Zero-divisor graphs for semigroups of order 7 RESEARCH ARTICLE First Online: 20 May 2014
Received: 08 June 2011
Accepted: 23 April 2014
Abstract In this paper, we extend the results of DeMeyer and DeMeyer (J Algebra 283:190–198, 2005
Keywords Commutative semigroups Zero-divisors Graphs on six vertices Communicated by Jean-Eric Pin.
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Appendix The following are the Cayley tables corresponding to the graphs listed in Table
1 . Beginning with the vertex in the lower left corner of each graph and proceeding counter-clockwise, the vertices are labeled
\(a-b-c-z-y-x\) .
Table 1 24 Graphs of commutative semigroups
$$\begin{aligned} \begin{array}{ccc} \begin{array}{l|llllll} (1,1)&{} a&{} b&{} c&{} x&{} y&{} z \\ \hline a&{} a&{} a&{} a&{} 0&{} 0&{} a \\ b&{} a&{} b&{} b&{} 0&{} 0&{} a \\ c&{} a&{} b&{} c&{} x&{} 0&{} a \\ x&{} 0&{} 0&{} x&{} x&{} 0&{} 0 \\ y&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} y&{} y \\ z&{} a&{} a&{} a&{} 0&{} y&{} z \end{array}&{}\quad \begin{array}{l|llllll} (1,2)&{} a&{} b&{} c&{} x&{} y&{} z \\ \hline a&{} 0&{} a&{} a&{} 0&{} 0&{} 0 \\ b&{} a&{} b&{} b&{} 0&{} 0&{} a \\ c&{} a&{} b&{} b&{} 0&{} x&{} a \\ x&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} x&{} 0 \\ y&{} 0&{} 0&{} x&{} x&{} y&{} x \\ z&{} 0&{} a&{} a&{} 0&{} x&{} 0 \\ \end{array} &{}\quad \begin{array}{l|llllll} (1,3)&{} a&{} b&{} c&{} x&{} y&{} z \\ \hline a&{} a&{} a&{} a&{} 0&{} 0&{} 0 \\ b&{} a&{} b&{} b&{} 0&{} z&{} z \\ c&{} a&{} b&{} c&{} 0&{} z&{} z \\ x&{} 0&{} 0&{} 0&{} x&{} x&{} 0 \\ y&{} 0&{} z&{} z&{} x&{} x&{} 0 \\ z&{} 0&{} z&{} z&{} 0&{} 0&{} 0 \\ \end{array}\\ \begin{array}{l|llllll} (1,4)&{} a&{} b&{} c&{} x&{} y&{} z \\ \hline a&{} 0&{} a&{} a&{} 0&{} 0&{} 0 \\ b&{} a&{} b&{} b&{} 0&{} 0&{} a \\ c&{} a&{} b&{} c&{} 0&{} 0&{} a \\ x&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} x&{} 0 \\ y&{} 0&{} 0&{} 0&{} x&{} y&{} x \\ z&{} 0&{} a&{} a&{} 0&{} x&{} 0 \end{array}&{}\quad \begin{array}{l|llllll} (1,5)&{} a&{} b&{} c&{} x&{} y&{} z \\ \hline a&{} a&{} a&{} a&{} 0&{} 0&{} 0 \\ b&{} a&{} a&{} a&{} 0&{} 0&{} x \\ c&{} a&{} a&{} a&{} 0&{} 0&{} x \\ x&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} x \\ y&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} x \\ z&{} 0&{} x&{} x&{} x&{} x&{} z \end{array}&{}\quad \begin{array}{l|llllll} (1,6)&{} a&{} b&{} c&{} x&{} y&{} z \\ \hline a&{} 0&{} a&{} a&{} 0&{} 0&{} 0 \\ b&{} a&{} b&{} b&{} 0&{} 0&{} a \\ c&{} a&{} b&{} c&{} x&{} 0&{} a \\ x&{} 0&{} 0&{} x&{} x&{} 0&{} 0 \\ y&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} y&{} y \\ z&{} 0&{} a&{} a&{} 0&{} y&{} y \end{array} \\ \begin{array}{l|llllll} (2,1)&{} a&{} b&{} c&{} x&{} y&{} z \\ \hline a&{} 0&{} z&{} z&{} 0&{} 0&{} 0 \\ b&{} z&{} b&{} b&{} 0&{} 0&{}z \\ c&{} z&{} b&{} b&{} 0&{} x&{} z \\ x&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} x&{} 0 \\ y&{} 0&{} 0&{} x&{} x&{} y&{}0 \\ z&{} 0&{} z&{} z&{} 0&{} 0&{} 0 \end{array}&{}\quad \begin{array}{l|llllll} (2,2)&{} a&{} b&{} c&{} x&{} y&{} z \\ \hline a&{} 0&{} a&{} a&{} 0&{} 0&{} 0 \\ b&{} a&{} b&{} b&{} 0&{} 0&{} z \\ c&{} a&{} b&{} b&{} 0&{} 0&{} z \\ x&{} 0&{} 0&{} 0&{} x&{} x&{} 0 \\ y&{} 0&{} 0&{} 0&{} x&{} x&{} 0 \\ z&{} 0&{} z&{} z&{} 0&{} 0&{} 0 \\ \end{array}&{}\quad \begin{array}{l|llllll} (2,3)&{} a&{} b&{} c&{} x&{} y&{} z \\ \hline a&{} a&{} 0&{} 0&{} 0&{} a&{} a \\ b&{} 0&{} b&{} b&{} 0&{} 0&{} 0 \\ c&{} 0&{} b&{} c&{} x&{} x&{} 0 \\ x&{} 0&{} 0&{} x&{} x&{} x&{} 0 \\ y&{} a&{} 0&{} x&{} x&{} y&{} a \\ z&{} a&{} 0&{} 0&{} 0&{} a&{} a \end{array}\\ \begin{array}{l|llllll} (2,4)&{} a&{} b&{} c&{} x&{} y&{} z \\ \hline a&{} a&{} a&{} a&{} 0&{} 0&{} 0 \\ b&{} a&{} a&{} a&{} 0&{} 0&{} 0 \\ c&{} a&{} a&{} a&{} 0&{} 0&{} x \\ x&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} x \\ y&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} x \\ z&{} 0&{} 0&{} x&{} x&{} x&{} z \end{array}&{}\quad \begin{array}{l|llllll} (2,5)&{} a&{} b&{} c&{} x&{} y&{} z \\ \hline a&{} a&{} a&{} a&{} 0&{} 0&{} 0 \\ b&{} a&{} b&{} a&{} 0&{} 0&{} 0 \\ c&{} a&{} a&{} c&{} 0&{} z&{} z \\ x&{} 0&{} 0&{} 0&{} x&{} x&{} 0 \\ y&{} 0&{} 0&{} z&{} x&{} x&{} 0 \\ z&{} 0&{} 0&{} z&{} 0&{} 0&{} 0 \\ \end{array}&{}\quad \begin{array}{l|llllll} (2,6)&{} a&{} b&{} c&{} x&{} y&{} z \\ \hline a&{} a&{} a&{} a&{} 0&{} 0&{} 0 \\ b&{} a&{} b&{} a&{} x&{} 0&{} 0 \\ c&{} a&{} a&{} c&{} 0&{} y&{} z \\ x&{} 0&{} x&{} 0&{} x&{} 0&{} 0 \\ y&{} 0&{} 0&{} y&{} 0&{} y&{} 0 \\ z&{} 0&{} 0&{} z&{} 0&{} 0&{} z \end{array} \end{array} \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} \begin{array}{lll} \begin{array}{l|llllll} (3,1)&{} a&{} b&{} c&{} x&{} y&{} z \\ \hline a&{} a&{} a&{} a&{} 0&{} 0&{} 0 \\ b&{} a&{} a&{} a&{} 0&{} x&{} 0 \\ c&{} a&{} a&{} c&{} 0&{} 0&{} z \\ x&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} x&{} 0 \\ y&{} 0&{} x&{} 0&{} x&{} y&{} 0 \\ z&{} 0&{} 0&{} z&{} 0&{} 0&{} z \end{array}&{}\quad \begin{array}{l|llllll} (3,2)&{} a&{} b&{} c&{} x&{} y&{} z \\ \hline a&{} a&{} a&{} a&{} 0&{} 0&{} 0 \\ b&{} a&{} a&{} a&{} 0&{} 0&{} 0 \\ c&{} a&{} a&{} a&{} 0&{} 0&{} 0 \\ x&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} x&{} 0 \\ y&{} 0&{} 0&{} 0&{} x&{} y&{} z \\ z&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} z&{} z \\ \end{array}&{}\quad \begin{array}{l|llllll} (3,3)&{} a&{} b&{} c&{} x&{} y&{} z \\ \hline a&{} a&{} a&{} a&{} 0&{} 0&{} 0 \\ b&{} a&{} a&{} a&{} 0&{} 0&{} 0 \\ c&{} a&{} a&{} c&{} x&{} 0&{} 0 \\ x&{} 0&{} 0&{} x&{} x&{} 0&{} 0 \\ y&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} y&{} y \\ z&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} y&{} y \end{array}\\ \begin{array}{l|llllll} (3,4)&{} a&{} b&{} c&{} x&{} y&{} z \\ \hline a&{} 0&{} x&{} 0&{} 0&{} 0&{} y \\ b&{} x&{} b&{} x&{} x&{} 0&{} 0 \\ c&{} 0&{} x&{} 0&{} 0&{} 0&{} y \\ x&{} 0&{} x&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0 \\ y&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} y \\ z&{} y&{} 0&{} y&{} 0&{} y&{} z \end{array}&{}\quad \begin{array}{l|llllll} (3,5)&{} a&{} b&{} c&{} x&{} y&{} z \\ \hline a&{} a&{} a&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0 \\ b&{} a&{} a&{} x&{} 0&{} 0&{} 0 \\ c&{} 0&{} x&{} c&{} x&{} 0&{} x \\ x&{} 0&{} 0&{} x&{} 0&{} 0&{} 0 \\ y&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} y&{} y \\ z&{} 0&{} 0&{} x&{} 0&{} y&{} y \end{array}&{}\quad \begin{array}{l|llllll} (3,6)&{} a&{} b&{} c&{} x&{} y&{} z \\ \hline a&{} 0&{} a&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0 \\ b&{} a&{} b&{} a&{} 0&{} 0&{} a \\ c&{} 0&{} a&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0 \\ x&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} x&{} 0 \\ y&{} 0&{} 0&{} 0&{} x&{} y&{} x \\ z&{} 0&{} a&{} 0&{} 0&{} x&{} 0 \end{array}\\ \begin{array}{l|llllll} (4,1)&{} a&{} b&{} c&{} x&{} y&{} z \\ \hline a&{} 0&{} a&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0 \\ b&{} a&{} b&{} a&{} 0&{} a&{} a \\ c&{} 0&{} a&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0 \\ x&{} 0&{} 0&{} 0&{} x&{} x&{} 0 \\ y&{} 0&{} a&{} 0&{} x&{} x&{} 0 \\ z&{} 0&{} a&{} 0&{} 0&{} 0&{} z \end{array}&{}\quad \begin{array}{l|llllll} (4,2)&{} a&{} b&{} c&{} x&{} y&{} z \\ \hline a&{} 0&{} a&{} 0&{} 0&{} 0&{}0 \\ b&{} a&{} b&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0 \\ c&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} c \\ x&{} 0&{} 0&{} 0&{} x&{} x&{} 0 \\ y&{} 0&{} 0&{} 0&{} x&{} x&{} c \\ z&{} 0&{} 0&{} c&{} 0&{} c&{} z \end{array}&{}\quad \begin{array}{l|llllll} (4,3)&{} a&{} b&{} c&{} x&{} y&{} z \\ \hline a&{} 0&{} a&{} 0&{} 0&{} 0&{}0 \\ b&{} a&{} b&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0 \\ c&{} 0&{} 0&{} c&{} 0&{} 0&{} c \\ x&{} 0&{} 0&{} 0&{} x&{} 0&{} x \\ y&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} y&{} y \\ z&{} 0&{} 0&{} c&{} x&{} y&{} z \end{array}\\ \begin{array}{l|llllll} (4,4)&{} a&{} b&{} c&{} x&{} y&{} z \\ \hline a&{} a&{} a&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0 \\ b&{} a&{} b&{} 0&{} x&{} 0&{} 0 \\ c&{} 0&{} 0&{} c&{} 0&{} 0&{} c \\ x&{} 0&{} x&{} 0&{} x&{} 0&{} 0 \\ y&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} y&{} y \\ z&{} 0&{} 0&{} c&{} 0&{} y&{} z \end{array}&{}\quad \begin{array}{l|llllll} (4,5)&{} a&{} b&{} c&{} x&{} y&{} z \\ \hline a&{} 0&{} a&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0 \\ b&{} a&{} b&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0 \\ c&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} c \\ x&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} x&{} 0 \\ y&{} 0&{} 0&{} 0&{} x&{} y&{} 0 \\ z&{} 0&{} 0&{} c&{} 0&{} 0&{} z \end{array}&{}\quad \begin{array}{l|llllll} (4,6)&{} a&{} b&{} c&{} x&{} y&{} z \\ \hline a&{} a&{} a&{} a&{} 0&{} 0&{} 0 \\ b&{} a&{} a&{} a&{} 0&{} 0&{} x \\ c&{} a&{} a&{} b&{} 0&{} x&{} y \\ x&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} 0&{} x \\ y&{} 0&{} 0&{} x&{} 0&{} x&{} y \\ z&{} 0&{} x&{} y&{} x&{} y&{} z \\ \end{array} \end{array} \end{aligned}$$
Table 2 Two graphs that are not the graph of a commutative semigroup
Finally, neither of the graphs in Table
2 is the graph of a commutative semigroup:
For graph N1, using the same labeling mentioned at the beginning of the appendix, \(b^{2}=b, z^{2}=z, ab\in \{a,~c\}\) , and \(bc\in \{a,c\}\) , but then bz does not have a value.
A complete treatment of graph N2 was given above.
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http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download;jsessionid=4F986295311A9EC94741679608A26781?doi=10.1.1.41.1012&rep=rep1&type=pdf . Accessed June 2007
© Springer Science+Business Media New York 2014
Authors and Affiliations 1. Mathematics Department Chair William Mason High School Mason USA 2. Department of Mathematics The University of Cincinnati Cincinnati USA