Advertisement

Forschung im Ingenieurwesen

, Volume 75, Issue 2, pp 73–92 | Cite as

Konvexe und nichtkonvexe Fließflächen

  • A. Bolchoun
  • V. A. KolupaevEmail author
  • H. Altenbach
Originalarbeiten/Originals

Zusammenfassung

Die Festigkeitshypothesen und Fließflächen aus den klassischen Kursen der Mechanik (die Normalspannungshypothese, die Modelle nach von Mises und Tresca) reichen oft nicht aus, das tatsächliche Verhalten von Bauteilen unter Belastung zu erfassen. Deshalb werden in der Literatur weitere Modelle mit einem oder mehreren Parametern vorgeschlagen. Diese Modelle beschränken allerdings die Geometrien der zulässigen Formen der Flächen im Spannungsraum.

In dieser Arbeit wird ein auf die Zugspannung normiertes Druck-Torsion-Diagramm vorgestellt, in dem sich die Modelle inkompressiblen Materialverhaltens miteinander vergleichen lassen. Mit diesem Diagramm wird der Begriff der Symmetrie der Fläche in der π-Ebene verdeutlicht. Die konvexen Flächen inkompressiblen Materialverhaltens sind im Diagramm durch zwei Modelle extremaler Fließfiguren beschränkt.

Auf der Basis von verallgemeinerten Modellen (Radcig-Modell und konvexe Kombination der Modelle von Sayir und Haythornthwaite) wird die minimale Anzahl der Parameter für die Abbildung konvexen Formen inkompressiblen Materialverhaltens diskutiert. Wegen der Komplexität werden diese Modelle für die Praxis nicht empfohlen. Daneben wird ein so genanntes geometrisch-mechanisches Modell mit zwei Parametern vorgeschlagen, das mehrere konvexe Formen beinhaltet. Durch die Variation der Potenz der Spannung in diesem Modell wird versucht, einen maximalen Bereich an konvexen Lösungen im Druck-Torsion-Diagramm zu erhalten.

Die Analyse von Fließflächen ist mit der Berechnung der Konvexitätsgrenzen verbunden. Bei der analytischen Überprüfung der Konvexität wird von einer Formel von Betten-Troost ausgegangen. Einige Restriktionen, denen die Konvexität unterliegt, werden mit dieser Formel jedoch nicht erkannt. Eine Nachrechnung der Formel von Betten-Troost hat zu zusätzlichen Termen geführt. Da die Einschränkungen bei der Herleitung der Formel nicht bekannt sind, wird hier mit der korrigierten Gleichung gearbeitet.

Um kompressibles Materialverhalten beschreiben zu können, wird die erste Spannungsinvariante in die Modellgleichungen eingeführt. In Abhängigkeit von der vorhandenen Potenzen der Vergleichsspannung in den Modellgleichungen werden drei einfache Transformationen vorgeschlagen, die die Anwendung der Modelle deutlich vereinfachen. Bei dieser Vorgehensweise erübrigt sich die Überprüfung der Konvexität in den Meridianschnitten.

Abkürzungen

Φ

Modell isotropen Materialverhaltens

σ,s

Spannungstensor, Spannungsdeviator

I1

Spur des Spannungstensors, erste Invariante des Spannungstensors

\(I_{2}'\), \(I_{3}'\)

zweite und dritte Invariante des Spannungsdeviators

θ

Spannungswinkel

σeq

Vergleichsspannung

σ+,σ,τ

Grenzwerte der Zug-, Druck- und Schubspannung

σI,σII,σIII

Hauptspannungen

κ

Krümmung

d,k

Verhältniszahlen für Druck und Torsion

f

Skalierungsfaktor

n

Potenz der Spannung im Modell

m

Potenz der Funktion des Spannungswinkels

\(b_{i}, c_{j}, \tilde{c}_{k}\)

Modellparameter

γi

Vorfaktoren der ersten Spannungsinvariante

\(\nu_{+}^{\mathrm{pl}}, \nu_{-}^{\mathrm{pl}}\)

inelastische Querkontraktionszahlen bei Zug bzw. Druck

x, y

globale Koordinaten in der π-Ebene

y′,y

erste und zweite Ableitungen von y(x) nach x

t1,t2

gedrehtes Koordinatensystem

\(t_{2}', t_{2}''\)

erste und zweite Ableitungen von t 2 im gedrehten Koordinatensystem nach t 1

Ψ(t1;t2)

Funktion, die sich aus Φ im gedrehtem Koordinatensystem ergibt

Z2

Zähler in der zweiten Ableitung y″(x)

Z, BD

Punkte des Meridians θ=0°: Zug und biaxialer Druck

D,BZ

Punkte des Meridians θ=60°: Druck und biaxialer Zug

K,IZ,UD

Punkte des Meridians θ=30°: Torsion, dünnwandige Rohrprobe unter Innendruck und Umgebungsdruck

AZ,AD

Punkte des hydrostatischen Zuges und des hydrostatischen Druckes

BKM

Bikubisches Modell

GMM

Geometrisch-mechanisches Modell

SIH

Modell von Schmidt-Ishlinsky-Hill

UYC

Fließkriterium nach Yu (Unified Yield Criterion)

UST

Festigkeitshypothese nach Yu (Unified Strength Theory)

π-Ebene

Schnitt durch die Fläche Φ senkrecht zur hydrosatischen Achse

Convex and Non-convex Flow Surfaces

Abstract

The strength hypotheses and yield surfaces studied in the classical courses of strength of materials (the normal stress hypothesis, the modes due to von Mises and Tresca) are not sufficient in order to obtain a realistic description of the material behavior at various loading conditions. Therefore advanced models with one or more parameters are suggested in the literature. These models are connected with some limitations of the geometry of the suitable shapes of the surfaces in the stress space.

In this paper a compression-torsion diagram normalized with respect to the tension stress is presented. It is possible to compare the models for incompressible material behavior using this diagram. The region of convex forms is bounded by zwei extremal models. In the diagram the meaning of the symmetry in the π-plane is clarified, which simplifies the comparison of the models.

Generalized models (the Radcig-model and convex combination of the models by Sayir and Haythornthwaite) are used to discuss the minimal number of parameters required to obtain convex forms for description of the incompressible material behaviour. The complexity of these models leads to assumption, that they are not suitable for real-world applications. A so-called geometrical-mechanical model with two parameters is proposed, which encompasses a large number of convex geometries. By variation of the power of the stress one tries to obtain the convexity region in the compression-torsion diagram, which is as large as possible.

In order to achieve the largest-possible convexity region, the computation of its boundaries is required. Using an equation proposed by Betten-Troost the convexity problem can be investigated analytically. However, some boundaries of the convexity region could not be obtained with this equation analytically. The equation of Betten-Troost is checked by the authors and additional terms are obtained. The restrictions imposed upon the equation are not known, hence the corrected version of the equation is applied.

For compressible generalizations the first invariant of the stress tensor is introduced into the models. In dependence of the power of the equivalent stress in the models three simple transformations are proposed. The transformations avoid convexity check in the meridian planes.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Literatur

  1. 1.
    ABAQUS, (1997) Theory Manual. Version 5.7, Hibbitt, Karlsson & Sorenson, Pawtucket, Rhode Island Google Scholar
  2. 2.
    Alikov YuA (2002) Festigkeitshypothesen und Fließkriterien festen Körper und ihre Entwicklung in der Anwendung auf Beton. Wolgogradskaja gosudarstvennaja architekturno-stroitel’naja akademija, Wolgograd (in Russ.) Google Scholar
  3. 3.
    Altenbach J, Altenbach H (1994) Einführung in die Kontinuumsmechanik. Teubner, Stuttgart Google Scholar
  4. 4.
    Altenbach H, Altenbach J, Zolochevsky A (1995) Erweiterte Deformationsmodelle und Versagenskriterien der Werkstoffmechanik. Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, Stuttgart Google Scholar
  5. 5.
    Altenbach H, Kolupaev VA (2009) Fundamental forms of strength hypotheses. In: Indeitsev DA, Krivtsov AM (Hrsg) Proc of XXXVI summer school “Advanced problems in mechanics”, Institute for problems in mechanical engineering RAS, St Petersburg (Repino), June 30–July 5, pp 32–45 Google Scholar
  6. 6.
    Backhaus G (1983) Deformationsgesetze. Akademie-Verlag, Berlin Google Scholar
  7. 7.
    Banabic D, Bunge HJ, Pöhlandt K, Tekkaya AE (2000) Formability of metallic materials: plastic anisotropy, formability testing, forming limits. Springer, Berlin Google Scholar
  8. 8.
    Beichel RR (2008) Course in Digital Image Processing. http://www.icaen.uiowa.edu/~dip/LECTURE/Segmentation2.html#tracing
  9. 9.
    Beljaev NM (1979) Strength of materials. Mir, Moscow Google Scholar
  10. 10.
    Betten J (1979) Über die Konvexität von Fließkörpern isotroper und anisotroper Stoffe. Acta Mech 32:233–247 MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  11. 11.
    Betten J, Frosch H-G, Borrmann M (1982) Pressure-dependent yield bahaviour of metals and polymerts. Mater Sci Eng 56:233–246 CrossRefGoogle Scholar
  12. 12.
    Betten J, Borrmann M (1986) Einfluß der plastischen Kompressibilität und des Strength-Differential-Effektes auf das Fließverhalten von Sinter- und Polymerwerkstoffen. Reilogica Acta 23:109–116 CrossRefGoogle Scholar
  13. 13.
    Betten J (1986) Elastizitäts- und Plastizitätslehre: mit über 200 Übungsaufgaben und vollständig ausgearbeiteten Lösungen, 2. Aufl. Vieweg, Braunschweig Google Scholar
  14. 14.
    Betten J (2001) Kontinuumsmechanik, 2. Aufl. Springer, Berlin, zbMATHGoogle Scholar
  15. 15.
    Bigoni D, Piccolroaz A (2004) Yield criteria for quasibrittle and frictional materials. Int J Solids Struct 41:2855–2878 MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  16. 16.
    Bolchoun A, Kolupaev VA, Moneke M (2007) Anpassung von kubischen Versagensflächen an unverstärkte Kunststoffe. In: Grellmann W (Hrsg) 11. Tagung Deformations- und Bruchverhalten von Kunststoffen, 20–22 Juni, Merseburg, pp 235–248 Google Scholar
  17. 17.
    Bolchoun A, Kolupaev VA (2009) Computation of the convexity region for stress potential. In: Grellmann W (Hrsg) 12. Tagung Deformations- und Bruchverhalten von Kunststoffen, 24–26.06.2009, Merseburg, pp 300–303 (in German) Google Scholar
  18. 18.
    Bronstein IN (2008) Taschenbuch der Mathematik, 7. Aufl. Harri Deutsch, Frankfurt am Main zbMATHGoogle Scholar
  19. 19.
    Burzyński W (1929) Über die Anstrengungshypothesen. Schweiz Bauztg 94(21):259–262 Google Scholar
  20. 20.
    Candland CT (1975) Implication of macroscopic failure criteria which are independent of hydrostatic stress. Int J Fract 11(3):540–543 Google Scholar
  21. 21.
    Carstensen C, Hackl K, Mielke A (2000) Nonconvex potentials and microstructures in finite-strain plasticity. SFB 404. Geschäftsstelle, Stuttgart Google Scholar
  22. 22.
    Cazacu O, Barlat F (2004) A criterion for description of anisotropy and yield differential effects in pressure-insensitive metals. Int J Plast 20:2027–2045 zbMATHCrossRefGoogle Scholar
  23. 23.
    Chen WF, Zhang H (1991) Structural plasticity. Theory, problems and CAE software. Springer, New York Google Scholar
  24. 24.
    Chen WF, Saleeb AF (1994) Constitutiv equations for engineering materials, vol. 1, 2. Elsevier, Amsterdam Google Scholar
  25. 25.
    Czuber E (1918) Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. Teubner, Leipzig Google Scholar
  26. 26.
    de Boer R (1988) On plastic deformation of soils. Int J Plast 4:371–391 zbMATHCrossRefGoogle Scholar
  27. 27.
    de Boer R, Dresenkamp HT (1989) Constitutive equations for concrete in failure state. J Eng Mech 115(8):1591–1608 CrossRefGoogle Scholar
  28. 28.
    Dodd B, Naruse K (1989) Limitation on isotropic yield criteria. Int J Mech Sci 31(7):511–519 zbMATHCrossRefGoogle Scholar
  29. 29.
    Dresenkamp HT (1987) Stoffgleichungen für spröde und granulare Stoffe im Bruchzustand, Essen, Univ-GH, Diss Google Scholar
  30. 30.
    Droste A (2002) Beschreibung und Anwendung eines elastisch-plastischen Materialmodells mit Schädigung für hochporöse Metallschäume. Bericht Nr II-9, Institut für Mechanik (Bauwesen) der Universität Stuttgart Google Scholar
  31. 31.
    Drucker DC (1949) Relation of experiments to mathematical theories of plasticity. J Appl Mech 16:349–357 MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  32. 32.
    Drucker DC (1957) A Definition of stable inelastic material. Technical report No 2, division of engineering, Brown University Providence, Rhode Island Google Scholar
  33. 33.
    Dorn JE (1948) The effect of stress state on the fracture strength of metals. Fracturing of metals. A seminar on the fracturing of metals held during the twenty-ninth national metal congress and Exposition., Chicago14(1), October 18–24, 1947. American Society for Metals, Cleveland, Ohio, pp 32–50 Google Scholar
  34. 34.
    Filonenko-Borodich MM (1954) Über die Bedigungen der Festigkeit für Materialien mit unterschiedlicher Festigkeit bei Zug und Druck. Ingenernij Sbornik, Institut Mechaniki Akademii Nauk SSSR XIX:13–36 Google Scholar
  35. 35.
    Freudenthal AM, Geiringer H (1958) Mathematical theories of the inelastic continuum. In: Flügge S (Hrsg) Encyclopedia of physics (Handbuch der Physik), Band 6: Elastizität und Plastizität. Springer, Berlin, pp 229–433 Google Scholar
  36. 36.
    Freudenthal AM, Gou RF (1969) Second order effects in the theory of plasticity. Acta Mech 8:34–52 zbMATHCrossRefGoogle Scholar
  37. 37.
    Geniev GA, Kissuk VN (1965) On a generalization of strength theories for concrete. Beton Zhelezobeton 2:16–19 (in Russian) Google Scholar
  38. 38.
    Geniev GA, Kissuk VN, Tjupin GA (1974) Theorie der Plastizität von Beton und Stahlbeton. Strojisdat, Moskau (in Russian) Google Scholar
  39. 39.
    Gupta NK, Meyers A (1990) Fitting of experimental yield surfaces. Z Angew Math Mech 70(3):181–187 CrossRefGoogle Scholar
  40. 40.
    Gupta NK, Meyers A, Wichtmann A (1995) A function for representing experimental yield surfaces. Eur J Mech A, Solids 14(1):45–53 zbMATHGoogle Scholar
  41. 41.
    Haythornthwaite RM (1960) Mechanics of triaxial tests for soil. J Soil Mech Found Division, Proc ASCE SM5:35–62 Google Scholar
  42. 42.
    Haythornthwaite R (1961) Range of yield condition in ideal plasticity. J Eng Mech Division, Proc Am Soc Civil Eng EM6(12):117–133 Google Scholar
  43. 43.
    Helwany S (2007) Applied soil mechanics with ABAQUS applications. Wiley, Hoboken zbMATHGoogle Scholar
  44. 44.
    Hu W, Wang ZR (2005) Multiple-factor dependence of the yielding behavior to isotropic ductile materials. Comput Mater Sci 32:31–46 CrossRefGoogle Scholar
  45. 45.
    Hsu TC (1961) Definition of the yield point in plasticity and its effect on the shape of the yield locus. J Strain Anal 1(4):331–338 CrossRefGoogle Scholar
  46. 46.
    Hughes ThJR (1984) Numerical implementation of constitutive models: rate-independent deviatoric plasticity. In Nemat-Nasser, S (Hrsg) Theoretical foundation for large scale computations of nonlinear material behavior. Proceedings of the workshop. Mechanics of elastic and inelastic solids, vol 6. Martinus Nijhoff Publishers, Dordrecht, pp 29–63 Google Scholar
  47. 47.
    Ishlinsky AYu, Ivlev DD (2003) Mathematische Plastizitätstheorie. Fizmatlit, Moskau (in Russian) Google Scholar
  48. 48.
    Ismar H, Mahrenholtz O (1979) Technische Plastomechanik. Vieweg, Braunschweig Google Scholar
  49. 49.
    Ivey HJ (1961) Plastic stress-strain relations and yield surfaces for aluminium alloys. J Mechanical Engineering Science 15–31 Google Scholar
  50. 50.
    Iyer SK, Lissenden CJ (2003) Multiaxial constitutive model accounting for the strength-differential in Inconel 718. Int J Plast 19:2055–2081 zbMATHCrossRefGoogle Scholar
  51. 51.
    Jeltsch-Fricker R, Meckbach S (1999) Parabolische Mohrsche Bruchbedingung in Invariantendarstellung für spröde isotrope Werkstoffe. Z Angew Math Mech ZAMM 79(7):465–471 zbMATHCrossRefGoogle Scholar
  52. 52.
    Ko WL (1963) Application of the finite elastic theory to the behavior of rubberlike materials. PhD Thesis, California Institute of Technology Google Scholar
  53. 53.
    Kolupaev VA, Bolchoun A, Moneke M (2006) Convex forms of the cubic potential. Forsch Ingenieurwes 71(4):21–27 Google Scholar
  54. 54.
    Kolupaev VA (2006) Dreidimensionales Kriechverhalten von Bauteilen aus unverstärkten Thermoplasten. Diss., Papierflieger Verlag, Clausthal-Zellerfeld Google Scholar
  55. 55.
    Kolupaev VA, Bolchoun A (2008) Kombinierte Fließ- und Grenzbedingungen. Forsch Ingenieurwes 72:209–232 CrossRefGoogle Scholar
  56. 56.
    Kolupaev VA, Bolchoun A, Altenbach H (2009) Aktuelle Trends beim Einsatz von Festigkeitshypothesen. Konstruktion 5:59–66 Google Scholar
  57. 57.
    Kolupaev VA, Altenbach H (2009) Application of the generalized model of yu to plastics. In: Grellmann W (Hrsg) 12. Tagung Deformations- und Bruchverhalten von Kunststoffen, Martin-Luther-Universität, Merseburg, pp 320–339 Google Scholar
  58. 58.
    Kolupaev VA, Altenbach H (2009) Strength hypotheses of Mao-Hong Yu and its generalisation. In: Kuznetsov SA (Hrsg) 2nd conference problems in nonlinear mechanics of deformable solids, Kazan, Kazan State University, December 8–December 11, pp 10–12 Google Scholar
  59. 59.
    Kolupaev VA, Altenbach H Considerations on the unified strength theory due to Mao-Hong Yu. Forschung Ingenieurwesen, 74(3):135–166 doi: 10.1007/s10010-010-0122-3 (in German)
  60. 60.
    Kolupaev VA, Bolchoun A, Altenbach H (2010) Strength hypotheses for hard polymeric foams. In: Radusch H-J (Hrsg) 14. International scientific conference on polymeric materials P.2010, Martin-Luther-Universität, Halle (Saale), 15.–17. September, p 25 Google Scholar
  61. 61.
    Kolupaev VA, Mohr-Matuschek U, Altenbach H (2010) Application of strength hypotheses for POM. In: Radusch H-J (Hrsg) 14. International scientific conference on polymeric materials P.2010, Martin-Luther-Universität, Halle (Saale), 15.–17. September, p 12 Google Scholar
  62. 62.
    Kolupaev VA, Bolchoun A, Altenbach H (2010) Testing of multi-axial strength behavior of hard foams. In: Brémand F (Hrsg) ICEM 14–14th international conference on experimental mechanics, Poitiers, France, 4–9 July, 2010, p 8, doi: 10.1051/epjconf/20100616003 EPJ web of conferences 6, 16003 Google Scholar
  63. 63.
    Kolupaev VA, Bolchoun A, Altenbach H (2011) Strength hypotheses for hard polymeric foams. In: 13. Tagung Problemseminar Deformation und Bruchverhalten von Kunststoffen, 29. Juni bis 01. Juli 2011, Kunststoff-Kompetenzzentrum Halle-Merseburg Google Scholar
  64. 64.
    Krenk S (1996) Family of invariant stress surfaces. J Eng Mech 122(3):201–208 CrossRefGoogle Scholar
  65. 65.
    Kuhn P (1980) Grundzüge einer allgemeinen Festigkeitshypothese. Inst. für Maschinenkonstruktionslehre, Auszug aus Antrittsvorlesung des Verfassers vom 11. Juli 1980, vom Konstrukteur und den Festigkeitshypothesen, Karlsruhe Google Scholar
  66. 66.
    Kuczma MS, Stein E (1994) On nonconvex problems in the theory of plasticity. Arch Mech 46(4):505–530 MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  67. 67.
    Lee KL, Seed HB (1967) Drainmed strength sharacteristics of sands. J Soil Mech Found Division, Proc ASCE SM6:117–141 Google Scholar
  68. 68.
    Lemaitre J, Chaboche J-L (1990) Mechanics of solid materials. Cambridge University Press, Cambridge zbMATHGoogle Scholar
  69. 69.
    Maïolino S (2005) Proposition of a general yield function in geomechanics. C R, Méc 333:279–284 zbMATHGoogle Scholar
  70. 70.
    Matchenko HM, Tolokonnikov LA (1968) On the relation between stress and strain in isotropic continua with different moduli of elasticity at tension and compression. Mechanika Tverdogo Tela MTT 6:108–110 (in Russian) Google Scholar
  71. 71.
    Michno MJ, Findley WN (1975) Subsequent yield surfaces for annealed mild steels under servo-controlled strain and load histories: aging, normality, convexity, corners, Bauschinger and Cross effects. J Eng Mat Technol, Trans ASME 1:25–32 CrossRefGoogle Scholar
  72. 72.
    von Mises R (1913) Mechanik des festen Körpers im plastischen deformablen Zustand. Nachrichten der Kgl. Gesellschaft der Wissenschaften Göttingen, Math-phys Klasse, S. 582–592 Google Scholar
  73. 73.
    Mortara G (2009) A yield criterion for isotropic and cross-anisotropic cohesive-frictional materials. Int J Numer Anal Meth Geomech. doi: 10.1002/nag.846
  74. 74.
    Nikitenko AF (1969) Über den Einfluss der dritten Invariante des Deviators auf das Kriechen von Materialien ohne Verfestigung. Zh Prikladnoj Mech Teoret Fis PMTF 5:102–103 (in Russian) Google Scholar
  75. 75.
    Nikitenko AF, Kovrizhnich AM, Kucherenko IV (2006) Einheitliches (generalisiertes) Kriterium der Festigkeit von Materialien. Stroitel’stvo 11–12(575–576):4–11 (in Russian) Google Scholar
  76. 76.
    Nye JF (2000) Physical properties of crystals, their representation by tensors und matrices, Reprint. Clarendon, Oxford Google Scholar
  77. 77.
    Ottosen NS, Ristinmaa M (2005) The mechanics of constitutive modeling. Elsevier, London Google Scholar
  78. 78.
    Paglietti A (2007) Plasticity of cold worked metals. A deductive approach. WIT Press, Boston Google Scholar
  79. 79.
    Palmer AC, Maier G, Drucker DC (1967) Normality relations and convexity of yield surfaces for unstable materials or structural elements. J Appl Mech, Trans ASTM 89(6):464–470 Google Scholar
  80. 80.
    Papula L (2010) Mathematische Formelsammlung: für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Springer, Berlin, p 137 Google Scholar
  81. 81.
    Paul P (1968) Macroscopic plastic flow and brittle fracture. In: Liebowitz H (Hrsg.) Fracture: an advanced treatise Bd. II. Academic Press, New York Google Scholar
  82. 82.
    Paul P (1968) Generalized pyramidal fracture and yield criteria. Int J Solids Struct 4:175–196 zbMATHCrossRefGoogle Scholar
  83. 83.
    Piccolroaz A, Bigoni D (2009) Yield criteria for quasibrittle and frictional materials: A generalization to surfaces with corners. Int J Solids Struct 46:3587–3596 zbMATHCrossRefGoogle Scholar
  84. 84.
    Pisarenko GS, Lebedev AA (1976) Deformation und Festigkeit von Werkstoffen bei zusammengesetzten Spannungszuständen. Naukowa Dumka, Kiew (in Russian) Google Scholar
  85. 85.
    Podgorski J (1985) General failure criterion for isotropic media. J Eng Mech ASCE 111:188–199 CrossRefGoogle Scholar
  86. 86.
    Prager W (1945) Strain hardening under combined stresses. J Appl Phys 16(12):837–840 MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  87. 87.
    Prager W, Hodge P (1954) Theorie ideal plastischer Körper. Springer, Wien zbMATHGoogle Scholar
  88. 88.
    Radaev YuN (2007) Spatial problem of the mathematical theory of plasticity. Samarskij Universitet, Samara (in Russian) Google Scholar
  89. 89.
    Reckling K (1967) Plastizitätstheorie und ihre Anwendung auf Festigkeitsprobleme. Springer, Berlin zbMATHGoogle Scholar
  90. 90.
    Rizzi E, Papa E, Corigliano A (2000) Mechanical behavior of a syntactic foam: experiments and modeling. Int J Solids Struct 37:5773–5794 zbMATHCrossRefGoogle Scholar
  91. 91.
    Sayir M (1970) Zur Fließbedingung der Plastizitätstheorie. Ing Arch 39:414–432 zbMATHCrossRefGoogle Scholar
  92. 92.
    Schlimmer M (1984) Zeitabhängiges mechanisches Werkstoffverhalten: Grundlagen, Experimente, Rechenverfahren für die Praxis. Springer, Berlin Google Scholar
  93. 93.
    Schofield A, Wroth P (1968) Critical state soil mechanics. McGraw-Hill, London Google Scholar
  94. 94.
    Skrzypek J (1993) Plasticity and creep: theory, examples and problems. CRC Press, Boca Raton zbMATHGoogle Scholar
  95. 95.
    Sonka M, Hlavac V, Boyle R (2008) Image processing, analysis and machine vision. Thomson Engineering, Toronto Google Scholar
  96. 96.
    Sokolovskij VV (1950) Plastizitätstheorie. Staatlicher Verlag der techn.-theor. Literatur, Moskau (in Russian) Google Scholar
  97. 97.
    Spitzig W, Sober R, Richmond O (1975) Pressure dependence of yielding and associated volume expansion in tempered martensite. Acta Metall 23(7):885–893 CrossRefGoogle Scholar
  98. 98.
    Tresca H (1868) Mémoire sur l’ecoulement des corps solides. Mémoires Pres par Div Sav 18:75–135 Google Scholar
  99. 99.
    Stöcker H (2009) Taschenbuch mathematischer Formeln und moderner Verfahren. Deutsch, Frankfurt am Main, pp 451–452 Google Scholar
  100. 100.
    Troost A, Betten J (1972) Plastische Querzahlen anisotroper Werkstoffe. Archiv Eisenhüttenwesen 43(11):811–812 Google Scholar
  101. 101.
    Troost A, Betten J (1974) Zur Frage der Konvexität von Fliessbedingungen bei plastischer Inkompressibilität und Kompressibilität. Mech Res Commun 1:73–78 zbMATHCrossRefGoogle Scholar
  102. 102.
    Troost A, Betten J (1975) Zur allgemeinen Formulierung der Fließbedingung unter Berücksichtigung der Anisotropie und des Bauschingers-Effektes. Z Naturforsch, A/J Phys Sci, A 30(4):492–496 Google Scholar
  103. 103.
    Tschoegl NW (1971) Failure surfaces in principial stress space. J Polymer Sci, Part C-Polymer Symp 32:239–267 CrossRefGoogle Scholar
  104. 104.
    Tsutsumi S, Toyosada M, Hashiguchi K (2006) Non-convex mechanical response of pressure dependent yielding materials within associated and non-associated plasticity. J Appl Mech 9:463–470 Google Scholar
  105. 105.
    Tsvelodub IYu (2008) Multimodulus elasticity theory. J Appl Mech Tech Phys 49(1):129–135 MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  106. 106.
    Wilkins ML, Streit RD, Reaugh JE (1980) Cumulative-strain-damage model of ductil fracture: simulation and prediction of engineering fracture tests. Lawrence Livermore National Laboratory, Rept UCLR-53058, University of California Google Scholar
  107. 107.
    Yu M-H (1961) General behaviour of isotropic yield function. Scientific and technological research paper of Xi’an Jiaotong University, pp 1–11 (in Chinese) Google Scholar
  108. 108.
    Yu M-H (2004) Unified strength theory and its applications. Springer, Berlin zbMATHCrossRefGoogle Scholar
  109. 109.
    Ziegler H, Nänni J, Wehrli Ch (1973) Zur Konvexität der Fliessfläche. Z Angew Math Phys 24:140–144 zbMATHCrossRefGoogle Scholar
  110. 110.
    Ziegler H, Nänni J, Wehrli Ch (1974) Zur Konvexität der Dissipationsflächen. Z Angew Math Phys 25:76–82 zbMATHCrossRefGoogle Scholar
  111. 111.
    Ziegler H (1969) Zum plastischen Potential der Bodenmechanik. Z Angew Math Phys 20:659–675 zbMATHCrossRefGoogle Scholar
  112. 112.
    Źyczkowski M (1981) Combined loadings in the theory of plasticity. PWN-Polish Scientific, Warszawa zbMATHGoogle Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag 2011

Authors and Affiliations

  1. 1.Deutsches Kunstoff-Institut DarmstadtDarmstadtDeutschland
  2. 2.Lehrstuhl Technische MechanikOtto-von-Guericke-Universität-MagdeburgMagdeburgDeutschland

Personalised recommendations