dot{\phi}_{\mathrm{SW}}\\ \dot{\phi}_{\mathrm{S},1}\end{bmatrix}$$
gewählt. Somit ergibt sich für das zustandsreduzierte System
$$\begin{array}[]{l}\underbrace{\begin{bmatrix}\dot{\Delta}_{{\mathrm{Re}}}\\ \ddot{\phi}_{\mathrm{SW}}\\ \ddot{\phi}_{\mathrm{S}}\\ \end{bmatrix}}_{\dot{\boldsymbol{x}}_{{\mathrm{Sys}},{\mathrm{Red}}}}=\underbrace{\begin{bmatrix}0&1&-0{,}04912\\ 0&-10&0\\ 0&0&-15\\ \end{bmatrix}}_{\mathbf{A}_{{\mathrm{Sys}},{\mathrm{Red}}}}\underbrace{\begin{bmatrix}{\Delta}_{{\mathrm{Re}}}\\ \dot{\phi}_{\mathrm{SW}}\\ \dot{\phi}_{\mathrm{S}}\\ \end{bmatrix}}_{\boldsymbol{x}_{{\mathrm{Sys}},{\mathrm{Red}}}}+\\ \underbrace{\begin{bmatrix}0&0\\ 10&0\\ 0&15\\ \end{bmatrix}}_{\mathbf{B}_{{\mathrm{Sys}},{\mathrm{Red}},1}}\underbrace{\begin{bmatrix}\dot{\phi}_{\mathrm{SW},{\mathrm{So}}}\\ \dot{\phi}_{\mathrm{S},{\mathrm{So}}}\end{bmatrix}}_{\mathbf{u}_{{\mathrm{Sys}},1}}+\underbrace{\begin{bmatrix}0&0\\ 19{,}27&0\\ 0&0{,}4797\\ \end{bmatrix}}_{\mathbf{B}_{{\mathrm{Sys}},{\mathrm{Red}},2}}\underbrace{\begin{bmatrix}M_{\mathrm{Drv}}\\ F_{{\mathrm{Z}}}\\ \end{bmatrix}}_{\mathbf{u}_{{\mathrm{Sys}},2}}.\end{array}$$
(8)
Die überlagerte Regelung wird mittels eines algebraischen Model-Matching-Ansatzes realisiert [9]. Für das Referenzsystem aus (7) wird eine Zustandstransformation mit
$$\boldsymbol{x}_{\mathrm{{\mathrm{Re}},T}}=\begin{bmatrix}\Delta_{\mathrm{Re}}\\ \dot{\phi}_{\mathrm{SW},{\mathrm{Re}}}\\ \dot{\phi}_{\mathrm{S},{\mathrm{Re}}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&{i_{\mathrm{K}}}^{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\Delta_{\mathrm{Re}}\\ \dot{\phi}_{\mathrm{SW},{\mathrm{Re}}}\\ \dot{x}_{{\mathrm{Z}},{\mathrm{Re}}}\end{bmatrix}$$
vorgenommen, aus der sich das transformierte Referenzsystem \(\dot{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{{\mathrm{Re}},T}}=\mathbf{A}_{\mathrm{{\mathrm{Re}},T}}\boldsymbol{x}_{\mathrm{{\mathrm{Re}},T}}+\mathbf{B}_{\mathrm{{\mathrm{Re}},T}}\boldsymbol{u}_{\mathrm{{\mathrm{Re}}}}\) ergibt. Dabei wird die Position der Zahnstange auf den Winkel des Lenkungsaktors transformiert, damit dieselben Systemzustände wie in (8) vorliegen.
Für die Systemmatrix des geregelten Systems gilt
$$\mathbf{A}_{{\mathrm{G}}}=\mathbf{A}_{{\mathrm{Sys}},{\mathrm{Red}}}+\mathbf{B}_{{\mathrm{Sys}},{\mathrm{Red}},1}\mathbf{K}_{\mathrm{ma}}$$
und es soll \(\mathbf{A}_{{\mathrm{Re}},\mathrm{T}}\overset{!}{=}\mathbf{A}_{{\mathrm{G}}}\) gelten, also die Systemmatrix des geregelten Systems der des Referenzsystems entsprechen. Dann muss
$$\begin{array}[]{l}\mathbf{B}_{{\mathrm{Sys}},{\mathrm{Red}},1}\mathbf{K}_{\mathrm{ma}}=\mathbf{A}_{{\mathrm{Re}},\mathrm{T}}-\mathbf{A}_{{\mathrm{Sys}},{\mathrm{Red}}}\\ \begin{bmatrix}0&0\\ 10&0\\ 0&15\end{bmatrix}\mathbf{K}_{\mathrm{{\mathrm{ma}}}}=\begin{bmatrix}0&1&-0{,}0491\\ -2207{,}9&-2{,}4008&0{,}1084\\ 6893{,}1&6{,}8937&-0{,}3384\\ \end{bmatrix}\\ -\begin{bmatrix}0&1&-0{,}0491\\ 0&-10&0\\ 0&0&-15\\ \end{bmatrix}\end{array}$$
gelten. Durch die vorliegende Struktur der Matrizen ist diese Gleichung gemäß
$$\begin{array}[]{l}\mathbf{K}_{\mathrm{{\mathrm{ma}}}}=\mathbf{B}_{{\mathrm{Sys}},{\mathrm{Red}},1}^{+}\cdot\left(\mathbf{A}_{\mathrm{{\mathrm{Re}},T}}-\mathbf{A}_{{\mathrm{Sys}},{\mathrm{Red}}}\right)=\\ \begin{bmatrix}0&0\\ 10&0\\ 0&15\end{bmatrix}^{+}\cdot\left(\begin{bmatrix}0&1&-0{,}0491\\ -2207{,}9&-2{,}4008&0{,}1084\\ 6893{,}1&6{,}8937&-0{,}3384\\ \end{bmatrix}\right.\\ -\left.\begin{bmatrix}0&1&-0{,}0491\\ 0&-10&0\\ 0&0&-15\\ \end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}-221{,}21&0{,}762&0{,}011\\ 461{,}05&0{,}461&0{,}981\end{bmatrix}\end{array}$$
analytisch lösbar.
Somit ergibt sich aus den zwei Teilreglern ein Regelgesetz, das über
$$\begin{array}[]{l}\underbrace{\begin{bmatrix}M_{{\mathrm{A}},\mathrm{SW}}\\ M_{{\mathrm{A}},\mathrm{S},1}\\ M_{{\mathrm{A}},\mathrm{S},2}\end{bmatrix}}_{\text{Stellgr{\"o}{\ss}en}}=\underbrace{\begin{bmatrix}{k}_{\dot{\phi}_{\mathrm{SW}}}&\mathbf{0}\\ \mathbf{0}&\mathbf{K}_{\dot{\phi}_{\mathrm{S}}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\dot{\phi}_{\mathrm{SW}}\\ \boldsymbol{x}_{\mathrm{S}}\end{bmatrix}}_{\text{Drehzahlregler}}+\\ \underbrace{\begin{bmatrix}{v}_{\dot{\phi}_{\mathrm{SW}}}&{0}\\ \mathbf{0}&\boldsymbol{v}_{\mathrm{S}}\end{bmatrix}}_{\text{Drehzahlvorfilter}}\underbrace{\mathbf{K}_{\mathrm{{\mathrm{ma}}}}\boldsymbol{x}_{{\mathrm{Sys}},{\mathrm{Red}}}}_{\text{Model-Matching}}=\\ \begin{bmatrix}-114{,}6&0{,}0004&5{,}63&0&0{,}006&0\\ 2{,}812&0{,}0028&-0{,}46&0{,}33&-0{,}029&0{,}03\\ 2{,}812&0{,}0028&0{,}19&-0{,}33&0{,}036&-0{,}04\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\phi_{\mathrm{SW}}\\ \dot{\phi}_{\mathrm{SW}}\\ \phi_{\mathrm{S},1}\\ \phi_{\mathrm{S},2}\\ \dot{\phi}_{\mathrm{S},1}\\ \dot{\phi}_{\mathrm{S},2}\\ \end{bmatrix}\end{array}$$
beschrieben wird.

4 Systemanalyse

In diesem Abschnitt werden die Systemeigenschaften des geregelten Systems analysiert. Hierbei wird die Stabilität des Systems über die Passivität und die Transparenz mittels der Differenz der Admittanz des geregelten und des Referenz-Systems untersucht.

Um die Übereinstimmung zwischen dem Wunschverhalten und dem Verhalten des geregelten Systems zu analysieren, wird die Admittanz des geregelten Systems mit der des Referenzsystems verglichen. In Abb. 5 ist zu erkennen, dass die Frequenzgänge von der Zahnstangenkraft zur Lenkradgeschwindigkeit \(\frac{\dot{\phi}_{\mathrm{SW}}(\mathrm{j}\omega)}{F_{\mathrm{Z}}(\mathrm{j}\omega)}\) und vom Fahrerdrehmoment zur Zahnstangengeschwindigkeit \(\frac{\dot{x}_{{\mathrm{Z}}}(\mathrm{j}\omega)}{M_{\mathrm{Drv}}(\mathrm{j}\omega)}\) für \(\omega<900\text{rad/s}\) gut übereinstimmen. Der lenkungsdynamisch relevante Frequenzbereich liegt zwischen \(0\text{rad/s}<\omega<190\text{rad/s}\) und wird somit gut durch das geregelte System dargestellt [5].

Im Frequenzgang von \(\frac{\dot{x}_{{\mathrm{Z}}}(\mathrm{j}\omega)}{F_{\mathrm{Z}}(\mathrm{j}\omega)}\) aus Abb. 5 wirken sich ab \(\omega> 50\text{rad/s}\) die Modellvereinfachungen aus, wie im Vergleich mit Abb. 2 festgestellt werden kann. Allerdings ist der Übertragungspfad nicht relevant für die Informationsübertragung des Systems an den Fahrer.

Die Passivität eines Systems stellt die Stabilität des Gesamtsystems sicher, wenn dieses an weitere passive Systeme gekoppelt wird. Passivität kann über den Frequenzgang des Systemes nachgewiesen werden. In Abb. 5 ist zu sehen, dass sowohl das Referenzsystem als auch das geregelte System passiv sind. Das geregelte System ist passiv und die Stabilität des Gesamtsystems wird sichergestellt, da die Phase an den Toren des Zweitors nicht unter \(-90^{\circ}\) fällt [2]. Die Voraussetzung, dass die angekoppelten Systeme passiv sind, stellt dabei keine Einschränkung dar, weil davon auszugehen ist, dass die Fahrzeugquerdynamik und der Fahrer passiv sind [9].
Abb. 5

Bodediagramm Vergleich Referenzsystem (‑ - -) und geregeltes System (—)

5 Ergebnisse

Im Rahmen dieses Beitrags wird das mechanische Modell eines doppelt aktuierten SbW-Systems vorgestellt. Die Modellbildung wird erläutert und eine Reduktion des Modells um einen mechanischen Freiheitsgrad vorgenommen.

Darauf folgend wird ein Regelungskonzept für SbW-Systeme vorgestellt, welches für redundant aktuierte Systeme geeignet ist, deren Aktoren verkoppelt sind. Dabei werden zwei Drehzahlregler, welche die Aktoren unterlagert regeln, entworfen und des Weiteren ein überlagerter Modell-Matching-Regler, der die Dynamik des Systems auf die eines generischen Referenzsystems anpasst. Der Regler wird aus einer algebraischen Gleichung analytisch berechnet.

Abschließend werden die Systemeigenschaften des geregelten Systems untersucht. Das geregelte System zeigt dasselbe Übertragungsverhalten wie das Referenzsystem für den lenkdynamisch relevanten Frequenzbereich. Zudem kann dem geregelten System Passivität nachgewiesen werden, was die Stabilität des Gesamtsystems sicherstellt.

6 Ausblick

Im nächsten Schritt muss eine weitere überlagerte Regelung entworfen werden, welche die Lenkungsfunktionen einer elektrischen Servorlenkung für das SbW bereitstellt [10]. Dieses Regelungskonzept wird anschließend am Prüfstand des Fachgebiets implementiert.

Des Weiteren wurde im Rahmen dieser Arbeit der Freiheitsgrad, der sich aus der Überaktuierung des Systems ergibt, nicht weiter genutzt. Weitere Untersuchungen, z. B. die Möglichkeit, die Stellgrößen an der redundant aktuierten Lenkung gezielt aufzuteilen, sollen dazu noch erfolgen und umgesetzt werden.

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Copyright information

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019

Authors and Affiliations

  1. 1.Institut für Automatisierungstechnik und Mechatronik, FG Regelungstechnik und MechatronikTechnische Universität DarmstadtDarmstadtDeutschland

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