Mathematische Annalen

, Volume 355, Issue 4, pp 1469–1525 | Cite as

Sur la densité des représentations cristallines de \(\text{ Gal}(\overline{\mathbb Q }_p/\mathbb Q _p)\)

Article

Abstract

Let \({\mathfrak X }_d\) be the \(p\)-adic analytic space classifying the semisimple continuous representations \(\text{ Gal}(\overline{\mathbb Q }_p/\mathbb Q _p) \rightarrow \mathrm GL _d(\overline{\mathbb Q }_p)\). We show that the crystalline representations are Zarski-dense in many irreducible components of \({\mathfrak X }_d\), including the components made of residually irreducible representations. This extends to any dimension \(d\) previous results of Colmez and Kisin for \(d = 2\). For this we construct an analogue of the infinite fern of Gouvêa–Mazur in this context, based on a study of analytic families of trianguline \((\varphi ,\Gamma )\)-modules over the Robba ring. We show in particular the existence of a universal family of (framed, regular) trianguline \((\varphi ,\Gamma )\)-modules, as well as the density of the crystalline \((\varphi ,\Gamma )\)-modules in this family. These results may be viewed as a local analogue of the theory of \(p\)-adic families of finite slope automorphic forms and they are new already in dimension \(2\). The technical heart of the paper is a collection of results about the Fontaine–Herr cohomology of families of trianguline \((\varphi ,\Gamma )\)-modules.

Introduction

Soient1\({\mathbb F }_q\) un corps fini de caractéristique \(p,W\) l’anneau des vecteurs de Witt de \({\mathbb F }_q\), et \(F=W[1/p]\). Si \(K\) est une extension finie de \(\mathbb Q _p\) on désigne par \(G_K=\text{ Gal}(\overline{K}/K)\) son groupe de Galois absolu. Fixons
$$\begin{aligned} {\bar{\rho }}:G_{\mathbb Q _p} \rightarrow \mathrm GL _d({\mathbb F }_q) \end{aligned}$$
une représentation continue absolument irréductible2 et désignons par \(R\) la \(W\)-algèbre de déformation universelle de \({\bar{\rho }}\) au sens de Mazur [31]. Supposons enfin que \({\bar{\rho }}\not \simeq {\bar{\rho }}(1)\) (condition automatiquement satisfaite si \(p-1\) ne divise pas \(d\)). D’après Tate [36], cela entraîne que \(R \simeq W[[T_0,\ldots ,T_{d^2}]]\). En effet, \(H^2(G_{\mathbb Q _p},\text{ ad}({\bar{\rho }}))=0\) et \(\dim _{{\mathbb F }_q} H^1 (G_{\mathbb Q _p},\text{ ad}({\bar{\rho }})) = d^2+1\). En particulier, l’espace rigide analytique \(X\) associé par Berthelot à \(R[1/p]\) est la boule unité ouverte \(\{(T_0,\ldots ,T_{d^2}),|T_i|<1\}\) de dimension \(d^2+1\) sur \(F\).

Rappelons que si \(L\) est une extension finie de \(F,X(L)\) paramètre les classes de \(L\)-isomorphie de représentations continues \(G_{\mathbb Q _p} \rightarrow \mathrm GL _d(\mathcal O _L)\) dont la réduction modulo \(\pi _L\) est isomorphe à \({\bar{\rho }}\otimes _{{\mathbb F }_q} k_L\). Bien sûr, \(\mathcal O _L\) désigne ici l’anneau des entiers de \(L,\pi _L\) en est une uniformisante, et \(k_L=\mathcal O _L/\pi _L\mathcal O _L\). Enfin, on dira que \(x \in X(L)\) a une certaine propriété si la représentation associée \(\rho _x : G_{\mathbb Q _p} \rightarrow \mathrm GL _d(L)\) a cette propriété. Le résultat principal de cet article est le suivant.

Théorème A

Il existe une extension finie \(L\) de \(F\) telle que les points cristallins de \(X(L)\) sont Zariski-denses et d’accumulation dans \(X\).

Autrement dit \(X(L)\) contient au moins un point cristallin et pour tout \(x \in X(L)\) cristallin et tout ouvert affinoïde connexe \(U \subset X\) contenant \(x\) alors l’ensemble des points cristallins de \(U(L)\) est Zariski-dense dans \(U\) : toute fonction rigide analytique sur \(U\) s’annulant sur les points cristallins de \(U(L)\) est identiquement nulle. En fait, on verra que tout \(L\) contenant une extension explicite de \(F\) (de degré \(\le d^2\)) convient.

Ce résultat est facile quand \(d=1\) et démontré indépendamment par Colmez et Kisin quand \(d=2\) dans [18, §5] et [29, §1]. Leurs preuves sont inspirées de la fougère infinie de Gouvêa et Mazur [32], qui concerne un analogue global du problème qui nous intéresse, et qui est elle-même issue des travaux fondateurs de Coleman [16] sur les familles \(p\)-adiques de formes modulaires. Bien que les techniques employées par Colmez et Kisin soient différentes, leurs approches sont très similaires ; nous nous bornerons ci-dessous à décrire celle de Colmez car c’est son point de vue que nous étendrons par la suite.

Quand \(d=2\) l’espace \(X\) est une boule de dimension \(5\). On rappelle, suivant Colmez [18], qu’une représentation \(\rho : G_{\mathbb Q _p} \rightarrow \mathrm GL _d(L)\) est dite trianguline si son \((\varphi ,\Gamma )\)-module pris sur l’anneau de Robba est extension successive \((\varphi ,\Gamma )\)-modules de rang \(1\). Nous appellerons le choix d’une telle extension une triangulation de \(\rho \). Considérons l’ensemble \(S\) des paires \((x,t)\)\(x \in X\) est trianguline et où \(t\) est la donnée d’une triangulation de \(x\). D’après Colmez, \(S\) admet une structure “naturelle” d’espace analytique \(p\)-adique, qui est lisse et de dimension 4. Notons
$$\begin{aligned} \pi : S \rightarrow X \end{aligned}$$
l’application ensembliste \((x,t) \mapsto x\). Son image \(\pi (S) \subset X\) est appelée la fougère infinie. Colmez démontre que :
  1. (a)

    \(\pi (S)\) contient tous les points cristallins de \(X\). De plus, chaque \(x \in X\) cristallin non exceptionnel3 admet exactement deux antécédents dans \(S\).

     
  2. (b)

    Les \((x,t) \in S\) avec \(x\) cristallin non exceptionnel sont Zariski-denses et d’accumulation dans \(S\).

     
  3. (c)

    \(\pi \) est localement analytique : pour “presque” tout \(s \in S\) il existe un voisinage affinoïde de \(s\) dans \(S\) (une boule fermée de dimension 4) surlequel \(\pi \) est une immersion analytique.

     
  4. (d)

    si \(x \in X\) est cristallin non exceptionnel, alors les deux sous-boules de \(X\) passant par \(x\) qui sont données par (a) et (c) ne sont pas confondues.

     
Le “presque” de l’assertion (c) fait référence au fait que pour Colmez le paramètre de \((s,t)\) doit être \(p\)-régulier, notion qui sera introduite plus tard (cette hypothèse n’est d’ailleurs plus nécessaire grâce à la Proposition 3.9).

Comme dans chacune des deux sous-boules mentionnées dans le (d), les points cristallins non exceptionnels sont Zariski-denses par le (b), on obtient une idée de la structure fractale de la fougère infinie dans \(X\) (et une justification pour son nom!). Le théorème ci-dessus s’en déduit aisément. Les deux sous-boules du (d) sont les analogues locaux des deux familles de Coleman passant par les deux formes jumelles associées à une forme modulaire propre et \(p\)-ancienne. Dans l’approche de Kisin, disons simplement que l’espace \(S\) est remplacé dans cet argument par sa version \(X_{fs}\) construite dans [27]. La différence essentielle est que Kisin découpe \(X_{fs}\) dans l’espace \(X \times \mathbb G _m\) (il doit donc le “majorer”, ce qui est assez délicat) alors que Colmez le construit explicitement, ce qui est peut-être plus naturel par rapport à notre problème. Quand \(d=2\), mentionnons que ce résultat de densité des cristallines joue un rôle important dans la preuve par Colmez de la correspondance de Langlands locale \(p\)-adique [19]. Ajoutons enfin que toujours quand \(d=2\), Nakamura a étendu dans [33] l’approche de Kisin et le théorème ci-dessus au cas où \(G_{\mathbb Q _p}\) est remplacé par \(G_K\) avec \(K/\mathbb Q _p\) finie arbitraire.

Notre démonstration reprend pour \(d\) quelconque les étapes de la preuve esquissée ci-dessus. L’ensemble \(S\), ainsi que la fougère infinie, sont définis de la même manière. Son étude a été amorcée par Bellaïche et l’auteur dans [2, §2]. Une conséquence simple des travaux de Berger est que les triangulations d’une représentation cristalline \(V\) de dimension \(d\) quelconque sont en bijection avec les drapeaux \(\varphi \)-stables de \(D_{\mathrm{cris}}(V)\), de sorte que génériquement (au sens naïf) il y en a \(d!\). C’est la généralisation du (a) dont nous aurons besoin ici. De plus, mentionnons que bien que l’on n’y munisse pas \(S\) d’une structure analytique, une étude du voisinage infinitésimal de chaque point est aussi menée loc. cit., ce qui est un premier pas en direction (c), tout en étant insuffisant pour le théorème \(A\). Il semble en effet difficile d’appliquer le théorème d’approximation d’Artin pour relever les germes formels de familles de \((\varphi ,\Gamma )\)-modules triangulins construits dans [2, §2] en des vrais germes de familles analytiques. Cela vient entre autres de ce que nous ne savons pas démontrer que les foncteurs sous-jacents sont de présentation finie, question qui nous semble assez profonde et à laquelle nous ne savons pas répondre.

Les généralisations de (b) et (c) à la dimension \(d\) formeront le coeur technique et nouveau de cet article, et nous y reviendrons plus loin en détail. Un point assez délicat concerne la généralisation du (d) : en un point cristallin \(x \in X\) assez général, la fougère infinie admet \(d!\) feuilles chacune étant de dimension \(\frac{d(d+1)}{2}+1\), et le problème est de comprendre leurs positions relatives. Ce problème est facile à résoudre pour des raisons de dimension quand \(d=2\), car une analyse ad-hoc des paramètres triangulins sur chacune des deux feuilles de dimension \(4\) montre que les deux feuilles ne sont pas confondues. Le cas général est nettement plus délicat, mais a déjà été résolu par l’auteur dans [13] (en fait dans [11]). Le résultat clé est que si \(x\) cristallin est assez générique en un sens précis rappelé plus bas, alors la somme des espaces tangents en \(x\) des \(d!\) feuilles de la fougère en \(x\) est l’espace tangent de \(X\) en \(x\) tout entier. L’argument d’adhérence Zariski employé dans [13] permet alors de conclure : nous renvoyons à la section 4.1 pour l’argument complet.

Revenons sur la structure analytique de l’espace \(S\). Nous raisonnerons entièrement dans le monde des \((\varphi ,\Gamma )\)-modules sur l’anneau de Robba (non nécéssairement étales), ce qui est essentiellement permis par un théorème de Kedlaya et Liu [26]. Si \(A\) est une \(\mathbb Q _p\)-algèbre affinoïde, on note \(\mathcal R _A\) l’anneau de Robba à coefficients dans \(A\) (voir § 1.1 pour la définition précise). Soient \(\text{ Aff}\) la catégorie des \(\mathbb Q _p\)-algèbres affinoïdes et
$$\begin{aligned} F_d^\square : \text{ Aff}\longrightarrow \text{ Ens} \end{aligned}$$
le foncteur associant à \(A\) l’ensemble des classes d’équivalence de \((\varphi ,\Gamma )\)-modules sur \(\mathcal R _A\) qui sont triangulins (et munis d’une triangulation), réguliers et rigidifiés : nous renvoyons à la section 3 pour les définitions de ces termes.

Théorème B

Le foncteur \(F_d^{\square }\) est représentable par un espace analytique \(p\)-adique \(S_d^\square \) qui est irréductible et lisse sur \(\mathbb Q _p\), de dimension \(\frac{d(d+3)}{2}\). Les \((\varphi ,\Gamma )\)-modules cristallins sont Zariski-denses et d’accumulation dans \(S_d^\square \).

Mentionnons que la notion de rigidification utilisée fait que l’espace \(S_d^\square \) admet moralement \(d-1\) dimensions de plus que sa définition naïve, en revanche elle permet de traiter sur un pied d’égalité tous les \((\varphi ,\Gamma )\)-triangulins (y compris ceux qui sont scindés par exemple). Ce théorème peut être vu comme un analogue local de la théorie des variétés de Hecke (ou “eigenvarieties”).4 Sa première partie est nouvelle même pour \(d=2\), où elle complète des résultats de Colmez et de Kisin. Dans ce cas, nous construisons en fait une famille “tautologique” de \((\varphi ,\Gamma )\)-modules sur le complémentaire dans l’espace de Colmez des points de paramètre \((\delta _1,\delta _2)\) de la forme \(\delta _1\delta _2^{-1}=x^{-i}\) pour un \(i\ge 0\) (Proposition 3.9). Le théorème \(B\) a des conséquences intéressantes concernant la construction de représentations cristallines ayant certaines propriétés, en se déplaçant dans la fougère infinie. Par exemple il permet de montrer que si\({\bar{\rho }}: G_{\mathbb Q _p} \rightarrow \mathrm GL _d({\mathbb F }_q)\)est une représentation semi-simple continue quelconque, il existe une extension finie\(L/\mathbb Q _p\)et une représentation\(G_{\mathbb Q _p} \rightarrow \mathrm GL _d(L)\)cristalline absolument irréductible dont la représentation résiduelle est\({\bar{\rho }}\) (Proposition 4.11).

Le coeur technique du théorème \(B\), et de cet article, est un ensemble de résultats sur les \((\varphi ,\Gamma )\)-modules sur \(\mathcal R _A\), notamment sur leur cohomologie à la Fontaine–Herr [23, 24]. Ceci fait l’objet de la section 2. Une étape de la démonstration est la vérification dans ce contexte que les complexes \(C_{\varphi ,\gamma }\) et \(C_{\psi ,\gamma }\) sont quasi-isomorphes comme dans la théorie classique de Herr, ce qui avait notamment été conjecturé par Kedlaya dans [25, §2.6]. Concrètement, il s’agit d’étudier la structure de \(D^{\psi =0}\) comme \(\Gamma \)-module quand \(D\) est un \((\varphi ,\Gamma )\)-module sur \(\mathcal R _A\) ou sur \(\mathcal R _A^+\). Ce point assez technique repose sur une étude préliminaire des familles de \(\Gamma \)-modules effectuée en section 1. Notre preuve est directement inspirée de [19, §V] qui en démontre le cas particulier où \(A\) est un corps.

Nous calculons enfin la cohomologie de \(\mathcal R _A(\delta )\) quand \(\delta : \mathbb Q _p^*\rightarrow A^*\) est un caractère continu, étendant des résultats de Colmez (en degrés \(0\) et \(1\), [18])) et de Liu (en degré \(2\), [30]) dans le cas particulier où \(A\) est un corps. Notre preuve, bien qu’inspirée de celle de Colmez, est en fait un peu plus simple que celle dans [18] : l’idée nouvelle essentielle est de remplacer son dévissage pour se ramener au cas où \(v(\delta (p)) < 0\) par un argument direct utilisant la transformée de \(\ldots \) Colmez ! qui est un dévissage de l’anneau de Robba. Nous décrivons de plus la structure de \(\mathcal R _A(\delta )^{\psi =1}\) comme module sur une certaine complétion de \(A[\Gamma ]\) notée \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\). Nous étendons enfin ces résultats à tous les \((\varphi ,\Gamma )\)-modules triangulins sur \(\mathcal R _A\). Mentionnons qu’une des spécificités de cette théorie en famille est l’absence de dualité. De plus, le coeur (au sens de Fontaine) d’une famille de \((\varphi ,\Gamma )\)-modules sur \(\mathcal R _A\) n’est pas nécéssairement libre sur \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\). Voici un échantillon des résultats obtenus. Des cas partiels de l’assertion de finitude ont été aussi obtenus par Bellaïche dans [1, §3].

Théorème C

Si \(D\) est un \((\varphi ,\Gamma )\)-module triangulin de rang \(d\) sur \(\mathcal R _A\), alors \(H^i(D)\) est de type fini sur \(A\) pour tout \(i\) et dans le groupe de Grothendieck des \(A\)-modules de type fini on a la relation \([H^0(D)]-[H^1(D)]+[H^2(D)]=-[A^d]\). De plus, la formation des \(H^i(D)\) commute à tout changement de base plat affinoïde. Enfin, \(D^{\psi =1}\) contient un \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\)-module libre de rang \(d\), le quotient étant de type fini sur \(A\).

Si \(D\) est de paramètres réguliers, alors \(H^0(D)=H^2(D)=0\) et \(H^1(D)\) est libre de rang \(d\) sur \(A\). La formation des \(H^i(D)\) commute alors à tout changement de base affinoïde. Si \(D\) est de paramètres \(p\)-réguliers, alors \(D^{\psi =1}\) est libre de rang \(d\) sur \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\).

L’auteur remercie chaleureusement Pierre Colmez pour les explications précieuses de ses résultats, dont les § 1.5 et § 2.6 sont très largement inspirés, Laurent Fargues et Olivier Taïbi pour des discussions utiles, ainsi que le rapporteur pour sa relecture attentive.

1 \((\varphi ,\Gamma )\)-modules sur \(\mathcal R _A\)

1.1 Quelques anneaux de fonctions analytiques

Nous renvoyons à [9] pour les généralités sur les espaces analytiques \(p\)-adiques au sens de Tate. Si \(X\) est un tel espace, nous noterons \(\mathcal O (X)\) la \(\mathbb Q _p\)-algèbre de ses fonctions globales. Quand \(X\) est affinoïde, c’est une algèbre de Banach noethérienne, et on note aussi \(X=\text{ Sp}(\mathcal O (X))\). En général, on munit \(\mathcal O (X)\) de la topologie de la convergence uniforme sur tout ouvert affinoïde, c’est une algèbre de Fréchet si \(X\) admet un recouvrement dénombrable admissible par des affinoïdes, ce qui sera le cas pour tous les espaces ci-dessous. Si \(X\) est réunion admissible d’ouverts affinoïdes \(X_n\) (\(n\ge 0\)) avec \(X_n \subset X_{n+1}\), c’est une algèbre de Fréchet-Stein au sens de [35, §3].5

Soit \(A\) une \(\mathbb Q _p\)-algèbre affinoïde. Un modèle de \(A\) est une sous-\(\mathbb Z _p\)-algèbre \(\mathcal A \subset A\) topologiquement de type fini, i.e. quotient de \(\mathbb Z _p\langle t_1,\ldots ,t_m\rangle \) pour un certain \(m\ge 1\), et telle que \(\mathcal A [1/p]=A\). Un modèle est ouvert, borné, sans \(p\)-torsion, et complet séparé pour la topologie \(p\)-adique. Pour toute famille finie \(x_1\),..., \(x_r\) d’éléments de \(A\) à puissances (positives) bornées, il existe toujours un modèle \(\mathcal A \) de \(A\) contenant les \(x_i\). Si \(A\) est réduit, l’ensemble de ses éléments à puissances bornées est le plus grand modèle de \(A\) [37, §6]. Si \(|.|\) est une norme sur \(A\) (sous-entendu, sous-multiplicative et pour laquelle \(A\) est complet), alors sa boule unité \(A^0\) est un modèle de \(A\).

Soit \(I \subset [0,1[\) un intervalle d’extrémités dans \(p^\mathbb Q \), on note \(B_I\) l’ouvert admissible de la droite affine rigide \(\mathbb A ^1\) (de paramètre \(T\)) défini par \(|T| \in I\). C’est un disque si \(0 \in I\) et une couronne sinon, il est affinoïde si \(I\) est un segment (c’est-à-dire un intervalle fermé). On notera encore \(T \in \mathcal O (B_I)\) le paramètre tautologique. Soit \(A\) une \(\mathbb Q _p\)-algèbre affinoïde. Si \(I \subset [0,1[\) est un intervalle on pose
$$\begin{aligned} {\mathcal E }_A^I:=\mathcal O ( \text{ Sp}(A) \times B_I). \end{aligned}$$
 
  • Si \(0 \in I,{\mathcal E }_A^I \subset A[[T]]\) est aussi la sous-algèbre des séries \(f=\sum _{n \in \mathbb N } a_n T^n\) telles que pour tout \(r \in I\) on ait \(|a_n|r^n \rightarrow 0\) quand \(n\rightarrow \infty \). C’est une \(A\)-algèbre de Fréchet pour les normes \(|f|_{[0,r]}:=\sup _{n \in \mathbb N } |a_n|r^n\), si \(|.|\) est une norme fixée sur \(A\).

  • Si \(0 \notin I,{\mathcal E }_A^I\) est aussi la \(A\)-algèbre des séries de Laurent \(f=\sum _{n \in \mathbb Z } a_n T^n\) telles que pour tout \([r,s] \subset I\) on ait \(|a_n|s^n \rightarrow 0\) et \(|a_{-n}| r^{-n} \rightarrow 0\) quand \(n\rightarrow \infty \). C’est une \(A\)-algèbre de Fréchet pour les normes \(|f|_{[r,s]}:=\sup (\sup _{n \in \mathbb N } |a_n|s^n, \sup _{n \in \mathbb N } |a_{-n}|r^{-n})\), où \([r,s] \subset I\).

Notons que les descriptions ci-dessus sont classiques quand \(I\) est un segment, et s’en déduisent en général en considérant le recouvrement admissible de \(\text{ Sp}(A) \times B_I\) par les \(\text{ Sp}(A) \times B_J\) pour \(J \subset I\) un segment. De plus, \({\mathcal E }_A^I\) est une algèbre affinoïde si \(I\) est un segment et de Fréchet-Stein en général (considérer le recouvrement par les \(\text{ Sp}(A) \times B_{I_n}\)\(I_n\) est une suite croissante de segments recouvrant \(I\)).
On pose encore
$$\begin{aligned} \mathcal R _{A,r}={\mathcal E }_A^{[r,1[}, \quad \mathcal R _A=\bigcup _{0<r<1} \mathcal R _{A,r},\quad \text{ et} \quad \mathcal R ^+_A=\mathcal R _{A,0}. \end{aligned}$$
Lorsque \(A=\mathbb Q _p\) on omettra souvent de le mentionner en indice. Par exemple \(\mathcal R :=\mathcal R _{\mathbb Q _p}\) et \({\mathcal E }^I:={\mathcal E }_{\mathbb Q _p}^I\). De plus, si \(X=\text{ Sp}(A)\) on remplacera parfois \(A\) par \(X\) dans les notations ci-dessus, de sorte que par exemple \({\mathcal E }_X^I:={\mathcal E }_{\mathcal O (X)}^I\).

Il sera commode par la suite d’introduire certains modèles sur \(\mathbb Z _p\) des anneaux ci-dessus.

Lemme 1.2

Soit \(I=[p^{-\frac{a}{n}},p^{-\frac{b}{m}}]\) avec \(a,b,m,n \ge 1\) tels que \(\frac{b}{m} \le \frac{a}{n}\) (on suppose les factions réduites et éventuellement \(a=+\infty )\). Alors \(\mathcal O ^I:=\mathbb Z _p\langle \frac{T^m}{p^b},\frac{p^a}{T^n},T \rangle \) est un modèle de \({\mathcal E }^I\). De plus, le morphisme surjectif naturel \(\mathbb Z _p \langle T,U,V \rangle /(p^bU-T^m,T^nV-p^a) \rightarrow \mathcal O ^I\) a pour noyau la \(p^\infty \)-torsion de \(\mathbb Z _p \langle T,U,V \rangle /(p^bU-T^m,T^nV-p^a)\).

 

Preuve

En effet, par définition de \(B_I\) on a \({\mathcal E }^I=\mathbb Q _p\langle T, U, V\rangle /(p^b U-T^m, T^n V-p^a)\), donc les éléments \(\frac{T^m}{p^b}, \frac{p^a}{T^n} \in {\mathcal E }^I\) sont à puissances bornées et \(\mathcal O ^I\) est un modèle de \({\mathcal E }^I\) car image de \(\mathbb Z _p\langle T, U, V\rangle \). Le dernière assertion suit car le morphisme de l’énoncé est un isomorphisme après avoir inversé \(p\).\(\square \)

Si \(I\) est un segment on définit \(\mathcal O ^I\) comme dans le lemme ci-dessus. Si \(\mathcal A \) est un modèle de \(A\), alors \(\mathcal O _{\mathcal A }^I:={\mathcal A }\widehat{\otimes }_{\mathbb Z _p} \mathcal O ^I\) est un modèle de \({\mathcal E }_A^I\).

Enfin, on pose \({\mathcal E }_{\mathcal A }^{\dag , 0}=:{\mathcal A }[[T]]\), et si \(n\ge 1\), on définit \({\mathcal E }_{\mathcal A }^{\dag ,n}\) comme étant le complété de \(\mathcal A [[T]][\frac{p}{T^n}]\) pour la topologie \(p\)-adique. C’est aussi l’anneau des séries de Laurent de la forme \(\sum _{k\in \mathbb Z } a_k T^k\) telles que \(a_k \in \mathcal A \) pour tout \(k \in \mathbb Z ,a_{-k} \in p^{\alpha _k}\mathcal A \) pour \(k \ge 0\), où \(\alpha _k\) est une suite d’entiers \(\ge [\frac{k}{n}]\) et tendant vers l’infini avec \(k\). En particulier, \({\mathcal E }_{\mathcal A }^{\dag ,n} \subset \mathcal R _{A,p^{-\frac{1}{n}}}\). On le munit de sa topologie faible : une base de voisinages de \(0\) est l’ensemble des \(p^\alpha {\mathcal E }_{\mathcal A }^{\dag , n} + T^\beta \mathcal A [[T]],\alpha ,\beta \ge 0\) entiers. Il est aussi complet pour cette topologie. Nous renvoyons à [34, §17] pour les généralités sur les produits tensoriels complétés. Le (i) ci-dessous fait notamment le lien entre les définitions employées ici et celles de [26] et de [8].

Lemme 1.3

 
  1. (i)

    Pour tout \(I\), l’application naturelle \(A \widehat{\otimes }_{\mathbb Q _p} {\mathcal E }^I \rightarrow {\mathcal E }^I_A\) est un isomorphisme de Fréchets.

     
  2. (ii)

    Pour tout \(0<r<1\), la norme \(|.|_{[0,r]}\) sur \(\mathcal R _A^+\) induit sur \({\mathcal A }[[T]]\) la topologie définie par l’idéal \((p,T)\mathcal A [[T]]\), ou ce qui revient au même, la topologie faible dont une base de voisinages de \(0\) est donnée par les \(p^\alpha {\mathcal A }[[T]] + T^\beta {\mathcal A }[[T]]\) avec \(\alpha ,\beta \ge 0\). L’injection naturelle \(\mathcal A [[T]] \rightarrow \mathcal R _A^+\) est d’image fermée.

     
  3. (iii)

    Pour tout \(n\ge 1\) et \(p^{-1/n} \le s <1\), la norme \(|.|_{[p^{-1/n},s]}\) induit sur \({\mathcal E }_{\mathcal A }^{\dag , n}\subset \mathcal R _{A,p^{-1/n}}\) la topologie faible. En particulier, \({\mathcal E }_{\mathcal A }^{\dag , n}\) est fermé dans \(\mathcal R _{A,p^{-1/n}}\).

     
  4. (iv)

    Si \(J\) est un ideal de \(A\) et \(I\) est un intervalle quelconque de \([0,1[\), alors l’application naturelle \({\mathcal E }_A^I/J{\mathcal E }_A^I \rightarrow {\mathcal E }_{A/J}^I\) est un isomorphisme.

     
  5. (v)

    Pour tout intervalle \(I\) de \([0,1[\), le \(A\)-module \({\mathcal E }_A^I\) est plat. En particulier, \(\mathcal R _A\) est plat sur \(A\).

     

 

Preuve

Quand \(I\) est un segment, \(B_I\) est affinoïde et le (i) est évident. En général, l’injectivité de \(A \otimes _{\mathbb Q _p} \mathbb Q _p^{\mathbb Z } \rightarrow A^ \mathbb Z \) entraîne celle de \(\iota _I : A \otimes _{\mathbb Q _p} {\mathcal E }^I \rightarrow {\mathcal E }^I_A\). Si \(J \subset I\) est un segment, on a une semi-norme naturelle produit-tensoriel \(|.|_J:=|.|\otimes |.|_J\) sur \(A \otimes _{\mathbb Q _p} {\mathcal E }^I\) associée : \(|x|_J\) est l’infimum sur toutes les écritures \(x=\sum _i a_i \otimes f_i\) des \(\text{ sup}_i |a_i||f_i|_{J}\). En particulier, \(|\iota _I(x)|_J\le |x|_J\) pour tout \(x \in A \otimes _{\mathbb Q _p} {\mathcal E }^I\). Réciproquement, considérons le diagramme commutatif évidentD’après [34, Prop. 17.4 (iii)], \(|\mu (x)|_J=|x|_J\) pour tout \(x \in A \otimes _{\mathbb Q _p} {\mathcal E }^I\). De plus, le cas d’un segment entraîne qu’il existe une constante \(C_J>0\) telle que \(|x|_J \le C_J |\iota (x)|_J\) pour tout \(x\) dans \(A \otimes _{\mathbb Q _p} {\mathcal E }^J\). Ainsi, \(|.|_J\) et \(|\iota _I(.)|_J\) sont équivalentes sur \(A \otimes _{\mathbb Q _p} {\mathcal E }^I\). On conclut car \({\mathcal E }_A^I\) est un Fréchet contenant \(A \otimes _{\mathbb Q _p} {\mathcal E }^I\) comme sous-espace dense. Le premier point du (ii) est un exercice classique sans difficulté laissé au lecteur. Comme \(\mathcal A [[T]]\) est complet pour la topologie \((p,T)\)-adique, c’est un sous-espace fermé de \(\mathcal R _A^+\) et le (ii) suit. Pour le (iii), on constate sur la description donnée plus haut de \({\mathcal E }_{\mathcal A }^{\dag , n}\) que \({\mathcal E }_{\mathcal A }^{\dag ,n}=T{\mathcal A }[[T]] \oplus (\oplus _{i=0}^{n-1} T^i \mathbb Z _p \langle \frac{p}{T^n} \rangle )\) est une somme directe topologique, les termes de droite étant respectivement munis de la topologie \((p,T)\)-adique pour le premier et de la topologie \(p\)-adique pour le second. Par définition des \(|.|_J\) sur \(\mathcal R _{A,r}\), cette somme directe est une isométrie pour chaque \(|.|_J\) (les termes de droites étant munis de la norme induite). Le premier point du (iii) se déduit alors de celui du (ii). Le (iii) suit car \({\mathcal E }_{\mathcal A }^{\dag ,n}\) est complet pour la topologie faible. Comme il est complet pour cette topologie, cela conclut.

Pour démontrer le (iv) il faut voir si \(f \in {\mathcal E }_A^I\) a tous ses coefficients dans \(J\) (vue comme série de Laurent), alors \(f \in J{\mathcal E }_A^I\). Soient \(e_1,\ldots ,e_g\) une famille finie de générateurs de \(J\) comme \(A\)-module, d’après Tate la surjection (\(A\)-linéaire) \(A^g \rightarrow I\) qui s’en déduit est nécessairement ouverte. En particulier il existe une constante \(C>0\) telle que tout élément \(x \in J\) s’écrive sous la forme \(\sum _i x_i e_i\) avec \(|x_i| \le C |x|\) pour tout \(i\). Ainsi, appliquant ceci à tous les coefficients d’un \(f \in {\mathcal E }_A^I\) à coefficients dans \(J\), il vient que \(f \in J {\mathcal E }_A^I\).

Prouvons enfin (v). Si \(I\) est un segment, alors \({\mathcal E }_A^I=A \widehat{\otimes }_{\mathbb Q _p} {\mathcal E }^I\) est isomorphe à \(A \langle t \rangle \) comme \(A\)-module, et il est bien connu que ce dernier est plat sur \(A\). En effet, si \({\mathcal A }\subset A\) est un modèle de \(A\), alors \({\mathcal A }\langle t \rangle \) est plat sur \({\mathcal A }[T]\) comme complété de ce dernier (qui est un anneau noethérien) pour la topologie \(p\)-adique, et donc plat sur \({\mathcal A }\). On conclut en inversant \(p\). En général, on écrit \({\mathcal E }_A^I\) est comme limite projective de \({\mathcal E }_A^{I_n}\) pour une suite arbitraire croissante \(I_n\) de segments recouvrant \(I\). Soit \(0 \longrightarrow P \longrightarrow Q \longrightarrow R \longrightarrow 0\) une suite exacte de \(A\)-modules de type fini. Par platitude de \({\mathcal E }_A^{I_n}\) sur \(A\) pour tout \(n\ge 0\) (cas précédent), on dispose d’un système projectif de suites exactes \(0 \longrightarrow P_n \longrightarrow Q_n \longrightarrow R_n \longrightarrow 0\)\(X_n:=X \otimes _A {\mathcal E }_A^{I_n}\) (la famille \((X_n)\) définit donc un \({\mathcal E }_A^I\)-module cohérent au sens de Schneider-Teitelbaum). D’après [35, §3, Thm.], c’est un fait général que cette suite reste exacte après passage à la limite projective sur \(n\). Pour conclure, il suffit de voir que si \(X\) est un \(A\)-module de type fini, alors l’application naturelle
$$\begin{aligned} X \otimes _A {\mathcal E }_A^I \longrightarrow \projlim _n X_n \end{aligned}$$
est un isomorphisme. C’est clair si \(X\) est libre et cela suit en général si l’on choisit une présentation \(L \rightarrow L^{\prime } \rightarrow X \rightarrow 0\) avec \(L,L^{\prime }\) libres de type fini sur \(A\), et considère le diagramme commutatifdont les suites horizontales sont exactes (par exactitude à droite du produit tensoriel pourcelle du haut et par [35, §3, Thm.] pour celle du bas) et les deux verticales de gauche sont des isomorphismes. L’assertion sur \(\mathcal R _A\) suit car c’est une limite inductive filtrante de \({\mathcal E }_A^I\).\(\square \)
Le groupe \(\Gamma :=\mathbb Z _p^*\) agit par automorphismes des \(B_I\) par la formule
$$\begin{aligned} \gamma (T)=(1+T)^\gamma -1=\sum _{n\ge 1} {\gamma \atopwithdelims (){n}} T^n \in \mathbb Z _p[[T]], \end{aligned}$$
(1.1)
de sorte que \(|\gamma (t)|=|t|\) si \(|t|<1\). Si \(A\) est une algèbre affinoïde sur \(\mathbb Q _p\), cette action de \(\Gamma \) s’étend donc en une action \(A\)-linéaire sur \({\mathcal E }_A^I\), et en fait sur tous les anneaux introduits ci-dessus.

Lemme 1.4

Soient \(A\) une algèbre affinoïde sur \(\mathbb Q _p\) et \({\mathcal A }\subset A\) un modèle.
  1. (i)

    Si \(I\) est un segment, l’application induite \(\Gamma \rightarrow \text{ End}_A ({\mathcal E }_A^I)\) est continue.

     
  2. (ii)

    Si \(1\le n \le m,I=[p^{-1/n},p^{-1/m}]\) et \(\gamma \in 1+2p^M\mathbb Z _p\) alors \((\gamma -1)T^j\mathcal O ^I_{\mathcal A }\subset T^{M+j} \mathcal O ^I_{\mathcal A }\) pour tout \(j \in \mathbb Z \).

     

(Le terme à droite dans (i) est l’algèbre des endomorphismes \(A\)-linéaires continus du \(A\)-module de Banach \({\mathcal E }_A^I\), c’est une \(A\)-algèbre de Banach pour la norme d’opérateurs).

Preuve

L’action de \(\Gamma \) étant \(A\)-linéaire, on peut supposer \(A=\mathbb Q _p\) et \(\mathcal A =\mathbb Z _p\) dans (i) et (ii). Vérifions (i), il suffit par multiplicativité de montrer la continuité en \(1 \in \Gamma \). Écrivons \(I=[p^{-a/n},p^{-b/m}]\) (resp. \(I=[0,p^{-b/m}]\)). Soient \(U=\frac{T^m}{p^b}\) et \(V=\frac{p^a}{T^n}\), ainsi que \(\mathcal O ^I=\mathbb Z _p\langle U, V,T \rangle \subset {\mathcal E }^I\) (resp. \(\mathbb Z _p\langle U,T \rangle \)) le modèle de \({\mathcal E }^I\) défini au lemme 1.2. Si \(\gamma \in \Gamma \) alors
$$\begin{aligned} \gamma (U)=\gamma (T)^m/p^b=\gamma ^m U\left(1+\sum \limits _{k\ge 2} \frac{{ \gamma \atopwithdelims ()k}}{\gamma } T^{k-1}\right)^m \in U\mathbb Z _p\langle U \rangle [T] \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} \gamma (V)=\frac{p^a}{\gamma (T)^n}=\gamma ^{-n} V \left(1+\sum \limits _{k\ge 2} {\frac{{\gamma \atopwithdelims ()k}}{\gamma }} T^{k-1}\right)^{-n} \in V\mathbb Z _p\langle U \rangle [T]. \end{aligned}$$
(car \(\mathbb Z _p[[T]] \subset \mathbb Z _p\langle U \rangle [T]\)). En particulier, \(\Gamma \) préserve \(\mathcal O ^I\). Notons que \(T^m \in p\mathcal O ^I\). Ainsi, si \(M\ge 1\) est un entier suffisamment grand pour que\({\gamma \atopwithdelims ()i} \in p\mathbb Z _p\) si \(i=2,\ldots ,m\) et \(\gamma \in 1+p^M\mathbb Z _p\), les formules ci-dessus entraînent que \(1+p^M\mathbb Z _p\) agit trivialement sur \(\mathcal O ^I/p\mathcal O ^I\). L’identité
$$\begin{aligned} W^p-1 \equiv (W-1)^p \mathrm{mod} p(W-1)\mathbb Z [W] \end{aligned}$$
(1.2)
montre alors que \((\gamma -1)\mathcal O ^I \subset p^N\mathcal O ^I\) si \(\gamma \in 1+2p^{M+N-1}\mathbb Z _p\), ce qui termine la preuve du (i). Vérifions donc (ii). Les formules pour \(\gamma (T),\gamma (U)\) et \(\gamma (V)\) données ci-dessus montrent alors que les \(T^j\mathcal O ^I\) pour \(j \in \mathbb Z \) sont \(\Gamma \)-stables, puis que \(\gamma \) agit trivialement sur \(\mathcal O ^I/T\mathcal O ^I\) (car sur les images de \(U\) et \(V\)) dès que \(\gamma \in 1+p\mathbb Z _p\). On en déduit que pour tout \(j \in \mathbb Z \) et tout \(\gamma \in 1+p\mathbb Z _p\), alors \((\gamma -1)T^j\mathcal O ^I \subset T^{j+1}\mathcal O ^I\). En effet, cela vient par récurrences sur \(j\) de la formule \((\gamma -1)(ab)=(\gamma -1)(a)\gamma (b)+ (\gamma -1)(b)a\) et de ce que
$$\begin{aligned} (\gamma -1)(T)&\in (T^2,pT)\mathbb Z _p[[T]] \subset T^2 \mathcal O ^I \quad \text{ et} \quad (\gamma -1)(T^{-1}) \\&\in pT^{-1}\mathbb Z _p+\mathbb Z _p[[T]] \subset \mathcal O ^I \end{aligned}$$
(car \(p=VT^n \in T \mathcal O ^I\)). Cela démontre le (ii) pour \(M=1\). En particulier,
$$\begin{aligned} (\gamma -1)^iT^j\mathcal O ^I \subset T^{i+j}\mathcal O ^I \end{aligned}$$
pour tout \(i\ge 0,j \in \mathbb Z \) et \(\gamma \in 1+p\mathbb Z _p\). Le (ii) suit alors pour tout \(M\), encore par récurrence sur \(M\), en utilisant cette fois-ci l’identité (1.2) et encore le fait que \(p=VT^n \in T \mathcal O ^I\).\(\square \)

 

1.2 Préliminaire sur les familles de \(\Gamma \)-modules

Soit \(A\) une \(\mathbb Q _p\)-algèbre affinoïde, \(\mathcal A \subset A\) un modèle, et \(N\ge 0\) un entier. On définit un \(\Gamma \)-module sur\({\mathcal E }_{{\mathcal A }}^{\dag ,N}\) comme étant un \({\mathcal E }_{{\mathcal A }}^{\dag ,N}\)-module \(D\) libre de rang fini muni d’une action semi-linéaire de \(\Gamma \) qui soit continue, i.e. telle qu’il existe une base \(e_1,\ldots ,e_d\) de \(D\) sur \({\mathcal E }_{{\mathcal A }}^{\dag ,N}\) pour laquelle l’application \(\gamma \in \Gamma \mapsto \text{ Mat}(\gamma ) \in M_d({\mathcal E }_{{\mathcal A }}^{\dag ,N})\) associant à \(\gamma \) sa matrice dans la base \((e_i)\) soit continue coefficient par coefficient. On vérifirait aisément à l’aide des lemmes 1.4 (i) et 1.3 (ii) et (iii) que si cela vaut pour une base alors cela vaut pour toutes.

Pour tout segment \(I \subset [p^{-\frac{1}{N}},1[\), on a un morphisme naturel \({\mathcal E }_{\mathcal A }^{\dag ,N} \rightarrow \mathcal O _{\mathcal A }^I\), de sorte qu’il y a un sens à considérer \(D^I=D \otimes _{{\mathcal E }_{\mathcal A }^{\dag ,N}} \mathcal O _{\mathcal A }^I\). Ce \(\mathcal O _{\mathcal A }^I\)-module libre hérite d’une action semi-linéaire de \(\Gamma \), qui s’étend de manière évidente au module de fractions \(D^I[1/T]\). Rappelons que \(T\) n’est pas un diviseur de zéro dans \({\mathcal E }^I_A\), ni donc dans son modèle \(\mathcal O _{\mathcal A }^I\).

Lemme 1.6

Soit \(s\ge 0\) un entier. Il existe un entier \(M\ge 1\) tel que \(\forall \gamma \in 1+p^M\mathbb Z _p\) :
  1. (a)

    \((\gamma -1)T^jD^I \subset T^{j+s} D^I\) pour tout \(j \in \mathbb Z \) et tout \(I=[p^{-1/m},p^{-1/m^{\prime }}]\) avec \(1\le m \le m^{\prime }\) et \(m\ge N\),

     
  2. (b)

    et de plus \((\gamma -1)D^{[0,p^{-1/2}]} \subset p^s D^{[0,p^{-1/2}]}\) si \(N=0\).

     

 

Preuve

Supposons d’abord \(N\ge 1\). Par continuité de \(\Gamma \), on peut choisir \(M\ge s\) tel que pour tout \(\gamma \in 1+p^{M}\mathbb Z _p\) on ait \(\text{ Mat}(\gamma )-\text{ id} \in p^sM_d({\mathcal E }_{{\mathcal A }}^{\dag ,n})+T^sM_d({\mathcal A }[[T]])\). Mais \(p \in T^N{\mathcal E }_{{\mathcal A }}^{\dag ,N}\), donc \(\text{ Mat}(\gamma )-\text{ id} \in T^sM_d({\mathcal E }_{{\mathcal A }}^{\dag ,N})\). En particulier, si \(1\le m \le m^{\prime },m\ge N\) et \(I=[p^{-1/m},p^{-1/m^{\prime }}]\), alors
$$\begin{aligned} (\gamma -1)(e_i) \in T^s D^I,\quad \forall \gamma \in 1+p^M\mathbb Z _p, \ \forall i=1,\ldots ,d. \end{aligned}$$
On conclut alors le (a) par l’identité
$$\begin{aligned} (\gamma -1)\left(\sum _i x_i e_i\right)=\sum _i (\gamma -1)(x_i)\gamma (e_i)+x_i(\gamma -1)(e_i), \end{aligned}$$
et le lemme 1.4 (ii). Si \(N=0\), le fait que l’on puisse choisir \(M\) de sorte que (a) soit satisfait découle du cas précédent en considérant le \(\Gamma \)-module sur \({\mathcal E }_{\mathcal A }^{\dag ,1}\) obtenu par extension des scalaires. Pour vérifier (b) on procède de même que ci-dessus en remarquant par exemple que \(T^2 \in p\mathcal O _I\) si \(I=[0,p^{-1/2}]\) et en utilisant le lemme 1.4 (i).

\(\square \)

Terminons par une proposition qui jouera un rôle important dans la suite. Fixons \(D\) un \(\Gamma \)-module sur \({\mathcal E }_{{\mathcal A }}^{\dag ,N}\). Si \(\gamma \in \Gamma \), considérons l’application
$$\begin{aligned} G_\gamma : D \rightarrow D,\quad x \mapsto Tx+(1+T) \cdot (\gamma -1)(x), \end{aligned}$$
c’est un endomorphisme \({\mathcal A }\)-linéaire de \(D\). On considère le morphisme de \(A\)-algèbres \(A[G_\gamma ] \rightarrow \mathcal R _{A,p^{-1/n}}\) envoyant \(G_\gamma \) sur \(T\).

Proposition 1.7

Il existe un entier \(M\ge 1\) tel que pour tout \(\gamma \in 1+p^M\mathbb Z _p\), et pour tout \(n\ge N\), le \(A[G_\gamma ]\)-module \(D^{(n)} = D \otimes _{{\mathcal E }_{{\mathcal A }}^{\dag ,N}} \mathcal R _{A,p^{-1/n}}\) s’étend de manière unique en un \(\mathcal R _{A,p^{-1/n}}\)-module noté6\(D^{^{\prime }(n)}\) tel que l’application structurelle \(\mathcal R _{A,p^{-1/n}} \times D^{^{\prime }(n)} \rightarrow D^{^{\prime }(n)}\) soit continue. De plus, si \((e_i)\) est une base de \(D\) sur \({\mathcal E }_{{\mathcal A }}^{\dag ,N}\) alors \((e_i \otimes 1)\) est une base de \(D^{^{\prime }(n)}\) sur \(\mathcal R _{A,p^{-1/n}}\).

La topologie sous-entendue sur \(D^{^{\prime }(n)}\) dans cet énoncé est celle de \(\mathcal R _{A,p^{-1/n}}\)-module de Fréchet \(D^{(n)}\) sous-jacent (qui est libre de rang fini par définition).

Preuve

Appliquons le lemme précédent pour \(s=2\). Fixons une fois pour toutes \(\gamma \in 1+p^M \mathbb Z _p\), où \(M\) est donné par ce lemme. Soit \(I=[p^{-1/m},p^{-1/m^{\prime }}]\) avec \(m\ge N\) et \(m\ge 1\), et considérons \(D^I\). C’est un \(\mathcal O _{\mathcal A }^I\)-module libre de rang \(d\), il est en particulier complet pour la topologie \(p\)-adique, et aussi pour la topologie \(T\)-adique (car \(\mathcal O _{\mathcal A }^I\) l’est, puisque \(T^{m^{\prime }}\mathcal O _{\mathcal A }^I \subset p\mathcal O _{\mathcal A }^I\)). L’anneau \(\mathcal B ^I=\mathrm End _{\mathcal A }(D^I)\) des endomorphismes \({\mathcal A }\)-linéaires de \(D^I\) est donc lui aussi complet pour les topologies \(p\)-adique et \(T\)-adique.

Notons \(\mu _u \in \mathcal B ^I\) la multiplication par \(u \in \mathcal O ^I_{\mathcal A }\). On considère l’application \(\psi : D^I[1/T] \rightarrow D^I[1/T]\) définie par
$$\begin{aligned} \psi (x):=\frac{1+T}{T}(\gamma -1)(x), \end{aligned}$$
et pour \(j \in \mathbb Z \) on pose \(\psi ^{(j)}=\mu _{T^{-j}} \circ \psi \circ \mu _{T^{j}},D^I[1/T] \rightarrow D^I[1/T]\). Le (a) du lemme précédent assure que
$$\begin{aligned} \psi ^{(j)}(D^I) \subset T D^I , \quad \forall j \in \mathbb Z \end{aligned}$$
par choix de \(M\). En particulier, \(\psi ^{(j)} \in \mathcal B ^I\) et \(1+\psi ^{(j)}\) est même un élément inversible de \(\mathcal B ^I\), d’inverse la série convergente \(\sum _{k\ge 0} (-1)^k(\psi ^{(j)})^k\). De plus, \(\psi ^{(j)}\) préserve trivialement \(TD^I\) et agit par \(0\) sur \(D^I/TD^I\).
Par définition, on a la relation \(G_\gamma = \mu _T \circ (1+\psi ) \in \mathcal B ^I\). Le paragraphe précédent assure donc que \(G_\gamma \) induit une bijection \(D^I[1/T] \rightarrow D^I[1/T]\). Pour tout entier \(k \ge 0\) on constate enfin que
$$\begin{aligned} \mu _{T^k}^{-1} \circ G_\gamma ^{k} = (1+\psi ^{(k-1)}) \circ (1+\psi ^{(k-2)}) \circ \cdots \circ (1+\psi ^{(0)}) \end{aligned}$$
(1.3)
est un élément inversible de \(\mathcal B ^I\), qui préserve \(TD^I\), et agit par l’identité sur \(D^I/TD^I\). Comme les éléments \(\frac{p}{T^m}\) et \(T^{m^{\prime }}/p\) sont dans \(\mathcal O ^I\), nous avons montré au final que :
  1. (i)

    l’élément \(G_\gamma \) est dans \(\mathcal B ^I\), préserve \(TD^I\) et satisfait \(G_\gamma \equiv \mu _T\) dans \(\mathrm End _{\mathcal A }(D^I/TD^I)\).

     
  2. (ii)

    \(\frac{G_\gamma ^{m^{\prime }}}{p}\) est dans \(\mathcal B ^I\), préserve \(TD^I\), et satisfait \(\frac{G_\gamma ^{m^{\prime }}}{p} \equiv \mu _{\frac{T^{m^{\prime }}}{p}}\) dans \(\mathrm End _{\mathcal A }(D^I/TD^I)\).

     
  3. (iii)

    \(p \,G_\gamma ^{-m}\) est dans \(\mathcal B ^I\), préserve \(TD^I\) et satisfait \(p \,G_\gamma ^{-m} \equiv \mu _{\frac{p}{T^m}}\) dans \(\mathrm End _{\mathcal A }(D^I/TD^I)\).

     
Comme \(\mathcal B ^I\) est complet pour la topologie \(p\)-adique, et comme \(\mathcal O ^I\) est par définition le quotient de \(\mathbb Z _p\langle T,U,V\rangle /(pU-T^m,T^{m^{\prime }}V-p)\) par sa \(p^\infty \)-torsion (lemme 1.2), il découle de (i), (ii) et (iii) que le morphisme naturel \({\mathcal A }[\mathrm G _\gamma ] \rightarrow \mathcal B ^I\) s’étend en un morphisme continu \(\mathcal O _{\mathcal A }^I \rightarrow \mathcal B ^I\), via le morphisme \({\mathcal A }[\mathrm G _\gamma ] \rightarrow \mathcal O _{\mathcal A }^I\) envoyant \(G_\gamma \) sur \(T\). On note \(D^{^{\prime }I}\) le groupe abélien \(D^I\) muni de cette structure de \(\mathcal O _{\mathcal A }^I\)-module. L’équation (1.3) assure que \(T^kD^{^{\prime }I}=G_\gamma ^k D^I=T^k D^I\) pour tout \(k\ge 0\), puis que \(D^{^{\prime }I}\) est complet pour la topologie \(T\)-adique et sans \(T\)-torsion. Considérons l’application identité
$$\begin{aligned} D^I/TD^I \rightarrow D^{^{\prime }I}/TD^{^{\prime }I}. \end{aligned}$$
Le (i), (ii) et (iii) ci-dessus assurent que cette application est un morphisme de \(\mathcal O _{\mathcal A }^I\)-modules. En particulier, \(D^{^{\prime }I}/(T)\) est libre comme \(\mathcal O _{\mathcal A }^I/(T)\)-module. Comme \(D^{^{\prime }I}\) et \(\mathcal O _{\mathcal A }^I\) sont complets pour la topologie \(T\)-adique et sans \(T\)-torsion, un raisonnement standard montre que \(D^{^{\prime }I}\) est libre sur \(\mathcal O _{\mathcal A }^I\), et qu’une famille \((e_i)\) est une base de \(D^I\) si et seulement si c’est une base de \(D^{^{\prime }I}\).

Quand \(n=0\), on traite le cas de \(I=[0,p^{-1/2}]\) par un raisonnement analogue en ne considérant cette fois-ci que la topologie \(p\)-adique (et non pas \(T\)-adique). C’est en fait seulement plus simple car il n’y a pas de condition de type (iii) à vérifier. Précisément, on pose dans ce cas \(\psi (x)=\frac{1}{p}(1+T)(\gamma -1)(x)\), de sorte que \(\psi (D^I) \subset p D^I\) par le lemme précédent appliqué à \(s=2\), et on conclut comme plus haut grâce aux relations \(G_\gamma = \mu _T + p \psi \) et \(\frac{{G_\gamma }^2}{p}=\mu _{T^2/p}+ \mu _T \psi + \psi \mu _T + p \psi ^2\).

Pour terminer, il ne reste qu’à “recoller” les \(D^I[1/p]\). Pour cela, fixons \(n\ge N\) et considérons l’ensemble \(\mathcal I \) des intervalles de \([p^{-1/n},1[\) de la forme \([p^{-1/m},p^{-1/m^{\prime }}]\) avec \(m\le m^{\prime }\), ou de la forme \([0,p^{-1/2}]\) (ce qui ne se produit que si \(n=0\)). Si \(J \subset I\) sont dans \(\mathcal I \) on a bien sûr un morphisme de restriction
$$\begin{aligned} r_{I,J}: D^I[1/p] \rightarrow D^J[1/p]. \end{aligned}$$
Si \(I,J \in \mathcal I \), alors \(I\cap J=\emptyset \) ou \(I\cap J \in \mathcal I \). Comme les \(B_I\) avec \(I\in \mathcal I \) recouvrent admissiblement \(B_{[p^{-1/n},1[}\), il vient que \(D^{(n)}\) (resp. \(\mathcal R _{A,p^{-1/n}}\)) s’identifie à la limite projective sur \(\mathcal I \) des \({\mathcal E }_A^I\)-modules \(D^I[1/p]\) (resp. des \({\mathcal E }_A^I\)). Il est de plus immédiat sur la construction ci-dessus que si \(f \in {\mathcal E }_A^I\) et \(v \in D^{I}[1/p]\), alors \(r_{I,J}(f *v)=r_{I,J}(f) *r_{I,J}(v)\)\(*\) désigne ici la structure de module de \(D^{^{\prime }I}[1/p]\) et \(D^{^{\prime }J}[1/p]\) sur \({\mathcal E }_A^I\) et \({\mathcal E }_A^J\). Cela nous permet d’une part de munir \(D^{(n)}\) d’une structure de \(\mathcal R _{A,p^{-1/n}}\)-module, disons \(D^{^{\prime }(n)}\), en posant \((f_I)*(v_I):=(f_I*v_I)\). D’autre part, si \((e_i)\) est une base de \(D\) sur \({\mathcal E }_{{\mathcal A }}^{\dag ,N}\) nous avons vu que \(e_i \otimes 1\) est une base de \(D^{^{\prime }I}[1/p]\) sur \({\mathcal E }_A^I\), on en déduit que \(D^{^{\prime }(n)}\) est libre sur \(\mathcal R _{A,p^{-1/n}}\) de base \(e_i \otimes 1\).

Le choix d’une base de \(D\) munit \(D^{(n)} = \oplus _i \mathcal R _{A,p^{-1/n}} e_i\) d’une structure d’espace de Fréchet qui ne dépend pas du choix de la base \((e_i)\). La continuité de \(\mathcal R _{A,p^{-1/n}} \times D^{^{\prime }(n)} \rightarrow D^{^{\prime }(n)}\) se déduit alors de celle des \({\mathcal E }_A^I \times D^{^{\prime }I}[1/p] \rightarrow D^{^{\prime }I}[1/p]\). L’assertion d’unicité vient plus précisément de ce qu’il existe au plus une structure de \(\mathcal R _{A,p^{-1/n}}\)-module telle que pour tout \(v \in D^{(n)}\), l’application \(f \mapsto f*v\) soit continue, car \(A[T,T^{-1}]\) (resp. \(A[T]\)) est dense dans \(\mathcal R _{A,p^{-1/n}}\) si \(n\ge 1\) (resp. si \(n=N=0\)).\(\square \)

 

1.3 Familles de \((\varphi ,\Gamma )\)-modules sur l’anneau de Robba

Soit \(A\) une \(\mathbb Q _p\)-algèbre affinoïde. Les anneaux \(\mathcal R ^+_A\) et \(\mathcal R _A\) sont munis d’un endomorphisme d’anneaux \(\varphi \) défini par
$$\begin{aligned} \varphi (f)(T)=f((1+T)^p-1) \end{aligned}$$
et qui commute à l’action de \(\Gamma \). Plus précisément, supposons \(r=0\) ou \(r>p^{-\frac{1}{(p-1)}}\), on dispose d’un morphisme analytique \(\varphi _*: B_{[r,1[} \rightarrow B_{[r^p,1[}\) défini par \(T \mapsto (1+T)^p-1\) et \(\varphi \) est par définition le morphisme \(\mathcal R _{A,r^p} \rightarrow \mathcal R _{A,r}\) qui s’en déduit. Il est évident sur la formule pour \(\varphi _*\) que \(\varphi \) commute à l’action de \(\Gamma \).

Un \((\varphi ,\Gamma )\)-module sur \(\mathcal R _A\) est un \(\mathcal R _A\)-module \(D\) libre et de rang fini muni d’actions semi-linéaires de \(\varphi \) et \(\Gamma \) qui commutent et satisfaisant les axiomes suivants. D’une part on demande que \(\varphi \) envoie une \(\mathcal R _A\)-base de \(D\) sur une \(\mathcal R _A\)-base de \(D\), i.e. \(\mathcal R \varphi (D)= D\). D’autre part, on demande que l’action de \(\Gamma \) soit continue au sens suivant : il existe une \(\mathcal R _A\)-base \(e_1,\ldots ,e_d\) de \(D\) et \(r \in [0,1[\) tels que si \(\gamma \mapsto \text{ Mat}(\gamma )\) désigne la matrice de \(\gamma \in \Gamma \) dans cette base, alors \(M(\gamma ) \in M_d(\mathcal R _{A,r})\) pour tout \(\gamma \in \Gamma \) et l’application \(\Gamma \rightarrow M_d(\mathcal R _{A,r}),\gamma \mapsto M(\gamma )\), est continue (coefficient par coefficient). On dira que \(D\) est \(\Gamma \)-borné si l’on peut trouver un modèle \(\mathcal A \subset A\), un entier \(n\ge 0\), et une \(\mathcal R _A\)-base \(e_i\) de \(D\) dans laquelle \(\text{ Mat}(\gamma ) \in M_d({\mathcal E }_{{\mathcal A }}^n)\) pour tout \(\gamma \in \Gamma \). Il résulte du lemme 1.3 (iii) que le \(\Gamma \)-module \(\oplus _i {\mathcal E }_{{\mathcal A }}^n e_i\) qui s’en déduit est bien un \(\Gamma \)-module sur \({\mathcal E }_{{\mathcal A }}^n\) au sens du § 1.5.

Les \((\varphi ,\Gamma )\)-modules sur \(\mathcal R _A\) forment un catégorie \(A\)-linéaire \((\varphi ,\Gamma )/A\) s’il on considère pour \(\mathrm Hom _{(\varphi ,\Gamma )/A}(D_1,D_2)\) les applications \(\mathcal R _A\)-linéaires qui commutent à \(\Gamma \) et à \(\varphi \).

L’intérêt des \((\varphi ,\Gamma )\)-modules sur \(\mathcal R _A\) réside dans leurs liens avec les représentations continues \(\mathrm Gal (\overline{\mathbb Q }_p/\mathbb Q _p) \rightarrow \mathrm GL _d(A)\) (Fontaine, Cherbonnier–Colmez, Kedlaya, Berger–Colmez, Kedlaya–Liu) pour lequel nous renvoyons à Berger–Colmez [8] et Kedlaya–Liu [26]. La condition \(\Gamma \)-bornée introduite ci-dessus n’est pas standard, et apparaît ici pour des raisons techniques. Bien que nous n’utiliserons pas ce résultat, mentionnons que la méthode de Berger–Colmez [8], généralisant un résultat de Colmez-Cherbonnier, assure que si \(M\) est un \({\mathcal A }\)-module libre muni d’une action \({\mathcal A }\)-linéaire continue de7\(\mathrm Gal (\overline{\mathbb Q }_p/\mathbb Q _p)\), alors on peut lui associer un \((\varphi ,\Gamma )\)-module sur \(\mathcal R _A\) qui est \(\Gamma \)-borné.

Enfin, définissons un \((\varphi ,\Gamma )\)-module sur \(\mathcal R _A^+\) comme étant un \(\mathcal R ^+_A\)-module \(D\) libre de rang fini muni d’actions semi-linéaires de \(\varphi \) et \(\Gamma \) qui commutent, telles que \(\varphi (D)\) contienne une \(\mathcal R ^+_A\)-base de \(D\), et telles qu’il existe une \(\mathcal R ^+_A\)-base \(e_1,\ldots ,e_d\) de \(D\) dans laquelle \(\gamma \mapsto \text{ Mat}(\gamma )\) (la matrice de \(\gamma \in \Gamma \) dans cette base) soit continue. On dira encore que \(D\) est \(\Gamma \)-borné si l’on peut trouver un modèle \(\mathcal A \subset A\) et une \(\mathcal R ^+_A\)-base \(e_i\) de \(D\) dans laquelle \(\text{ Mat}(\gamma ) \in M_d({\mathcal A }[[T]])\) pour tout \(\gamma \in \Gamma \). Il résulte du lemme 1.3 (ii) que le \(\Gamma \)-module \(\oplus _i {\mathcal A }[[T]] e_i\) qui s’en déduit est bien un \(\Gamma \)-module sur \({\mathcal A }[[T]]\) au sens du § 1.5.

Les \((\varphi ,\Gamma )\)-modules sur \(\mathcal R _A\) qui nous intéressent principalement dans cet article sont les \((\varphi ,\Gamma )\)-modules triangulins, variante en famille d’une notion introduite par Colmez dans [18]. Soit \({\mathcal T }\) l’espace analytique \(p\)-adique paramétrant les caractères continus de \(\mathbb Q _p^*\) : pour toute algèbre affinoïde \(A,{\mathcal T }(A)\) est l’ensemble des morphismes continus \(\mathbb Q _p^*\rightarrow A^*\). Il est bien connu que cet espace est isomorphe au produit de \(\mathbb G _m\) par l’espace \(\mathcal W \) des caractères continus \(p\)-adiques de \(\mathbb Z _p^*\), lui-même étant une réunion disjointe finie de boules unités ouvertes. Si \(\delta \in {\mathcal T }(A)\), i.e. si \(\delta : \mathbb Q _p^*\rightarrow A^*\) est un morphisme continu de groupes, on définit un \((\varphi ,\Gamma )\)-module \(\mathcal R _A(\delta )\) de rang \(1\) sur \(\mathcal R _A\), disons \(\mathcal R _A(\delta )=\mathcal R _A e\), par la formule \(\gamma (e)=\delta (\gamma )e\) pour tout \(\gamma \in \Gamma \) et \(\varphi (e)=\delta (p)e\). On définit de même \(\mathcal R _A^+(\delta )\) de manière évidente.

Définition 1.9

Un \((\varphi ,\Gamma )\)-module triangulin sur \(\mathcal R _A\) est la donnée d’un \((\varphi ,\Gamma )\)-module \(D\) sur \(\mathcal R _A\) et d’une suite croissante \((\text{ Fil}_i(D))_{i=0,\ldots ,d},d=\text{ rg}_{\mathcal R _A}(D)\), de sous \(\mathcal R _A\)-modules de \(D\) stables par \(\varphi \) et \(\Gamma \) telle que \(\text{ Fil}_0(D)=0,\text{ Fil}_d(D)=D\), et telle que pour chaque \(i=1,\ldots ,d\), \(\text{ Fil}_i(D)/\text{ Fil}_{i-1}(D) \simeq \mathcal R _A(\delta _i)\) pour un certain \(\delta _i \in {\mathcal T }(A)\).

Nous verrons plus bas (Lemme 1.10) que la suite des \(\delta _i\) est uniquement déterminée par \((\text{ Fil}_i(D))\), nous l’appelons le paramètre de \(D\). Notons aussi que \(\text{ Fil}_i(D)\) est libre de rang \(i\) sur \(\mathcal R _A\), et facteur direct dans \(D\) comme \(\mathcal R _A\)-module.

Terminons ce paragraphe par un sorite sur l’extension des scalaires. Soit \(B\) une \(A\)-algèbre affinoïde. On dispose pour chaque \(0<r<1\) d’un morphisme continu d’anneaux \(\mathcal R _{A,r} \rightarrow \mathcal R _{B,r}\) induisant à la limite un morphisme \(\mathcal R _A \rightarrow \mathcal R _B\). Si \(D\) est un \((\varphi ,\Gamma )\)-module sur \(\mathcal R _A\) on note
$$\begin{aligned} D \widehat{\otimes }_A B \end{aligned}$$
le \(\mathcal R _B\)-module \(D \otimes _{\mathcal R _A} \mathcal R _B\) : c’est un \((\varphi ,\Gamma )\)-module sur \(\mathcal R _B\) de manière naturelle. On pourrait justifier cette notation en le voyant comme un produit tensoriel complété mais cela ne sera pas nécessaire. On a défini ainsi un foncteur \( -\,\widehat{\otimes }_A B : (\varphi ,\Gamma )/A \rightarrow (\varphi ,\Gamma )/B\). Si \(I\) est un idéal de \(A\), le lemme 1.3 (iv) entraîne que \(\mathcal R _A/I\mathcal R _A=\mathcal R _{A/I}\) et donc que \(D \widehat{\otimes }_A A/I = D/ID\) pour tout \((\varphi ,\Gamma )\)-module \(D\) sur \(\mathcal R _A\). Si \(I=m_x\) est l’idéal maximal correspondant à \(x \in \text{ Sp}(A)\), on posera aussi
$$\begin{aligned} D_x:=D/m_xD, \end{aligned}$$
c’est un \((\varphi ,\Gamma )\)-module sur \(k(x):=A/m_x\) (une extension finie de \(\mathbb Q _p\)).

Par exemple, si \(\delta \in {\mathcal T }(A)\) alors \(\mathcal R _A(\delta ) \widehat{\otimes }_A B = \mathcal R _B(\delta ^{\prime })\)\(\delta ^{\prime } \in {\mathcal T }(B)\) est le caractère \(\delta \) composé par \(A^*\rightarrow B^*\). Notons que si \(0 \rightarrow D \rightarrow D^{\prime } \rightarrow D^{\prime \prime } \rightarrow 0\) est une suite exacte de \((\varphi ,\Gamma )\)-modules sur \(\mathcal R _A\), elle est scindée comme suite de \(\mathcal R _A\)-modules, et induit donc une suite exacte de \((\varphi ,\Gamma )\)-modules sur \(\mathcal R _B\) après extension des scalaires. En particulier, si \((D,\text{ Fil}_\bullet (D))\) est \((\varphi ,\Gamma )\)-module triangulin sur \(\mathcal R _A\), alors \(D\widehat{\otimes }_A B\) est triangulin sur \(\mathcal R _B\) pour la filtration \(\text{ Fil}_i(D) \widehat{\otimes } B\).

Lemme 1.10

Si \(\delta ,\delta ^{\prime } \in {\mathcal T }(A)\), alors \(\mathcal R _A(\delta ) \simeq \mathcal R _A(\delta ^{\prime })\) si et seulement si \(\delta =\delta ^{\prime }\).

 

Preuve

En effet, si \(A\) est artinien c’est [2, Prop. 2.3.1]. En général, on remarque que si \(I\) est un idéal de \(A\) alors \(\mathcal R _{A}(\delta ) \otimes _A A/I = \mathcal R _{A/I}(\delta \mathrm{mod} I)\). On conclut car si \(A\) est une \(\mathbb Q _p\)-algèbre affinoïde alors l’intersection de ses idéaux de codimension finie est nulle par le théorème d’intersection de Krull, et donc \(A\) se plonge dans le produit des \(A/I\) avec \(I\) de codimension finie.\(\square \)

Terminons par une question, dont une réponse (affirmative) ne semble connue que lorsque \(A\) est artinien :

Question: Est-ce que tout \((\varphi ,\Gamma )\)-module de rang \(1\) sur \(\mathcal R _A\) est isomorphe à un \(\mathcal R _A(\delta )\) ?

2 Cohomologie des \((\varphi ,\Gamma )\)-modules triangulins sur \(\mathcal R _A\)

L’objectif de cette partie est de calculer la cohomologie des \((\varphi ,\Gamma )\)-modules triangulins sur \(\mathcal R _A\).

2.1 Généralités sur la cohomologie des \((\varphi ,\Gamma )\)-modules

Si \(D\) est un \((\varphi ,\Gamma )\)-module sur \(\mathcal R _A\), et si \(\gamma \in \Gamma \) est un générateur topologique8 on rappelle que suivant Fontaine et Herr [23] on dispose du complexe \(C_{\varphi ,\gamma }(D)^\bullet \) :
$$\begin{aligned} 0 \rightarrow D \overset{x\mapsto (\varphi -1)x+(\gamma -1)x}{\longrightarrow } D \times D \overset{(x,y)\mapsto (\gamma -1)x-(\varphi -1)y}{\longrightarrow } D \rightarrow 0, \end{aligned}$$
le premier \(D\) étant placé en degré \(0\). On désigne par \(H^i(D)\) la cohomologie de ce complexe, ce sont donc des \(A\)-modules nuls en degré \(i \notin \{0,1,2\}\). Par définition, \(H^0(D)=\mathrm Hom _{(\varphi ,\Gamma )/A}(\mathcal R _A,D)\). De plus,

Lemme 2.2

\(H^1(D)\) est canoniquement isomorpheà \(\text{ Ext}_{(\varphi ,\Gamma )/A}(\mathcal R _A,D)\).

 

Preuve

Donner une action de \(\varphi \) et \(\gamma \) sur \(D\oplus \mathcal R _A\) étendant la structure de \((\varphi ,\Gamma )\)-module de \(D\) est équivalent à donner \(x:=(\varphi -1)(e) \in D\) et \(y:=(\gamma -1)(e) \in D,\varphi \) et \(\gamma \) commutant si et seulement si \((x,y)\) est dans \(Z^1(C_{\varphi ,\gamma }(D))\). L’action de \(\gamma \) s’étend automatiquement en une action continue de \(\Gamma \). En effet, il découle du Lemme 1.4 (i) que si \(f \in \mathcal R _{A,r}\) alors la suite \((1+\gamma +\cdots +\gamma ^{p^n-1})f\) tend vers \(0\). Cela vaut donc aussi si \(f \in M_d(\mathcal R _{A,r})\), et donc tout \(1\)-cocycle \(\gamma ^\mathbb Z \rightarrow M_d(\mathcal R _{A,r})\) s’étend en un cocycle continu \(\Gamma \rightarrow M_d(\mathcal R _{A,r})\). On vérifie immédiatement que deux \(1\)-cocycles donnent des extensions isomorphes si et seulement si ils diffèrent d’un cobord.\(\square \)

Il se trouve que toujours suivant Fontaine et Herr, un autre complexe est relié à la cohomologie de \(D\). Supposons \(r=0\) ou \(r>p^{-\frac{1}{p(p-1)}}\). L’application \((\mathcal R _{A,r^p})^p \rightarrow \mathcal R _{A,r}\) définie par
$$\begin{aligned} (f_0,\ldots ,f_{p-1}) \mapsto \sum _{i=0}^{p-1} (1+T)^i\varphi (f_i) \end{aligned}$$
est alors un isomorphisme topologique. En effet, c’est un résultat standard quand \(A=\mathbb Q _p\) et le lemme 1.3 (i) nous y ramène en général. En particulier, \(\varphi \) est fini et plat de degré \(p\), continu et injectif. On définit alors \(\psi : \mathcal R _{A,r} \rightarrow \mathcal R _{A,r^p}\) par la formule \(\varphi \psi = \frac{1}{p} {\mathrm{trace}}_{\mathcal R _{A,r}/\varphi (\mathcal R _{A,r^p})}(\varphi )\). Sur \(A\otimes _{\mathbb Q _p}\mathbb Q _p(\mu _p)\) on a donc la formule \(\varphi \psi (f)= \frac{1}{p}\sum _{\zeta ^p=1}f(\zeta (1+T)-1)\). Le calcul de la trace des \((1+T)^i\) assure que si \(f=\sum _{i=0}^{p-1} (1+T)^i\varphi (f_i)\) alors \(\psi (f)=f_0\). En particulier, \(\psi : \mathcal R _{A,r} \rightarrow \mathcal R _{A,r^p}\) est continu.
Soit \(D\) un \((\varphi ,\Gamma )\)-module sur \(\mathcal R _A\) ou \(\mathcal R _A^+\). Comme \(D\) a par définition une \(\mathcal R _A\) ou \(\mathcal R _A^+\)-base dans \(\varphi (D)\), on a encore une décomposition
$$\begin{aligned} D=\oplus _{i=0}^{p-1} (1+T)^i \varphi (D). \end{aligned}$$
On peut donc définir un opérateur \(\psi : D \rightarrow D\) par la formule
$$\begin{aligned} \psi \left(\sum _{i=0}^{p-1} (1+T)^i \varphi (x_i)\right)=x_0. \end{aligned}$$
Il est \(A\)-linéaire surjectif, commute à l’action de \(\Gamma \), et satisfait \(\psi \varphi = \text{ id}\). Enfin, si \(u \in \mathrm Hom _{(\varphi ,\Gamma )/A}(D_1,D_2)\), alors \(u \cdot \psi = \psi \cdot u\). Le complexe \(C_{\psi ,\gamma }(D)^\bullet \) est alors définit de la même manière que \(C_{\varphi ,\gamma }(D)^\bullet \) à ceci près que \(\varphi \) est remplacé par \(\psi \). Un calcul immédiat montre que l’on dispose d’un morphisme
$$\begin{aligned} \eta : C_{\varphi ,\gamma }(D)^\bullet \rightarrow C_{\psi ,\gamma }(D)^\bullet \end{aligned}$$
qui vaut l’identité en degré \(0,(x,y)\mapsto (-\psi (x),y)\) en degré \(1\), et \(-\psi \) en degré \(2\). Le morphisme \(\eta \) est surjectif car \(\psi \) l’est, son noyau étant le complexe
$$\begin{aligned} 0 \longrightarrow 0 \longrightarrow D^{\psi =0} \overset{\gamma -1}{\longrightarrow } D^{\psi =0} \longrightarrow 0. \end{aligned}$$
En particulier, \(C_{\psi ,\gamma }(D)^\bullet \) et \(C_{\varphi ,\gamma }(D)^\bullet \) sont quasi-isomorphes si \(\gamma -1\) est bijectif sur \(D^{\psi =0}\). La proposition suivante est immédiate.

Proposition 2.3

Soit \(D\) un \((\varphi ,\Gamma )\)-module sur \(\mathcal R _A\). Si \(\gamma -1\) est bijectif sur \(D^{\psi =0}\) alors on a des identifications naturelles \(H^0(D)=D^{\psi =1,\gamma =1}\), \(H^2(D)=D/(\psi -1,\gamma -1)\), ainsi qu’une suite exacte naturelle
$$\begin{aligned} 0 \rightarrow D^{\psi =1}/(\gamma -1) \overset{y \mapsto (0,y)}{\longrightarrow } H^1(D) \overset{(x,y)\mapsto \overline{x}}{\longrightarrow } (D/(\psi -1))^{\gamma =1} \rightarrow 0. \end{aligned}$$
Enfin, si l’on pose \(C(D)=(\varphi -1)D^{\psi =1} \subset D^{\psi =0}\), on a une suite exacte naturelle
$$\begin{aligned} 0 \rightarrow D^{\varphi =1}/(\gamma -1)\rightarrow D^{\psi =1}/(\gamma -1) \rightarrow C(D)/(\gamma -1) \rightarrow 0. \end{aligned}$$

En théorie des \((\varphi ,\Gamma )\)-modules de Fontaine classique, un résultat de Herr [23, Thm. 3.8] assure que \(\gamma -1\) est toujours bijectif sur \(D^{\psi =0}\). Dans le cadre ci-dessus, un résultat de Colmez assure aussi que c’est toujours le cas si \(A\) est un corps [19, Prop. 5.1.19]. Nous allons démontrer que c’est aussi le cas en général sous une hypothèse assez faible sur \(D\).

Théorème 2.4

Soit \(D\) un \((\varphi ,\Gamma )\)-module sur \(\mathcal R _A\) qui est \(\Gamma \)-borné. Alors \(\gamma -1\) est bijectif sur \(D^{\psi =0}\).

Plus généralement, supposons que \(D\) est un \((\varphi ,\Gamma )\)-module sur \(\mathcal R _A\) possédant une suite croissante \(D_1 \subset D_2 \subset \cdots \subset D_s\) de sous-\(\mathcal R _A\)-modules qui sont facteurs directs comme \(\mathcal R _A\)-modules, et de plus stables par \(\varphi \) et \(\Gamma \). Supposons enfin que les \(D_{i+1}/D_i\) sont \(\Gamma \)-bornés. Alors \(\gamma -1\) est bijectif sur \(D^{\psi =0}\).

 

Preuve

En effet, si \(0 \rightarrow D_1 \rightarrow D_2 \rightarrow D_3 \rightarrow 0\) alors la surjectivité de \(\psi \) (sur \(D_1\)) entraîne que la suite associée
$$\begin{aligned} 0 \rightarrow D_1^{\psi =0} \rightarrow D_2^{\psi =0} \rightarrow D_3^{\psi =0} \rightarrow 0 \end{aligned}$$
est exacte. Comme elle est \(\gamma \)-équivariante, il vient que si \(\gamma -1\) est bijectif sur \(D_i^{\psi =0}\) pour \(i=1,3\) alors il l’est aussi pour \(i=2\), de sorte que le second cas suit du premier, que nous considérons maintenant.
Soient \(e_1,\ldots ,e_d\) une \(\mathcal R _A\)-base de \(D,{\mathcal A }\subset A\) un modèle, et \(N\ge 0\), tels que \(\mathcal D :=\oplus _i {\mathcal E }_{\mathcal A }^{\dag ,N} e_i\) soit stable par \(\Gamma \). Choisissons un entier \(M\) comme dans la proposition 1.7. Comme \(\gamma -1\) divise \(\gamma ^{(p-1)p^{M-1}}-1\) dans \(\mathbb Z [\gamma ]\), il suffit de montrer que \(\gamma -1\) est bijectif sur \(D^{\psi =0}\) si \(\gamma \in 1+p^M\mathbb Z _p^*\). Posons \(\gamma _0=1+p^M \in \Gamma \). La relation \(\gamma _0(1+T)=(1+T)\varphi ^M(1+T)\) entraîne pour tout \(x\) dans \(D\)
$$\begin{aligned} (\gamma _0-1)((1+T)\varphi ^M(x))&= (1+T)\varphi ^M((1+T)\gamma _0(x)-x)\\&= (1+T)\varphi ^M(G_{\gamma _0}(x)). \end{aligned}$$
Mais \(D\) est la réunion des \(\mathcal D \otimes _{{\mathcal E }_{\mathcal A }^{\dag ,n}} \mathcal R _{A,p^{-1/n}}\) pour \(n\ge N\). La proposition 1.7 assure que le \(A[G_{\gamma _0}]\)-module \(\mathcal D \otimes _{{\mathcal E }_{\mathcal A }^{\dag ,n}} \mathcal R _{A,p^{-1/n}}\) s’étend en un \(\mathcal R _{A,p^{-1/n}}\)-module via \(G_{\gamma _0} \mapsto T\). Comme \(T\) est inversible dans \(\mathcal R _{A,p^{-1/n}}\) si \(n>0\) il vient que \(G_{\gamma _0}\) est inversible sur \(\mathcal D \otimes _{{\mathcal E }_{\mathcal A }^{\dag ,n}} \mathcal R _{A,p^{-1/n}}\). Pour conclure, il reste à remarquer deux choses. Premièrement, si \(u \in \mathbb Z _p^*\) alors \(\gamma _0^u-1\) agit sur \(\mathcal D \otimes _{{\mathcal E }_{\mathcal A }^{\dag ,n}} \mathcal R _{A,p^{-1/n}}\) via l’élément \(u(G_{\gamma _0}) \in \mathcal R _{A,p^{-1/n}}^*\), qui est aussi inversible. Cela montre que si \(\gamma ^{\prime } \in 1+p^M\mathbb Z _p^*\) alors \(\gamma ^{\prime }-1\) est bijectif sur \((1+T)\varphi ^M(D)\). Deuxièmement, cela vaut encore si l’on remplace \((1+T)\) par \((1+T)^a\) pour \(a \in \mathbb Z _p^*\). En effet, pour tout \(a \in \mathbb Z _p^*\) et \(\gamma ^{\prime } \in 1+p^M\mathbb Z _p^*\) l’action de \(a\) sur \(D\) induit un isomorphisme \(\gamma ^{\prime }\)-équivariant
$$\begin{aligned} (1+T)\varphi ^M(D) \overset{\sim }{\rightarrow }(1+T)^a\varphi ^M(D). \end{aligned}$$
On conclut car \(D^{\psi =0}=\bigoplus _{1\le i \le (p-1)p^{M-1}, (p,i)=1} (1+T)^i\varphi ^M(D)\).\(\square \)

 

Corollaire 2.5

Si \(D\) est triangulin sur \(\mathcal R _A\) alors \(\gamma -1\) est bijectif sur \(D^{\psi =0}\).

 

Preuve

Il suffit de vérifier que \(\mathcal R _A(\delta )\) est \(\Gamma \)-borné si \(\delta \in {\mathcal T }(A)\). Soit \(e\) une base de \(\mathcal R _A(\delta )\) telle que \(\gamma (e)=\delta (\gamma )e\) pour tout \(\gamma \in \Gamma \). Comme \(\Gamma \) est compact et \(\delta \) est continu, les éléments \(\delta (\gamma )\) et \(\delta (\gamma )^{-1}\) de \(A\) sont à puissances positives bornées pour tout \(\gamma \in \Gamma \). Comme \(\Gamma \) est topologiquement de type fini, on peut donc trouver un modèle \({\mathcal A }\subset A\) tel que \(\delta (\Gamma ) \subset {\mathcal A }^*\). À fortiori, \(\Gamma .e \subset {\mathcal A }[[T]]e\), ce qui conclut.\(\square \)

 

2.2 Cohomologie de \(\mathcal R _A(\delta )\) partie I : calcul de \(H^0\) et \(H^2\)

Nous allons maintenant calculer les \(H^i(\mathcal R _A(\delta ))\). Rappelons que lorsque \(A\) est un corps, ce calcul est dû à Colmez pour \(i=0,1\) [18], et Liu pour \(i=2\) [30]. Dans le cas général, nous allons procéder de manière légèrement différente à celle de Colmez en utilisant un dévissage de l’anneau de Robba (aussi dû à Colmez) que nous rappelons maintenant. Si \(f=\sum _{n\in \mathbb Z } a_n T^n \in \mathcal R _A\), on note \(\mathrm{Res }(f) \in A\) le résidu en \(0\) de la forme différentielle \( f(T) \frac{dT}{1+T}\), c’est à dire l’élément \(a_{-1}\) dans l’écriture \(\frac{f(T)}{1+T}=\sum _{n \in \mathbb Z }a_n T^n\).

Définition 2.7

Si \(f \in \mathcal R _{A}\), la transformée de Colmez de \(f\) est la fonction \(C(f) : \mathbb Z _p \rightarrow A\) définie par la formule
$$\begin{aligned} C(f)(x)=\text{ Res}((1+T)^x f) \quad \forall x \in \mathbb Z _p. \end{aligned}$$
Si \(h\ge 0\) est un entier, notons \(\mathrm{LA }_h(\mathbb Z _p,A)\) le \(A\)-module des fonctions \(A\)-valuées et \(h\)-analytiques sur \(\mathbb Z _p\), i.e. telles que pour tout \(x \in \mathbb Z _p\), la fonction \(f_{x,h}(t):=f(x+p^ht)\) est dans \(A\langle t \rangle \). C’est un espace de Banach pour la norme \(|f|_h=\text{ sup}_{x \in \mathbb Z _p}|f_{x,h}|\)\(A\langle t\rangle \) est muni de la norme du sup. des coefficients. On a de plus \(|af|_h\le |a| |f|_h\) si \(a \in A\) et \(f \in \mathrm{LA }_h(\mathbb Z _p,A)\). On munit \(\mathrm{LA }_h(\mathbb Z _p)\) d’actions de \(\psi \) et \(\Gamma \) par les formules (\(f \in \mathrm{LA }_h(\mathbb Z _p,A)\))
$$\begin{aligned} \forall \gamma \in \Gamma \quad \gamma (f)(x)=\gamma f(\gamma ^{-1}x), \quad \psi (f)(x)=f(px). \end{aligned}$$
On prendra garde que l’action de \(\Gamma \) définie ci-dessus n’est pas l’action naïve. De plus, \(\mathrm{LA }(\mathbb Z _p,A)=\cup _{h\ge 0} \mathrm{LA }_h(\mathbb Z _p,A)\) est muni d’une action de \(\varphi \) si l’on pose \(\varphi (f)(x)=0\) si \(x \in \mathbb Z _p^*,\varphi (f)(x)=f(x/p)\) si \(x \in p\mathbb Z _p\).

Proposition 2.8

\(C\) induit une suite exacte commutant aux actions de \(\varphi ,\psi \) et \(\Gamma \) :
$$\begin{aligned} 0 \longrightarrow \mathcal R _A^+ \longrightarrow \mathcal R _A \overset{C}{\longrightarrow } \mathrm{LA }(\mathbb Z _p,A) \longrightarrow 0. \end{aligned}$$

 

Preuve

Quand \(A\) est un corps, c’est le théorème I.1.3 de [19], l’argument est similaire en général. En effet, si \(x \in \mathbb Z _p\) on a par définition \((1+T)^x=\sum _{n\ge 0} {{x}\atopwithdelims (){n}} T^n \in \mathbb Z _p[[T]]\). L’application \(f \mapsto \text{ Res}(f)\) étant clairement continue sur chaque \({\mathcal E }^I_A\), on a la formule
$$\begin{aligned} C(f)(x+1)=\sum _{n\ge 0} a_{-1-n} {{x}\atopwithdelims (){n}} \in A \end{aligned}$$
\(f=\sum _{n \in \mathbb Z } a_n T^n\). Appliquant ceci à \(x=0,1,2,\ldots \), il vient que \(\text{ Ker}\,\,C(f)=\mathcal R _A^+\). De plus, on obtient que \(\text{ Im}\,\,C(f)\) est exactement l’ensemble des fonctions continues \(\mathbb Z _p \rightarrow A\) de la forme \(\sum _{n\ge 0} c_n {{x}\atopwithdelims (){n}}\) telles qu’il existe \(r > 1\) tel que \(|c_n| r^n \rightarrow 0\) quand \(n\rightarrow \infty \). D’autre part, un théorème d’Amice assure que \(\mathrm{LA }_h(\mathbb Z _p,\mathbb Q _p)\) pour \(h\ge 0\) est un espace de Banach sur \(\mathbb Q _p\) ayant pour base orthonormée \([\frac{n}{p^h}]!{{x}\atopwithdelims (){n}}\). Via l’isométrie naturelle \(A\langle t \rangle = \mathbb Q _p \langle t \rangle \widehat{\otimes }_{\mathbb Q _p} A\), on dispose d’un isomorphisme naturel \(\mathrm{LA }_h(\mathbb Z _p,\mathbb Q _p)\widehat{\otimes }_{\mathbb Q _p} A \overset{\sim }{\rightarrow }\mathrm{LA }_h(\mathbb Z _p,A)\), de sorte que \([\frac{n}{p^h}]!{{x}\atopwithdelims (){n}}\) est aussi une base orthonormée du \(A\)-module de Banach \(\mathrm{LA }_h(\mathbb Z _p,A)\). Pour conclure la surjectivité de \(C\), il suffit donc de voir que pour une suite \((c_n) \in A^\mathbb N \), il y a équivalence entre satisfaire \(|c_n|r^n \rightarrow 0\) pour un certain \(r>1\) et satisfaire \(\frac{|c_n|}{|[\frac{n}{p^h}]!|} \rightarrow 0\) pour un entier \(h\) assez grand. Mais \(v_p([\frac{n}{p^h}]!)=\frac{n}{p^h(p-1)}+O(\text{ log}(n))\) et \(v_p([\frac{n}{p^h}]!)\ge \frac{n}{p^h(p-1)}\), donc si l’on pose \(r_h=p^{-\frac{1}{p^h(p-1)}}\), alors pour \(h\ge 0\) fixé et tout \(n\) assez grand on a \(r_h^n \le |[\frac{n}{p^h}]!| \le r_{h+1}^n\). Il ne reste qu’à voir que \(C\) est équivariant pour \(\varphi ,\psi \) et \(\Gamma \). Remarquons pour cela que les estimées ci-dessus montrent que pour tout entier \(h\ge 0\) on a \(C(\mathcal R _{A,r_h}) \subset \mathrm{LA }_h(\mathbb Z _p,A)\) et
$$\begin{aligned} C_{|\mathcal R _{A,r_h}} : \mathcal R _{A,r_h} \rightarrow \mathrm{LA }_h(\mathbb Z _p,A) \end{aligned}$$
est continue. La commutation à \(\varphi ,\psi \) et \(\Gamma \) se vérifie alors sur la partie dense \(A.\mathcal R _{\mathbb Q _p,r_h}\), soit encore dans le cas \(A=\mathbb Q _p\), où elle est démontrée dans [19, Prop. I.2.2].\(\square \)
Notons \(x \in \mathrm{LA }_0(\mathbb Z _p,\mathbb Z _p)\) la fonction identité. Si \(N\ge 0\), notons \(\text{ Pol}_{\le N}(\mathbb Z _p,A) \subset \mathrm{LA }_0(\mathbb Z _p,A)\) le sous-\(A\)-module (libre de rang \(N+1\)) des fonctions polynomiales de degré \(\le N\), et \(\text{ Pol}(\mathbb Z _p,A)=A[x]=\cup _N \text{ Pol}_{\le N}(\mathbb Z _p,A)\). On a pour tout entier \(h\ge 0\) (et pour \(h=\emptyset \))
$$\begin{aligned} \text{ Pol}_{\le N}(\mathbb Z _p,A)\oplus x^{N+1}\mathrm{LA }_h(\mathbb Z _p,A) = \mathrm{LA }_h(\mathbb Z _p,A), \end{aligned}$$
les deux sous-espaces étant stables par \(\psi \) et \(\Gamma \). La \(A\)-base des monômes \(x^i\) de \(\text{ Pol}_{\le N}(\mathbb Z _p,A)\) est propre pour \(\psi \) et \(\Gamma \) : pour \(i \le N\) on a \(\psi (x^i)=p^ix^i\) et \(\gamma (x^i)=\gamma ^{1-i} x^i\) pour tout \(\Gamma \).

On pose enfin \(t=\log (1+T)=\sum _{k\ge 1} (-1)^{k+1} \frac{T^k}{k} \in \mathcal R ^+\). On a \(\varphi (t)=pt\), donc \(\psi (t)=p^{-1} t\), et \(\gamma (t)=\gamma t\) pour tout \(\gamma \in \Gamma \).

Lemme 2.9

Soient \(\lambda \in A^*\) et \(N\ge 0\) un entier.
  1. (i)

    0n a une décomposition \(\varphi \)-stable \(\mathcal R _A^+=( \bigoplus _{0\le i < N} A t^i ) \oplus T^N\mathcal R _A^+\).

     
  2. (ii)

    \(1-\lambda \varphi \) est injectif sur \(\mathrm{LA }(\mathbb Z _p,A)\), \(\mathcal R _A^{\lambda \varphi =1}=(\mathcal R _A^{+})^{\lambda \varphi =1}\), et si \(|\lambda p^N|<1\) alors \(1-\lambda \varphi \) est bijectif sur \(T^N\mathcal R _A^+\), d’inverse continu.

     
  3. (iii)

    Si \(|p^{N+1}\lambda |<1\), alors \(1-\lambda \psi \) est bijectif sur \(x^{N+1}\mathrm{LA }_h(\mathbb Z _p,A)\) pour tout \(h\ge 0\).

     
  4. (iv)

    \(\oplus _{i=0}^N A.T^{-(i+1)} \subset \mathcal R _{A}\) est un sous-\(A\)-module \(\psi \)-stable sur lequel \(C\) induit un isomorphisme avec \(\text{ Pol}_{\le N}(A,\mathbb Z _p)\).

     
  5. (v)
    \((1-\lambda \psi )\mathcal R _A^+=\mathcal R _A^+\) et la transformée de Colmez induit une suite exacte
    $$\begin{aligned} 0 \longrightarrow (\mathcal R _A^+)^{\lambda \psi =1} \longrightarrow \mathcal R _A^{\lambda \psi =1} \overset{C}{\longrightarrow } \mathrm{LA }(\mathbb Z _p,A)^{\lambda \psi =1} \longrightarrow 0 \end{aligned}$$
    ainsi qu’un isomorphisme
    $$\begin{aligned} C: \mathcal R _A/(\lambda \psi -1) \overset{\sim }{\rightarrow }\mathrm{LA }(\mathbb Z _p,A)/(\lambda \psi -1). \end{aligned}$$
     
  6. (vi)
    Si \(|\lambda p^N|<1\) alors \(1-\lambda \varphi \) induit une bijection \(\Gamma \)-équivariante
    $$\begin{aligned} (T^N\mathcal R _A^+)^{\lambda ^{-1}\psi =1} \overset{\sim }{\rightarrow }(\mathcal R _A^+)^{\psi =0}\cap T^N\mathcal R _A^+. \end{aligned}$$
     

 

Preuve

Le (i) découle de ce que \(t \in T+T^2\mathcal R _A^+\) et \(\varphi (T) \in T\mathcal R _A^+\). Vérifions le premier point du (ii). Tout d’abord, l’injectivité de \(1-\lambda \varphi \) sur \(\mathrm{LA }(\mathbb Z _p,A)\) entraîne que \(\mathcal R _A^{\lambda \varphi =1}=(\mathcal R _A^{+})^{\lambda \varphi =1}\) via la suite exacte de la proposition 2.8. Soit donc \(f \in \mathrm{LA }(\mathbb Z _p,A)\) telle que \(\lambda \varphi (f)=f\). Il vient que \(\lambda ^n \varphi ^n(f)= f\) pour tout \(n\ge 1\). En particulier, \(f\) est nulle sur \(p^{n-1}\mathbb Z _p^*\) pour tout \(n\ge 1\) : \(f=0\), ce que l’on voulait démontrer. Le second point du (ii) est l’argument de Colmez [18, Lemme A.1], que l’on rappelle par commodité pour le lecteur. D’une part, pour tout \(0<r<1\) et tout \(f \in \mathcal R _A^+,|\varphi (f)|_{[0,r]}\le |f|_{[0,r]}\) (se ramener à \(A=\mathbb Q _p\) auquel cas cela découle de l’interpretation de \(|.|_r\) comme norme sup. sur \(B_{[0,r]}\)). D’autre part, pour tout \(0<r<1\) il existe \(C_r>0\) tel que pour tout \(i\ge 0,|\varphi ^i(T^N)|_{[0,r]}\le \frac{C_r}{p^{Ni}}\) (idem). Ainsi, si \(|\lambda p^N|<1\), alors pour tout \(f \in T^N\mathcal R _A^+\), on a \(|\lambda ^k \varphi ^k(f)|_{[0,r]} \le C_r |f|_{[0,r]}|\lambda p^N|^k\) et
$$\begin{aligned} \left|\sum _{k\ge 0}\lambda ^k \varphi ^k(f)\right|_{[0,r]}\le \frac{C_r |f|_{[0,r]}}{1-|\lambda p^N|}. \end{aligned}$$
On a donc construit un inverse continu de \(1-\lambda \varphi \) sur \(T^N\mathcal R _A^+\).
Montrons le (iii). Remarquons que si \(f \in \mathrm{LA }_h(\mathbb Z _p,A)\) et \(h\ge 1\) alors \(\psi (f) \in \mathrm{LA }_{h-1}(\mathbb Z _p,A)\). Ainsi, \(\psi (x^i\mathrm{LA }_{h}(\mathbb Z _p,A)) \subset x^i\mathrm{LA }_{h-1}(\mathbb Z _p,A)\) pour tout \(i\ge 0\). Enfin, si \(f \in x^{N+1}\mathrm{LA }_{0}(\mathbb Z _p,A)\) alors \(|\psi (f)|_0\le \frac{|f|_0}{p^{N+1}}\). Ainsi, pour tout \(m\ge h\) on a
$$\begin{aligned} |\psi ^m(f)|_0\le \frac{1}{p^{(N+1)(m-h)}} |\psi ^h(f)|_0. \end{aligned}$$
Sous l’hypothèse sur \(N\), la série \(\sum _{m\ge 0} \lambda ^m\psi ^m\) converge donc dans les endomorphismes de \(x^{N+1}\mathrm{LA }_{h}(\mathbb Z _p,A)\), vers un inverse continu de \(\text{ id}-\lambda \psi \).

Pour le (iv), un calcul sans difficulté montre que \(\psi (T^{-i-1})=Q(T)T^{-i-1}\)\(Q(T) \in \mathbb Q [T]\) est un polynôme de degré \(<i+1\) (et tel que \(Q(0)=p^{-i}\)). On conclut car \(C(T^{-i-1})(x+1)={{x}\atopwithdelims (){i}}\).

Montrons maintenant le (v). Si \(N\) est suffisament grand de sorte que \(|\lambda ^{-1} p^N|<1\), on a vu au (ii) que \(\sum _{k\ge 0} \lambda ^{-k} \varphi ^k\) converge normalement sur \(T^N\mathcal R _A^+\) vers un inverse de \(1-\lambda ^{-1}\varphi \). L’opérateur \(\psi \) étant continu sur \(\mathcal R _A^+\), la relation formelle \((1-\lambda \psi )(\sum _{k\ge 0} \lambda ^{-k}\varphi ^k)=-\lambda \psi \) a donc un sens sur \(T^N\mathcal R _A^+\), puis
$$\begin{aligned} (1-\lambda \psi ) T^N \mathcal R _A^+=\psi (T^N\mathcal R _A^+) \supset \psi (\varphi (T^N)\mathcal R _A^+)=T^N\psi (\mathcal R _A^+)=T^N\mathcal R _A^+. \end{aligned}$$
Enfin on a \(\psi (T)=-1\), donc si \(i \ge 0\) on a l’identité
$$\begin{aligned} (\lambda \psi -1)(T\varphi (T^i))=-\lambda T^i-T\varphi (T)^i. \end{aligned}$$
Comme \(T\varphi (T)^i \in p^iT^{i+1}+T^{i+2}\mathcal R _A^+\) une récurrence descendante montre que \(T^i \in (\lambda \psi -1)\mathcal R _A^+\) pour tout \(0\le i\le N\). Le (v) suit en appliquant \(\lambda \psi = 1\) à la suite exacte de la transformée de Colmez, et d’après le (i).

La dernière assertion découle de (i) et (ii), et de ce que si \((1-\lambda \varphi )x=y\) alors \(\lambda (\lambda ^{-1}\psi -1)x=\psi (y)\), donc \(\psi (y)=0\) si et seulement si \((1-\lambda ^{-1}\psi )x=0\).\(\square \)

Une conséquence de (i), (ii), (iii) et (v) du lemme ci-dessus est la proposition suivante, qui donne une description complète de \(H^i(\mathcal R _A(\delta ))\) pour \(i=0\) et \(i=2\).

Proposition 2.10

Soit \(\delta \in {\mathcal T }(A)\). On a
$$\begin{aligned} \mathcal R _A(\delta )^{\varphi =1}=\mathcal R _A^{\delta (p)\varphi =1}=A[t]^{\delta (p)\varphi =1} \end{aligned}$$
En particulier, \(H^0(\mathcal R _A(\delta ))=A[t]^{\delta (p)\varphi =1, \delta (\gamma )\gamma =1}\). De plus, la transformée de Colmez induit un isomorphisme \(\Gamma \)-équivariant
$$\begin{aligned} \mathcal R _A(\delta )/(\psi -1)=\mathcal R _A/(\delta (p)^{-1}\psi -1) \overset{\sim }{\rightarrow } Pol(\mathbb Z _p,A) /(\delta (p)^{-1}\psi -1). \end{aligned}$$
En particulier, \(H^2(\mathcal R _A(\delta ))= Pol(\mathbb Z _p,A) /(\delta (p)^{-1}\psi -1,\delta (\gamma )\gamma -1)\).

Suivant Colmez, désignons par \(x : \mathbb Q _p^*\rightarrow \mathbb Q _p^*\) le caractère identité et par \(\chi :\mathbb Q _p^*\rightarrow \mathbb Z _p^*\) le caractère cyclotomique, c’est à dire \(\chi =x|x|\). Un corollaire immédiat de la proposition ci-dessus est le suivant.

Corollaire 2.11

Soit \(\delta \in {\mathcal T }(A)\).
  1. (i)

    \(H^0(\mathcal R _A(\delta )) \ne 0\) si et seulement si il existe \(i \ge 0\) et \(f \ne 0 \in A\) tels que \(f\cdot (\delta -x^{-i})\) est identiquement nul sur \(\mathbb Q _p^*\).

     
  2. (ii)

    \(H^2(\mathcal R _A(\delta )) \ne 0\) si et seulement si il existe \(i\ge 0\) tel que le fermé de \(\text{ Sp}(A)\) sur lequel \(\delta = \chi (x)x^i\) soit non vide.

     

Il reste à décrire \(H^1(\mathcal R _A(\delta ))\). D’après le dévissage de la cohomologie démontré plus haut il nous faut nous intéresser au \(A[\Gamma ]\)-module \(\mathcal R _A(\delta )^{\psi =1}\). Une étape clef sera alors la structure du \(A[\Gamma ]\)-module \(\mathcal R _A^+(\delta )^{\psi =0}\).

2.3 Structures sur \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\)

Soit \(C\) un groupe profini isomorphe à \(\mathbb Z _p\) et \(c\) un générateur topologique de \(C\). Si \(\mathcal A \) est complet séparé pour la topologie \(p\)-adique, et en particulier si c’est un modèle d’une algèbre affinoïde \(A\), il est connu depuis Iwasawa que l’application
$$\begin{aligned} {\mathcal A }[[T]] \rightarrow {\mathcal A }[[C]]:=\projlim _n \, {\mathcal A }[C/p^nC] \end{aligned}$$
envoyant \(T\) sur \([c]-1\) est un isomorphisme. Cela permet de définir un anneau \(\mathcal R _A^+(C)\) en remplaçant simplement la variable \(T\) dans la définition de \(\mathcal R _A^+\) par \([c]-1\). Cette définition ne dépend pas du choix de \(c\) car \(\Gamma \) agit par automorphismes sur \(\mathcal R _A^+\). On remarque de plus que \(\mathcal R _A^+(pC)=\varphi (\mathcal R _A^+(C))\), et donc que \(\mathcal R _A^+(pC) \otimes _{A[pC]}A[C]=\mathcal R _A^+(C)\), car les \((1+T)^i\) pour \(0\le i \le p-1\) forment une base de \(\mathcal R _A^+\) sur \(\varphi (\mathcal R _A^+)\). On pose enfin
$$\begin{aligned} \mathcal R _A^+(\Gamma ):=\mathcal R _A^+(1+p^M\mathbb Z _p) \otimes _{A[1+p^M\mathbb Z _p]}A[\mathbb Z _p^*]\end{aligned}$$
qui ne dépend par du choix de \(M\ge 1\) par ce que l’on vient de dire. On dispose d’inclusions naturelles denses
$$\begin{aligned} A[\Gamma ] \subset ({\mathcal A }[[\Gamma ]])[1/p] \rightarrow \mathcal R _A^+(\Gamma ). \end{aligned}$$
On posera aussi \(A[[\Gamma ]]_b=({\mathcal A }[[T]])[1/p] \subset \mathcal R _A^+(\Gamma )\). Il ne dépend pas du choix de \({\mathcal A }\). Quand \(A\) est un corps le résultat suivant est essentiellement dû à Berger [5, §5].

Proposition 2.13

Soit \(D\) un \((\varphi ,\Gamma )\)-module sur \(\mathcal R _A\) ou \(\mathcal R _A^+\). L’action \(A\)-linéaire de \(\Gamma \) sur \(D\) s’étend de manière unique en une structure de \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\)-module sur \(D\) qui est continue au sens suivant : si \((e_i)\) est une \(\mathcal R _A\)-base de \(D\) telle que \(\Gamma (D_r) \subset D_r\)\(D_r=\oplus _i \mathcal R _{A,r}e_i\), alors pour tout \(f \in D_r\) l’application orbite \(\mathcal R _A^+(\Gamma ) \rightarrow D_r=\mathcal R _{A,r}^d,u \mapsto u(f)\), est continue. Cette action de \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\) commute à \(\varphi \) et \(\psi \).

 

Prsuve

En effet, il suffit de voir que si \(I\) est un intervalle fermé de \([0,1[\) et si \(D=({\mathcal E }^I_A)^n\) est muni d’une action semi-linéaire de \(\Gamma \) qui soit continue dans le sens que la matrice \(M_\gamma \in M_n({\mathcal E }^I_A)\) de \(\gamma \in \Gamma \) dans la base canonique \((e_i)\) dépende continûment de \(\gamma \), alors l’application naturelle
$$\begin{aligned} A[\Gamma ] \rightarrow \mathrm End _A(D) \end{aligned}$$
se prolonge en une application continue \(\mathcal R _A^+(\Gamma ) \rightarrow \mathrm End _A(D)\) (un tel prolongement étant nécessairement unique s’il existe). Fixons un tel \(I\) ainsi qu’un modèle \({\mathcal A }\subset A\). Le sous-espace \(\mathcal D =(\mathcal O ^I_{\mathcal A })^n \subset D\) est un ouvert (pour la topologie de module de Banach sur \({\mathcal E }_A^I\) de ce dernier), ainsi que \(p\mathcal D \), de sorte qu’il existe un entier \(M\ge 1\) tel que pour tout \(\gamma \in 1+p^M\mathbb Z _p\) et tout entier \(i\) on ait \((M_\gamma -1)(e_i) \in pM_n(\mathcal O ^I_{\mathcal A })\). Le lemme 1.4 (i) permet de supposer de plus que \((\gamma -1){\mathcal E }_{\mathcal A }^I \subset p{\mathcal E }_{\mathcal A }^I\) pour tout \(\gamma \in 1+p^M\mathbb Z _p\). La relation
$$\begin{aligned} (\gamma -1)\left(\sum _i a_i e_i\right)=\sum _i (\gamma -1)(a_i)\gamma (e_i)+a_i(\gamma -1)(e_i) \end{aligned}$$
assurent alors que \((\gamma -1)\mathcal D \subset p\mathcal D \) pour tout \(\gamma \in 1+p^M\mathbb Z _p\). On en déduit que le morphisme \(A[1+p^M\mathbb Z _p] \rightarrow \mathrm End _A(D)\) s’étend continûment en un morphisme
$$\begin{aligned} \mathcal R _A^+(1+p^M\mathbb Z _p) \rightarrow \mathrm End _A(D) \end{aligned}$$
ainsi donc qu’à \(\mathcal R _A^+(\Gamma )=\mathcal R _A^+(1+p^M\mathbb Z _p) \otimes _{A[1+p^M\mathbb Z _p]} A[\mathbb Z _p^\times ]\). Remarquons que jusqu’ici nous n’avons pas utilise la structure de \(\varphi \)-module sur \(D\). La commutation de \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\) à \(\varphi \) et \(\psi \) vient de leur commutation à \(\Gamma \) et de ce que pour tout \(r\) assez grand, \(\varphi : D_{r^p} \rightarrow D_r\) et \(\psi : D_r \rightarrow D_r\) sont continues (ceci découlant du cas \(D=\mathcal R _A\) considéré au § 2.1).\(\square \)

Un point crucial est que la structure de \(D^{\psi =0}\) comme \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\)-module est particulièrement simple.

Proposition 2.14

Si \(D\) est un \((\varphi ,\Gamma )\)-module sur \(\mathcal R ^+_A\) de rang \(d\) qui est \(\Gamma \)-borné alors \(D^{\psi =0}\) est libre de rang \(d\) sur \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\).

Plus précisément, si \((e_i)\) est une \(\mathcal R _A^+\)-base de \(D\) telle que \(\oplus {\mathcal A }[[T]] e_i\) est stable par \(\Gamma \) pour un certain modèle \({\mathcal A }\subset A\), alors \(((1+T)\varphi (e_i))\) est une base de \(D^{\psi =0}\) sur \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\).

Avant de démontrer ce résultat nous devons dire un mot sur la topologie considérée sur \(D^{\psi =0}\). Tout d’abord, le choix d’une base \((e_i)\) fournit une écriture \(D=\oplus _i \mathcal R _A^+ e_i\) et donc une structure d’espace de Fréchet sur \(D\). Cette structure ne dépend pas du choix de la base et l’application structurale \(\mathcal R ^+_A \times D \rightarrow D\) est continue. Dans la base \((\varphi (e_i))\), on a \(\psi (\sum _i x_i \varphi (e_i))=\sum _i \psi (x_i)e_i\) donc la continuité de \(\psi \) sur \(\mathcal R _A^+\) entraîne sa continuité sur \(D\); celle de \(\varphi \) est immédiate. En particulier, \(D^{\psi =0}\) est fermé. La relation \(\psi \circ \varphi = \text{ id}\) entraîne de plus que \(\varphi ^M(D)\) est fermé dans \(D\) pour tout \(M\ge 1\), ainsi donc que \((1+T)\varphi ^M(D)\) car la multiplication par \(1+T\) est un homéomorphisme de \(D\). L’application \(x \mapsto (1+T)\varphi ^M(x)\) est un homéomorphisme de \(D\) sur \((1+T)\varphi ^M(D)\) d’inverse \(y \mapsto \psi ^M(\frac{y}{1+T})\).

Preuve

Soit \((e_i)\) comme dans l’énoncé, \(\mathcal D =\oplus _i {\mathcal A }[[T]]e_i\) et \(M\) associé à \(\mathcal D \) comme dans la proposition 1.7. Soit \(\gamma _0=1+p^M \in \Gamma \) et \(x \in D\). Comme on l’a déjà vu, on a la relation
$$\begin{aligned} (\gamma _0-1)((1+T)\varphi ^M(x))=(1+T)\varphi ^M(G_\gamma (x)). \end{aligned}$$
La proposition 1.7 assure donc que l’action de \(1+p^M\mathbb Z _p\) sur \((1+T)\varphi ^M(D)\) s’étend en une structure de \(\mathcal R _A^+(1+p^M\mathbb Z _p)\)-module, qui est de plus libre de base \(((1+T)\varphi ^M(e_i))\) d’après la proposition 1.7, et telle que \(\mathcal R _A^+(1+p^M\mathbb Z _p) \times (1+T)\varphi ^M(D) \rightarrow (1+T)\varphi ^M(D)\) soit continue. Cette structure est nécessairement celle de la proposition précédente par unicité de cette dernière. Les identités
$$\begin{aligned} D^{\psi =0}=\bigoplus _{1\le i \le p^{M-1}(p-1), (p,i)=1}(1+T)^i\varphi ^M(D), \end{aligned}$$
\(\mathcal R _A^+(\Gamma )=\mathcal R _A^+(1+p^M\mathbb Z _p)\otimes _{A[1+p^M\mathbb Z _p]}A[\Gamma ]\), et pour \(a \in \mathbb Z _p^*,a((1+T)\varphi ^M(D))=(1+T)^a\varphi ^M(D)\), concluent la démonstration. Le dernier point vient de ce que
$$\begin{aligned} \mathcal R _A^+(\Gamma )/(\gamma -1)=\mathcal R _A^+(1+p\mathbb Z _p)/(\gamma ^{p-1}-1)=\mathcal R _A^+/(T)=A. \end{aligned}$$
\(\square \)

 

Remarque 2.15

Dans le même genre, on déduirait aisément de la proposition 1.7 que si \(D\) est un \((\varphi ,\Gamma )\)-module sur \(\mathcal R _A\) qui est \(\Gamma \)-borné alors l’action de \(\Gamma \) sur \(D^{\psi =0}\) s’étend en une structure de \(\mathcal R _A(\Gamma )\)-module (voir [19, V §3] pour la définition), qui est libre sur \(\mathcal R _A(\Gamma )\) de rang le rang de \(D\) sur \(\mathcal R _A\).

 

2.4 Cohomologie de \(\mathcal R _A(\delta )\), partie II : structure de \(\mathcal R _A(\delta )^{\psi =1}\)

Retournons au calcul de \(H^1(\mathcal R _A(\delta ))\). Étant donné le dévissage donné par la proposition 2.3, il convient d’étudier tout d’abord \(\mathcal R _A(\delta )^{\psi =1}\). Si \(X\) est un \((\varphi ,\Gamma )\)-module sur \(\mathcal R _A\) ou \(\mathcal R _A^+\), on pose suivant Fontaine \(C(X)=X^{\psi =0}\cap (1-\varphi )X=(1-\varphi )X^{\psi =1}\), de sorte que l’on dispose d’une suite \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\)-équivariante tautologique
$$\begin{aligned} 0 \longrightarrow X^{\varphi =1} \longrightarrow X^{\psi =1} \overset{1-\varphi }{\longrightarrow } C(X) \longrightarrow 0. \end{aligned}$$
 

Lemme 2.17

Soient \(\delta \in {\mathcal T }(A),D=\mathcal R _A(\delta )\) et \(D^+=\mathcal R _A^+(\delta )\). On a des suites exactes naturelles \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\)-équivariantes :
  1. (i)

    \(0 \longrightarrow (D^+)^{\psi =1} \longrightarrow D^{\psi =1} \overset{C}{\longrightarrow } Pol(\mathbb Z _p,A)^{\delta (p)^{-1}\psi =1} \rightarrow 0\),

     
  2. (ii)

    \(0 \longrightarrow C(D^+) \longrightarrow C(D) \overset{(1-\delta (p)\varphi )^{-1} C}{\longrightarrow } Pol(\mathbb Z _p,A)^{\delta (p)^{-1}\psi =1} \longrightarrow 0\).

     
De plus, \((A[t])^{\delta (p)\varphi =1}=(D^+)^{\varphi =1}=D^{\varphi =1}\) et \(D/(\psi -1)= Pol(\mathbb Z _p,A)/(\delta (p)^{-1} \psi -1)\).

 

Preuve

Pour le (i) on applique \(\delta ^{-1}(p)\psi =1\) à la suite exacte définie par la transformée de Colmez et on note que \((D^+)/(\psi -1)=0\) et \(\mathrm{LA }(\mathbb Z _p,A)^{\delta (p)^{-1}\psi =1}=\text{ Pol}(\mathbb Z _p,A)^{\delta (p)^{-1}\psi =1}\) d’après le Lemme 2.9 (iv) et (iii). Le (ii) découle du (i) et de l’injectivité \(1-\delta (p)\varphi \) sur \(\mathrm{LA }(\mathbb Z _p,A)\) (lemme 2.9 (ii)). En effet, cette injectivité entraîne d’une part que \(C(D^+)=C(D)\cap D^+\), puis que la dernière flèche de l’énoncé est bien définie ; elle est surjective par le (i). La dernière assertion a déjà été démontrée (corollaire 2.10).\(\square \)

La structure de \(C(D^+)\) s’avère intéressante, avant de la décrire nous avons besoin d’un lemme sur \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\).

Lemme 2.18

 
  1. (i)

    Si \(\delta : \mathbb Z _p^*\rightarrow A^*\) est un caractère continu, il s’étend de manière unique en un morphisme de \(A\)-algèbres continu \(\widetilde{\delta }: \mathcal R _A^+(\Gamma ) \rightarrow A\). Tout morphisme de \(A\)-algèbres continu \(\mathcal R _A^+(\Gamma ) \rightarrow A\) est de cette forme.

     
  2. (ii)

    Soit \(\gamma _0 \in \Gamma \) un générateur topologique de \(\Gamma \) (resp. de \(1+4\mathbb Z _2\) si \(p=2\)), soit \(T_\delta :=[\gamma _0]-\delta (\gamma _0) \in \mathcal R _A^+(\Gamma )\). On a \(\text{ Ker}(\widetilde{\delta })=(T_\delta )\)\((T_\delta ,[-1]-\delta (-1))\) selon que \(p>2\) ou non.

     
  3. (iii)

    La multiplication par \(T_\delta \) est injective sur \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\) et \(\mathcal R _A^+(\Gamma )=T_\delta \mathcal R _A^+(\Gamma ) \oplus A\) (resp. \(\mathcal R _A^+(\Gamma )=T_\delta \mathcal R _A^+(\Gamma ) \oplus A[\{\pm 1\}]\) si \(p=2\)).

     

 

Preuve

Soit \({\mathcal A }\) un modèle de \(A\) contenant \(\delta (\Gamma )\). Pour \(M\ge 1\) assez grand, on a \(\delta (1+p^M\mathbb Z _p) \subset 1+p{\mathcal A }\). Rappelons que \(\mathcal R _A^+(1+p^M\mathbb Z _p)\) s’identifie à \(\mathcal R _A^+\) si l’on envoit \([c]-1\) vers \(T,c\) étant un générateur quelconque de \(1+p^M\mathbb Z _p\). Il est alors immédiat que \(\delta : A[1+p^M\mathbb Z _p] \rightarrow A\) s’étend à \(\mathcal R _A^+(1+p^M\mathbb Z _p)\), ainsi donc qu’à \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\) par extension des scalaires. La réciproque découle aisément de ce que l’application naturelle \(\mathbb Z _p[[\Gamma ]] \rightarrow \mathcal R _A^+(\Gamma )\) est continue (lemme 1.3 (ii)) : cela démontre le (i) (voir aussi [10, §1]).

Il est clair que \(T_\delta \) et \([-1]-\delta (-1)\) sont dans \(\text{ Ker}(\widetilde{\delta })\), et que \([\gamma _0^n]-\delta (\gamma _0)^n \in (T_\delta )\) pour tout \(n \in \mathbb Z \). Ainsi, \([\gamma ]-\delta (\gamma ) \in (T_\delta )\) pour tout \(\gamma \) dans le sous-groupe fermé engendré par \(\gamma _0\). Soit \(n \in \mathbb Z \) tel que \(c=\gamma _0^n\) engendre topologiquement \(\Gamma ^{\prime }=1+2p\mathbb Z _p\). Alors \(\mathcal R _A^+(\Gamma ^{\prime })\) s’identifie à l’anneau de Robba \(A\)-valué positif sur la variable \(U=[c]-1\), et \(\widetilde{\delta }\) se restreint sur cet anneau en l’application \(f(U) \mapsto f(\delta (c)-1)\). Il vient que \(\text{ ker}(\widetilde{\delta })\cap \mathcal R _A^+(\Gamma ^{\prime })=(U-(\delta (c)-1))\mathcal R _A^+(\Gamma ^{\prime })\) est en somme directe avec \(A\) (les constantes) dans \(\mathcal R _A^+(\Gamma ^{\prime })\). Mais \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\) est libre sur \(\mathcal R _A^+(\Gamma ^{\prime })\) de base finie \(\Gamma _{\mathrm{tors}}\). Le (ii) s’en déduit ainsi que le second point du (iii). L’injectivité de la multiplication par \(T_\delta \) suit enfin de celle de la multiplication par \(U-(\delta (c)-1)\) sur \(\mathcal R _A^+(\Gamma ^{\prime })\), et donc sur \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\), car \(U -(\delta (c)-1)\in (T_\delta )\).\(\square \)

Considérons pour tout \(k\ge 0\) l’application
$$\begin{aligned} J_k : \mathcal R _A^+ \rightarrow \mathcal R _A^+/T^k\mathcal R _A^+=A[T]/T^k. \end{aligned}$$
Notons que \(T^k\mathcal R _A^+\) est fermé dans \(\mathcal R _A^+\) et qu’il est stable par \(\Gamma \) (et donc \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\)) et \(\varphi \). Ainsi, \(J_k\) est équivariante sous \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\) et \(\varphi \). De plus, les images de \(1,t,\ldots ,t^{k-1}\) forment une \(A\)-base de \(\mathcal R _A^+/T^k\mathcal R _A^+\) propre pour \(\varphi \) et \(\Gamma \) de valeurs propres évidentes.

Lemme 2.19

\(J_k\) induit une surjection \((\mathcal R _A^+)^{\psi =0} \rightarrow \mathcal R _A^+/T^k\mathcal R _A^+\).

 

Preuve

En effet, l’écriture formelle “\(1+T=\text{ exp}(t)\)” assure que \(J_k(1+T)=\sum _{i=0}^{k-1} \frac{t^i}{i!}\), l’important pour ce qui suit étant que le coefficient de chaque \(t^i\) est non nul. Comme pour \(i=0,\ldots ,k-1\) les caractères \(\gamma \mapsto \gamma ^i,\Gamma \rightarrow \mathbb Q _p^*\), sont linéairement indépendants sur \(\mathbb Q _p\) (car distincts), il vient que \(J_k(A[\Gamma ](1+T))=\mathcal R _A^+/T^k\mathcal R _A^+\). Cela conclut car \(1+T \in (\mathcal R _A^+)^{\psi =0}\).\(\square \)

 

Proposition 2.20

Le \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\)-module \(C(D^+)\) est isomorphe à l’idéal
$$\begin{aligned} \bigcap _{i\ge 0}(1-\delta (p)p^i,\mathrm Ker (\widetilde{x^i\delta })) \end{aligned}$$
de \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\). Plus précisément, pour tout \(k\) assez grand \(J_k\) induit une suite exacte \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\)-équivariante
$$\begin{aligned} 0 \rightarrow C(D^+) \longrightarrow \mathcal R _A^+(\Gamma )\cdot (1+T) \overset{J_k}{\longrightarrow } \oplus _{i=0}^{k-1} A/(1-\delta (p)p^i) \quad \cdot \widetilde{\delta x^i} \rightarrow 0. \end{aligned}$$

(Comme \(1-\delta (p)p^i\) est inversible dans \(A\) pour \(i\) assez grand, l’intersection ci-dessus est finie. De plus, le terme centrale est libre de rang \(1\) sur \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\).)

Preuve

En effet, soit \(k\) suffisament grand de sorte que \(|\delta (p)p^k|<1\). Le lemme 2.9 (ii) assure que
$$\begin{aligned} (1-\delta (p)\varphi )\mathcal R _A^+=J_k^{-1}((1-\delta (p)\varphi )\mathcal R _A^+/T^k\mathcal R _A^+). \end{aligned}$$
Comme \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\)-module on a
$$\begin{aligned} (1-\varphi )\mathcal R _A^+(\delta )/T^k\mathcal R _A^+(\delta )=\oplus _{i=0}^{k-1} (1-\delta (p)p^i)A(\widetilde{\delta x^i}). \end{aligned}$$
Mais \(\mathcal R _A^+(\delta )^{\psi =0}\) est libre de rang \(1\) sur \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\) engendré par \(1+T\) d’après la proposition 2.14. La proposition suit alors du lemme 2.19.\(\square \)

 

Lemme 2.21

Pour \(\delta \in {\mathcal T }(A)\), notons \(I_\delta \) l’idéal \((1-\delta (p),\text{ Ker}(\widetilde{\delta }))\) de \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\). Alors pour tout \(i \in \mathbb Z \backslash \{0\}\) on a \(I_\delta +I_{\delta x^i}=\mathcal R _A^+(\Gamma )\). En particulier, \(C(\mathcal R _A^+(\delta ))=\prod _{i\ge 0} I_{\delta x^i}\).

 

Preuve

En effet, \((1-\delta (p)p^i)-(1-\delta (p))=\delta (p)(1-p^i) \in A^\times \) si \(i\ne 0\).\(\square \)

Fixons un générateur topologique \(\gamma _0\) de \(\Gamma \) (resp. de \(1+4\mathbb Z _2\) si \(p=2\)). On rappelle l’élément \(T_\delta \in A[\Gamma ]\) défini dans le lemme 2.18 (ii). Pour \(i\in \mathbb Z \) on note \(T_i \in A[\Gamma ]\) l’élément \(T_\delta \)\(\delta (\gamma )=\gamma ^i\) pour tout \(\gamma \in \Gamma \).

Définition 2.22

On dira qu’un \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\)-module \(D\) est presque libre de rang \(d\) si il existe une suite exacte de \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\)-modules de la forme
$$\begin{aligned} 0 \rightarrow \mathcal R _A^+(\Gamma )^d \rightarrow D \rightarrow Q \rightarrow 0 \end{aligned}$$
telle que \(Q\) est de type fini sur \(A\) et annulé par un monôme en des \(T_i\) pour \(i \in \mathbb Z \). On dira que \(D\) est presque nul si il est presque libre de rang \(0\), c’est à dire de type fini sur \(A\) et annulé par un mônome en des \(T_i\) pour \(i \in \mathbb Z \).

 

Lemme 2.23

 
  1. (i)

    Les \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\)-modules presque libres sont de type fini.

     
  2. (ii)

    Soit \(S\) la partie multiplicative de \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\) engendrée par les \(T_i\) pour \(i \in \mathbb Z \). Un \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\)-module \(D\) est presque libre de rang \(d\) si et seulement si il est de type fini et si \(S^{-1}D\) est libre de rang \(d\) sur \(S^{-1}\mathcal R _A^+(\Gamma )\). En particulier, l’entier \(d\) est bien défini.

     
  3. (iii)
    Enfin, si l’on a une suite exacte longue de \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\)-modules
    $$\begin{aligned} D_1 \longrightarrow D_2 \longrightarrow D_3 \longrightarrow D_4 \longrightarrow D_5\end{aligned}$$
    avec \(D_1\) et \(D_5\) presque nuls, \(D_2\) et \(D_4\) presque libres de rang respecifs \(d_2\) et \(d_4\), alors \(D_3\) est presque libre de rang \(d_2+d_4\).
     

 

Preuve

Le premier point est évident. Le second suit du fait que d’après le lemme 2.18, si \(s \in S\) alors \(s\) n’est pas diviseur de \(0\) et \(\mathcal R _A^+(\Gamma )/s\mathcal R _A^+(\Gamma )\) est un \(A\)-module de type fini. Le (iii) est alors évident.\(\square \)

 

Théorème 2.24

Soit \(D\) un \((\varphi ,\Gamma )\)-module triangulin de rang \(d\) sur \(\mathcal R _A\). Alors les \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\)-modules \(D^{\varphi =1}\) et \(D/(\psi -1)\) sont presque nuls, et \(D^{\psi =1}\) et \(C(D)\) sont presque libres de rang \(d\).

Soit \((\delta _i) \in {\mathcal T }^d(A)\) le paramètre de \(D\) et supposons de plus que pour tout \(i=1,\ldots ,d\) et pour tout \(j\in \mathbb Z \) alors \(1-\delta _i(p)p^j \in A^\times \). Alors \(D^{\varphi =1}=D/(\psi -1)=0\) et \(D^{\psi =1} \overset{\sim }{\rightarrow }C(D) = C(D^+)\) est libre de rang \(d\) sur \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\).

 

Preuve

On procède par récurrence sur \(d\ge 1\). On a une suite exacte dans \((\varphi ,\Gamma )/A\)
$$\begin{aligned} 0 \longrightarrow D^{\prime } \rightarrow D \rightarrow \mathcal R _A(\delta _d) \rightarrow 0 \end{aligned}$$
avec \(D^{\prime }\) triangulin de rang \(d-1\). Par la suite exacte longue de cohomologie associée et par le lemme 2.23 (iii), on peut supposer \(d=1\), i.e. \(D=\mathcal R _A(\delta )\). Observons que \(A[t]^{\delta (p)\varphi =1}\), \(\text{ Pol}(A,\mathbb Z _p)/(\delta ^{-1}(p)\psi -1)\) et \({\mathrm{Pol}}(A,\mathbb Z _p)^{\delta (p)^{-1}\psi =1}\) sont de type fini sur \(A\) car \(1-\delta (p)^{\pm 1}p^i\) est inversible dans \(A\) pour tout entier \(i\) assez grand, et qu’ils sont nuls si \(1-\delta (p)p^i \in A^*\) pour tout \(i \in \mathbb Z \). Le lemme 2.17 et la suite exacte qui le précède entraînent alors les assertions sur \(D^{\varphi =1}\) et \(D/(\psi -1)\), et ramène l’assertion sur \(D^{\psi =1} \rightarrow C(D)\) à la vérification que \(C(D^+)\) est presque libre de rang \(1\), libre si \(1-\delta (p)p^i \in A^*\) pour tout \(i \in \mathbb Z \). Mais ceci découle de la proposition 2.20.\(\square \)

Un \(\delta \in {\mathcal T }(A)\) tel que \(1-\delta (p)p^j \in A^*\) pour tout \(j \in \mathbb Z \) sera dit \(p\)-régulier. La fin de ce paragraphe est consacrée à l’obtention d’une condition nécéssaire sur \(\delta \) pour que \(C(\mathcal R _A(\delta ))\) soit projectif sur \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\).

Proposition 2.25

Soit \(\delta \in {\mathcal T }(A)\) tel que \(1-\delta (p)p^i\) est non diviseur de \(0\) dans \(A\) pour tout \(i\ge 0\). Alors \(C(\mathcal R _A^+(\delta ))\) est projectif comme \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\)-module si et seulement si \(1-\delta (p)p^i \in A^\times \) pour tout \(i\ge 0\), auquel cas il est en fait libre de rang \(1\).

 

Preuve

Remarquons que si deux idéaux de type fini \(I\) et \(J\) d’un anneau commutatif \(B\) sont tels que l’idéal \(IJ\) est projectif comme \(B\)-module, et si de plus \(I+J=B\), alors \(I\) et \(J\) sont des \(B\)-modules projectifs. En effet, être projectif de type fini est une propriété locale sur \(\text{ Spec}(B)\), mais si \(x \in \text{ Spec}(B)\backslash V(I)\) alors \(I_x=B_x\), et si \(x \in V(I)\) alors \(x \notin V(J)\) et donc \(J_x=B_x\) puis \((IJ)_x=I_xJ_x=I_x\). D’après le lemme 2.21 ci-dessous et la proposition 2.20, il s’agit de voir que si \(I_\delta \) est projectif de rang fini, avec \(1-\delta (p)\) non diviseur de \(0\) dans \(A\), alors \(1-\delta (p) \in A^\times \) (et donc \(I_\delta =\mathcal R _A^+(\Gamma )\)). Fixons donc \(\delta \in {\mathcal T }(A)\) avec \(1-\delta (p)\) non diviseur de \(0\) et supposons \(p>2\) pour simplifier, de sorte que \(\text{ Ker}(\widetilde{\delta })=(T_\delta )\). La suite de \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\)-modules
$$\begin{aligned} 0 \longrightarrow \mathcal R _A^+(\Gamma ) \overset{u \mapsto (T_\delta u,(1-\delta (p))u)}{\longrightarrow } \mathcal R _A^+(\Gamma )^2 \overset{(x,y) \mapsto (1-\delta (p))x-T_\delta y}{\longrightarrow } I_{\delta } \longrightarrow 0 \end{aligned}$$
est exacte. En effet, si \(x,y \in \mathcal R _A^+(\Gamma )\) satisfont \(x T_\delta = y (1-\delta (p))\) alors en appliquant \(\widetilde{\delta }\) il vient que \(0=\widetilde{\delta }(y)(1-\delta (p)) \in A\) donc \(y=T_\delta u\) avec \(u \in \mathcal R _A^+(\Gamma )\) unique par le lemme 2.18, puis \(x=u (1-\delta (p))\). Comme la multiplication par chaque \(T_{\delta ^{\prime }}\) est injective sur \(I_{\delta } \subset \mathcal R _A^+(\Gamma )\) on en déduit que la suite ci-dessus est reste exacte modulo \(T_{\delta ^{\prime }}\) pour tout \(\delta ^{\prime }\). L’isomorphisme naturel \(\widetilde{\delta }^{\prime } : \mathcal R _A^+(\Gamma )/(T_{\delta ^{\prime }}) \overset{\sim }{\rightarrow }A\) envoie tout \(\gamma \in \Gamma \) sur \(\delta ^{\prime }(\gamma )\). Si \(\gamma \) engendre topologiquement \(\Gamma \) on obtient donc une suite exacte
$$\begin{aligned} 0 \longrightarrow A \overset{}{\longrightarrow } A^2 \overset{}{\longrightarrow } I_\delta /T_{\delta ^{\prime }}I_\delta \longrightarrow 0, \end{aligned}$$
le premier morphisme étant \(u \mapsto ((\delta ^{\prime }(\gamma )-\delta (\gamma ))u, (1-\delta (p))u)\) et le second \((x,y) \mapsto (1-\delta (p))x-(\delta ^{\prime }(\gamma )-\delta (\gamma ))y\). En particulier,
$$\begin{aligned} I_\delta /T_{\delta ^{\prime }}I_\delta \simeq A^2/A(1-\delta (p),\delta ^{\prime }(\gamma )-\delta (\gamma )). \end{aligned}$$
On conclut en appliquant ceci à \(\delta ^{\prime }=\delta \) : si le \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\)-module \(I_\delta \) est projectif il en va de même du \(A\)-module \(A/(1-\delta (p)) \times A\). Comme \(1-\delta (p)\) est non diviseur de \(0\) dans \(A\), cela entraîne qu’il est inversible, ce qui conclut. L’argument est similaire pour \(p=2\).\(\square \)

 

Corollaire 2.26

Soit \(\delta \in {\mathcal T }(A)\) tel que \(1-\delta (p)p^i\) est non diviseur de \(0\) dans \(A\) pour tout \(i \in \mathbb Z \). Alors le \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\)-module \(C(\mathcal R _A(\delta ))\) est projectif si et seulement si \(1-\delta (p)p^i \in A^\times \) pour tout \(i\ge 0\), auquel cas il est libre de rang \(1\).

 

Preuve

En effet, si \(\delta \in {\mathcal T }(A)\) est tel que \(1-\delta (p)p^{-i}\) est non diviseur de \(0\) dans \(A\) pour tout \(i\ge 0\), alors \(C(\mathcal R _A(\delta ))=C(\mathcal R _A^+(\delta ))\) par le lemme 2.17.\(\square \)

 

2.5 Cohomologie de \(\mathcal R _A(\delta )\) partie III : calcul du \(H^1\)

Le calcul de \(H^1(\mathcal R _A(\delta ))\) est maintenant une formalité. On rappelle que \(x \in {\mathcal T }(\mathbb Q _p)\) désigne le caractère tautologique identité et que \(\chi \in {\mathcal T }(\mathbb Q _p)\) est le caractère tel que \(\chi (p)=1\) et \(\chi _{|\mathbb Z _p^\times }=x_{|\mathbb Z _p^\times }\) (“caractère cyclotomique”).

Définition 2.28

On désigne par \({\mathcal T }^{\mathrm{reg}} \subset {\mathcal T }\) l’ouvert complémentaire de l’ensemble discret9 des points \(\mathbb Q _p\)-rationnels de la forme \(x^{-i}\) ou \(\chi x^i\) pour \(i\ge 0\).

Un caractère \(\delta \in {\mathcal T }(A)\) est dit régulier si il est dans \({\mathcal T }^{\mathrm{reg}}(A)\), ce qui revient à dire que pour tout \(z \in \text{ Sp}(A)\) le caractère \(\delta _z : \mathbb Q _p^\times \rightarrow k(z)^\times \) obtenu par évaluation en \(z\) n’est pas de la forme \(x^i\) ou \(\chi x^{-i}\) pour \(i\ge 0\) entier.

On dira aussi que \(\delta \in {\mathcal T }(A)\) est singulier s’il n’est pas régulier. On note \(K(A)\) le groupe de Grothendieck des \(A\)-modules de type fini, et si \(M\) est un tel \(A\)-module on note \([M]\) sa classe dans \(K(A)\). On rappelle qu’une algèbre affinoïde est noethérienne.

Théorème 2.29

Soit \(D\) un \((\varphi ,\Gamma )\)-module triangulin de rang \(d\) sur \(\mathcal R _A\). Alors \(H^i(D)\) est de type fini sur \(A\) pour tout entier \(i\) et on a la relation dans \(K(A)\)
$$\begin{aligned}{}[H^0(D)]-[H^1(D)]+[H^2(D)]=-[A^d]. \end{aligned}$$
Si de plus le paramètre \((\delta _i)\) de \(D\) est dans \({\mathcal T }^{\mathrm{reg}}(A)^d\), alors \(H^0(D)=H^2(D)=0\) et \(H^1(D)\) est libre de rang \(d\) sur \(A\). Enfin, si \(D=\mathcal R _A(\delta )\) avec \(\delta \in {\mathcal T }^{\mathrm{reg}}(A)\), les quatre morphismes naturels
$$\begin{aligned} (D^+)^{\psi =0}/(\gamma -1) \!\leftarrow \!C(D^+)/(\gamma -1)\!\rightarrow \!C(D)/(\gamma \!-\!1)\!\leftarrow \!D^{\psi =1}/(\gamma \!-\!1)\!\rightarrow \!H^1(D) \end{aligned}$$
sont des isomorphismes, un générateur de \((D^+)^{\psi =0}/(\gamma -1)\) étant donné par la classe de \(1+T\).

 

Preuve

Par récurrence sur \(d\) et en utilisant la suite longue de cohomologie, on peut supposer que \(d=1\), i.e. \(D=\mathcal R _A(\delta )\). On a déjà vu que \(D^{\varphi =1}\) et \(D/(\psi -1)\) sont de type fini sur \(A\), et donc à plus forte raison que \(H^0(D)\) et \(H^2(D)\) le sont aussi. Pour vérifier le premier point du théorème, et compte tenu du dévissage donné par la proposition 2.3, il suffit donc de démontrer que \(C(D)/(\gamma -1)\) est de type fini sur \(A\) et de classe \([A]\) dans \(K(A)\). (On rappelle que si \(X\) est un \(A\)-module de type fini et \(u \in \mathrm End _A(X)\) alors la multiplication par \(u\) sur \(X\) implique l’identité \([X^{u=0}]=[X/u(X)]\) dans \(K(A)\).) Les deux suites exactes données par le lemme 2.17 (ii) et la proposition 2.20 induisent des suites exactes
$$\begin{aligned}&0 \longrightarrow \text{ Pol}(\mathbb Z _p,A)^{\delta (p)^{-1}\psi =1,\gamma =1} \longrightarrow C(D^+)/(\gamma -1) \nonumber \\&\quad \longrightarrow C(D)/(\gamma -1) \overset{(1-\varphi )^{-1} C}{\longrightarrow } \text{ Pol}(\mathbb Z _p,A)^{\delta (p)^{-1}\psi =1}/(\gamma -1) \longrightarrow 0. \end{aligned}$$
(2.1)
$$\begin{aligned}&0 \longrightarrow (\oplus _{i=0}^{k-1} A/(1-\delta (p)p^i) \ \cdot \widetilde{\delta x^i})^{\gamma =1} \longrightarrow C(D)^+/(\gamma -1) \nonumber \\&\quad \longrightarrow \mathcal R _A^+(\Gamma )\cdot (1\!+\!T)/(\gamma \!-\!1) \overset{J_k}{\longrightarrow } (\oplus _{i=0}^{k-1} A/(1\!-\!\delta (p)p^i) \ \cdot \widetilde{\delta x^i})/(\gamma -1) \longrightarrow 0\nonumber \\ \end{aligned}$$
(2.2)
car \(\gamma -1\) est injectif sur \(C(D)\) et \((\mathcal R _A^+(\delta ))^{\psi =0}\) (théorème 2.4). On conclut car \(\mathcal R _A^+(\Gamma )/(\gamma -1)=A\) (lemme 2.18 pour \(\delta =1\)).

Supposons maintenant \(\delta \) régulier. Dans ce cas, les noyaux et conoyaux de \(\gamma -1\) sur \(D^{\varphi =1},D/(\psi -1), \text{ Pol} (\mathbb Z _p,A)^{\delta (p)^{-1}\psi =1}\) et \(\oplus _{i\ge 0} A/(1-\delta (p)p^i) \widetilde{\delta x^i}\) sont tous nuls par hypothèse. En effet, si \(a, b \in A\) sont tels que \((a,b)=A\), alors la multiplication par \(a\) est bijective sur \(A/bA\) et \(A[b]\) (la \(b\)-torsion dans \(A\)): si \(au+bv=1\) la multiplication par \(u\) en est un inverse. Cela montre que \(H^0(D)=H^2(D)=0\) puis que les quatre flèches de l’énoncé sont des isomorphismes. En particulier, \(H^1(D)\) est isomorphe à \(\mathcal R _A^+(\Gamma )/(\gamma -1)=A\).\(\square \)

 

Théorème 2.30

Soient \(A \rightarrow B\) un morphisme de \(\mathbb Q _p\)-algèbres affinoïdes et \(D\) un \((\varphi ,\Gamma )\)-module triangulin sur \(\mathcal R _A\). Supposons que \(A \rightarrow B\) est plat ou que le paramètre de \(D\) est régulier. Alors pour tout entier \(i\) l’application naturelle
$$\begin{aligned} H^i(D) \otimes _A B \longrightarrow H^i(D \widehat{\otimes }_A B) \end{aligned}$$
est un isomorphisme.

 

Preuve

L’application de l’énoncé est celle déduite du \(A\)-morphisme de complexes \(C_{\varphi ,\gamma }(D)^\bullet \rightarrow C_{\varphi ,\gamma }(D \widehat{\otimes }_A B)^\bullet \). En particulier, si l’on a une suite exacte de \((\varphi ,\Gamma )\)-modules sur \(\mathcal R _A\) disons \(0 \rightarrow D_1 \rightarrow D_2 \rightarrow D_3 \rightarrow 0\), et donc une suite exacte \(0 \rightarrow D_1 \widehat{\otimes }_A B \rightarrow D_2 \widehat{\otimes }_A B \rightarrow D_3 \widehat{\otimes }_A B \rightarrow 0\), on dispose d’une morphisme \(A\)-linéaire naturel entre les suites exactes longues de cohomologie. Il vient que par dévissage et par le lemme des \(5\), on peut supposer \(D=\mathcal R _A(\delta )\) est de rang \(1\).

Soit \(\delta \in {\mathcal T }(A)\), on note \(\delta _B\) l’image de \(\delta \) dans \({\mathcal T }(B)\). Remarquons que si \(F(\delta )\) désigne le \(A[\varphi ,\Gamma ]\)-module \(A[t](\delta )\) et \(\text{ Pol}(\mathbb Z _p,A)(\delta )\), alors l’application naturelle \(F(\delta ) \otimes _A B \rightarrow F(\delta _B)\) est un isomorphisme. En particulier, pour \(*\in \{\varphi ,\psi \}\) et si \(C_{*,\gamma }(F(\delta ))\) désigne le complexe à trois termes évident, dont on désignera par \(H^i_*(F(\delta ))\) le \(A\)-module de cohomologie, et si \(A \rightarrow B\) est plat, alors
$$\begin{aligned} H^i_*(F(\delta )) \otimes _A B \overset{\sim }{\rightarrow }H^i_*(F(\delta )\otimes _A B) \overset{\sim }{\rightarrow }H^i_*(F(\delta _B)). \end{aligned}$$
Mais on a défini (Proposition 2.10) des isomorphismes naturels \(H^0_\varphi (F(\delta )) \overset{\sim }{\rightarrow }H^0(\mathcal R _A (\delta ))\) et \(H^2(\mathcal R _A(\delta )) \overset{\sim }{\rightarrow }H^2_\psi (F(\delta ))\) (\(F\) valant respectivement \(A[t]\) dans le premier cas et \(\text{ Pol}\) dans le second), le théorème en découle pour \(i=0,2\).
Supposons toujours \(D=\mathcal R _A(\delta )\). Par un argument similaire à celui ci-dessus utilisant les suites exactes (2.1) et (2.2), et le fait que la formation des modules \((D^+)^{\psi =0},D^{\psi =1},C(D)\) et \(C(D^+)\) est fonctorielle en \(A\), ainsi donc que leurs quotients par \(\gamma -1\), le théorème suit dans le cas \(i=1\) si l’on montre que pour tout morphisme \(A \rightarrow B\) l’application naturelle
$$\begin{aligned} f : (\mathcal R _A^+(\delta ))^{\psi =0}/(\gamma -1) \otimes _A B \rightarrow (\mathcal R _B^+(\delta _B))^{\psi =0}/(\gamma -1) \end{aligned}$$
est un isomorphisme. Mais on a déjà vu que \(\mathcal R _A^+(\delta )^{\psi =0}\) est libre sur \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\) engendré par \(1+T\), de sorte que son quotient par \(\gamma -1\) est libre sur \(A\) engendré par la classe \(\overline{1+T}\) de \(1+T\). Mais par construction \(f\) provient par quotient du morphisme évident \(\mathcal R _A^+(\delta )^{\psi =0} \rightarrow \mathcal R _B^+(\delta _B)^{\psi =0}\) qui envoie \(1+T\) sur \(1+T\).\(\square \)

Remarquons que jusqu’ici nous n’avons pas donné d’énoncé exact sur la structure de \(H^1(\mathcal R _A(\delta ))\) quand \(\delta \) n’est pas régulier. Si l’on concatène les suites exactes données par la proposition 2.3 et les formules (2.1) et (2.2) nous en obtenons un dévissage explicite, bien que peu ragoûtant en général. Ce dévissage se simplifie dans le cas utile suivant.

Définition 2.31

On dit que \(\delta \in {\mathcal T }(A)\) est bien plaçé si :
  1. (i)

    pour tout \(i \in \mathbb Z \), alors \(1-\delta (p)p^i\) est non diviseur de \(0\) dans \(A\),

     
  2. (ii)

    pour tout \(i \ge 0\), l’image de \(1-\delta (\gamma )\gamma ^{1-i}\) dans10\(A/(1-\delta (p)p^{-i})\) est non diviseur de \(0\).

     

 

Proposition 2.32

Si \(\delta \in {\mathcal T }(A)\) est bien plaçé et \(D=\mathcal R _A(\delta )\), alors \(H^0(D)=0\) et les morphismes naturels
$$\begin{aligned} C(D^+)/(\gamma -1) \rightarrow C(D)/(\gamma -1) \leftarrow D^{\psi =1}/(\gamma -1) \rightarrow H^1(D) \end{aligned}$$
sont des isomorphismes. On a de plus une suite exacte naturelle de \(A\)-modules
$$\begin{aligned} 0&\longrightarrow \prod _{i\ge 0} (A/(1-\delta (p)p^i))[1-\delta (\gamma )\gamma ^i] \longrightarrow H^1(D)\\&\longrightarrow\bigcap _{i\ge 0} (1-\delta (p)p^i, 1-\delta (\gamma )\gamma ^i) \longrightarrow 0. \end{aligned}$$

L’intersection dans le terme de droite de cette dernière suite est sous-entendue à l’intérieur de \(A\) (c’est donc un idéal de \(A\)).

Preuve

En effet, l’annulation de \(D^{\varphi =1}\), \((D/(\psi -1))^{\gamma =1}\) et \(\text{ Pol}(\mathbb Z _p,A)^{\delta (p)^{-1}\psi =1}\) équivaut au caractère bien placé de \(\delta \), et on conclut la première assertion par la proposition 2.3 et la suite exacte (2.1). D’après la proposition 2.20, on a une suite exacte de \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\)-modules
$$\begin{aligned} 0 \longrightarrow C(D^+) \longrightarrow \mathcal R _A^+(\Gamma ) \longrightarrow \prod _{i\ge 0} A/(1-\delta (p)p^i)(\widetilde{\delta x^i})\longrightarrow 0 \end{aligned}$$
dont la dernière assertion se déduit en appliquant \(\gamma =1\), en utilisant que \((\gamma -1)\) est injectif sur \(\mathcal R _A^+(\Gamma )\) (lemme 2.18 pour \(\delta =1\)). (Quand \(p=2\) l’argument ci-dessus et l’énoncé ne sont évidemment pas tout à fait corrects).\(\square \)

Terminons par un cas particulier important concernant le caractère universel. Si \(U \subset {\mathcal T }\) est un ouvert affinoïde, on désigne par \(\delta _U \in {\mathcal T }(U)\) le caractère tautologique.

Théorème 2.33

Pour tout ouvert affinoïde \(U \subset {\mathcal T }\), \(H^0(\mathcal R _U(\delta _U))=0\) et le \(\mathcal O (U)\)-module \(H^1(\mathcal R _U(\delta _U))\) s’identifie naturellement à l’idéal de \(\mathcal O (U)\) constitué des fonctions qui s’annulent en tous les points de \(U\) paramétrant les caractères de la forme \(x^{-i}\) pour \(i\ge 0\).

De plus, pour tout \(z \in U\), de caractère associé \(\delta _z\), l’application naturelle
$$\begin{aligned} H^1(\mathcal R _U(\delta _U))\otimes _{\mathcal O (U)}k(z) \longrightarrow H^1(\mathcal R _{k(z)}(\delta _z)) \end{aligned}$$
est un isomorphisme, à moins que \(\delta _z\) ne soit de la forme \(\chi x^i\) avec \(i\ge 0\), auquel cas cette application est nulle.
Plus précisément, supposons que le seul point non régulier de \(U\), disons \(u \in U\), paramètre un caractère de la forme \(\chi x^i\) avec \(i\ge 0\) et soit \(m=m_u \subset \mathcal O (U)\) l’idéal maximal des fonctions s’annulant en ce point. On a \(k(u)=\mathbb Q _p\) et on considère l’espace tangent \(T_u=\mathrm Hom _{\mathbb Q _p}(m/m^2,\mathbb Q _p)\). Alors :
  1. (i)

    Le morphisme naturel \(H^1(m \mathcal R _U(\delta _U)) \rightarrow H^1(\mathcal R _U(\delta _U))\) est un isomorphisme entre \(\mathcal O (U)\)-modules libres de rang \(1\),

     
  2. (ii)
    Le \(\mathcal O (U)\)-morphisme canonique \(m \rightarrow m/m^2\) induit une injection
    $$\begin{aligned} H^1(m \mathcal R _U(\delta _U)) \otimes _{\mathcal O (U)} k(u) \longrightarrow \mathrm Hom _{\mathbb Q _p}(T_u,H^1(\mathcal R (\chi x^i))) \end{aligned}$$
    dont l’image est une droite constituée d’isomorphismes. En particulier, cette droite induit une isomorphisme canonique \( \mathbb P (T_u) \overset{\sim }{\rightarrow }\mathbb P (H^1(\mathcal R (\chi x^i)))\) entre espaces projectifs sur \(\mathbb Q _p\) de dimension \(1\).
     

On notera le rôle non symétrique joué ici par les points singuliers de la forme \(x^{-i}\) et ceux de la forme \(\chi x^i\). Nous préciserons un peu plus loin ce théorème en introduisant l’éclaté de \(U\) aux points non réguliers, ce qui nous permettra notamment de comprendre complètement la structure analytique de l’espace des \((\varphi ,\Gamma )\)-modules triangulins de rang \(2\), y compris au voisinage des points de paramètres singuliers de type \(\chi x^i\) : c’est exactement la structure suggérée par Colmez dans sa définition de l’espace des triangulines en rang \(2\).

Preuve

Le caractère \(\delta _U\) est évidemment bien placé. De même, pour tout \(i \ge 0\) l’élément \(1-\delta (\gamma )\gamma ^i\) n’est pas diviseur de zéro sur l’anneau (localement intègre) \(\mathcal O (U)/(1-\delta (p)p^i)\). La première assertion découle donc de la proposition 2.32, vérifions la seconde. Le théorème 2.30 conclut si \(z\) est régulier. Supposons donc \(z\) singulier et aussi, ce qui est loisible par ce même théorème (changement de base plat), que \(z\) est le seul point singulier de \(U\). Si \(m \subset \mathcal O (U)\) désigne l’idéal maximal des fonctions qui s’annulent en \(z\), alors il est classique que si \(a=\delta _U(p)-\delta _z(p)\) et \(b=\delta _U(\gamma )-\delta _z(\gamma )\) alors \(m=(a,b)\) et on a des suites exactes
$$\begin{aligned} 0 \longrightarrow \mathcal O (U) \overset{f\mapsto (af,bf)}{\longrightarrow } \mathcal O (U)^2 \overset{(f,g) \mapsto af-bg}{\longrightarrow } m \longrightarrow 0, \end{aligned}$$
et
$$\begin{aligned} 0 \longrightarrow m \longrightarrow \mathcal O (U) \longrightarrow k(z) \longrightarrow 0. \end{aligned}$$
Comme \(\mathcal R _U\) est plat sur \(\mathcal O (U)\) (lemme 1.3 (vi)), ces suites restent exactes après \(- \otimes _{\mathcal O (U)} D,D=\mathcal R _U(\delta _U)\), de sorte qu’en prenant la suite longue de cohomologie on obtienne des suites exactes de \(\mathcal O (U)\)-modules
$$\begin{aligned}&0 \longrightarrow H^0(mD) \longrightarrow H^1(D) \overset{(a,b)}{\longrightarrow } H^1(D)^2 \longrightarrow H^1(mD) \longrightarrow H^2(D)\\&\quad \overset{(a,b)}{\longrightarrow } H^2(D)^2 \longrightarrow H^2(mD) \longrightarrow 0,\\&0 \longrightarrow H^0(D_z) \longrightarrow H^1(mD) \longrightarrow H^1(D) \longrightarrow H^1(D_z) \longrightarrow H^2(mD)\\&\quad \longrightarrow H^2(D) \longrightarrow H^2(D_z) \longrightarrow 0. \end{aligned}$$
On a utilisé que \(D \otimes _{\mathcal O (U)} m = mD\) (platitude de \(\mathcal R _U\) sur \(\mathcal O (U)\)).

Si \(\delta _z=x^{-i}\), alors la proposition 2.10 assure que \(H^2(D)=H^2(D_z)=0\). On déduit des suites ci-dessus qu’alors \(H^2(mD)=0\) puis que \(H^1(D) \rightarrow H^1(D_z)\) est surjectif. Comme \(H^1(D) \simeq m\) et que \(m/m^2\) et \(H^1(D_z)\) sont de dimension \(2\) sur \(k(z)\), l’application \(H^1(D) \otimes _{\mathcal O (U)}k(z) \rightarrow H^1(D_z)\) est un isomorphisme.

Si \(\delta _z=\chi x^i\), la proposition 2.10 assure que \(H^2(D) \simeq k(z)\) est tué par \(m\), de sorte que la flèche \(H^2(D) \rightarrow H^2(D)^2\) ci-dessus est nulle. Ainsi, \(H^2(D)^2 \overset{\sim }{\rightarrow }H^2(mD)\) et ce dernier est isomorphe à \(k(z)^2\). Comme d’autre part \(H^2(D) \rightarrow H^2(D_z)\) est un isomorphisme (car surjectif), on en déduit que \(H^1(D_z) \longrightarrow H^2(mD)\) est surjective : c’est donc un isomorphisme pour des raisons de dimension. Ainsi, \(H^1(D) \rightarrow H^1(D_z)\) est nul. Comme \(H^0(D_z)=0\) on en déduit enfin \(H^1(mD)=H^1(D)\) : il ne reste qu’à prouver le (ii) du théorème.

Comme \(m/m^2\) est annulé par \(m\), il vient que \(D \otimes _{\mathcal O (U)}(m/m^2)= D_z \otimes _{\mathbb Q _p} (m/m^2)\) (avec action de \(\varphi \) et \(\Gamma \)). On en déduit pour tout \(i\) un isomorphisme canonique de \(\mathcal O (U)\)-modules
$$\begin{aligned} H^i(D \otimes _{\mathcal O (U)}(m/m^2)) \overset{\sim }{\rightarrow }H^i(D_z) \otimes _{\mathbb Q _p} (m/m^2) \overset{\sim }{\rightarrow }{\rm Hom} _{\mathbb Q _p}(T_z,H^i(D_z)). \end{aligned}$$
Considérons le morphisme
$$\begin{aligned} \mu : H^1(mD) \rightarrow H^1(D\otimes _{\mathcal O (U)}m/m^2) = {\rm Hom} _{\mathbb Q _p}(T_z,H^1(D_z)) \end{aligned}$$
déduit du morphisme naturel \(mD \rightarrow mD/m^2D=(m/m^2)\otimes _{\mathcal O (U)}D\) (on rappelle que \(\mathcal R _U\) est plat sur \(\mathcal O (U)\)). D’après la première partie du théorème, \(H^1(mD)=H^1(D)\) est libre de rang \(1\) sur \(\mathcal O (U)\). Choisissons \(e \in H^1(mD)\) un générateur. Nous allons démontrer que \(\mu (e) : T_z \rightarrow H^1(D_z)\) est injective, et donc bijective car \(T_z\) et \(H^1(D_z)\) sont de même dimension \(2\). Cela concluera la démonstration.
Fixons \(L \in T_z\) non nul. Notons \(L^*\) la composée \(mD \overset{\mathrm{can}}{\longrightarrow } (m/m^2) \otimes _{\mathbb Q _p} D_z \overset{L \otimes 1}{\longrightarrow }D_z\). L’élément \(\mu (e)(L)\) est par définition l’image de \(e\) par le morphisme \(H^1(mD) \overset{H^1(L^*)}{\longrightarrow } H^1(D_z)\) et il faut donc voir que ce morphisme est non nul. Soit \(m^2 \subset J \subset m\) tel que \(J/m^2\) soit le noyau de \(L\). On a \(m/J \simeq k(z)\) car \(L\) est non nul. La suite exacte de \(\mathcal O (U)\)-modules \(0 \rightarrow J \rightarrow m \rightarrow m/J \rightarrow 0\) reste exacte après extension des scalaires à \(\mathcal R _U\), de sorte que l’on dispose d’une suite exacte longue de \(\mathcal O (U)\)-modules
$$\begin{aligned} H^1(mD) \overset{H^1(L^*)}{\longrightarrow } H^1(D_z) \rightarrow H^2(JD) \rightarrow H^2(mD) \overset{H^2(L^*)}{\longrightarrow } H^2(D_z) \longrightarrow 0. \end{aligned}$$
Il faut voir que le noyau de la flèche \(H^1(D_z) \rightarrow H^2(JD)\) est non nul. La suite étant exacte il suffit de compter les dimensions. On a déjà vu que \(H^1(D_z) \simeq H^2(mD)\) et \(H^2(D_z)\) sont de \(\mathbb Q _p\)-dimensions respectives \(2\) et \(1\), il suffit donc de voir que \(H^2(JD)\) est de dimension \(\le 2\) sur \(\mathbb Q _p\). Mais tout comme \(m\), l’idéal \(J\) a deux générateurs, d’où l’on tire une surjection \(D^2 \rightarrow JD \rightarrow 0\), puis \(H^2(D)^2 \rightarrow H^2(JD) \rightarrow 0\), ce qui conclut car \(H^2(D) \simeq k(z)\).\(\square \)

 

3 L’espace des \((\varphi ,\Gamma )\)-modules triangulins sur \(\mathcal R _A\)

3.1 \((\varphi ,\Gamma )\)-modules triangulins réguliers rigidifiés

Fixons \(d\ge 1\) un entier. L’espace \({\mathcal T }^d\) est muni d’une famille universelle \((\widetilde{\delta }_i)\) de caractères \(\widetilde{\delta }_i : \mathbb Q _p^*\rightarrow \mathcal O ({\mathcal T }^d)^*\). On notera
$$\begin{aligned} {\mathcal T }^{\mathrm{reg}}_d \subset {\mathcal T }^d \end{aligned}$$
l’ouvert admissible (en fait, de Zariski) défini par les relations \(\widetilde{\delta }_i/\widetilde{\delta }_j \in {\mathcal T }^{\mathrm{reg}}\) pour tout \(1 \le i < j \le d\). Par définition, si \(A\) est une algèbre affinoïde alors \({\mathcal T }_d^{\mathrm{reg}}(A)\) est donc le sous-ensemble des \((\delta _i) \in {\mathcal T }(A)^d\) tels que \(\delta _i/\delta _j \in {\mathcal T }^{\mathrm{reg}}(A)\) pour tout \(1\le i < j\le d\).

Définition 3.2

Un \((\varphi ,\Gamma )\)-module triangulin régulier rigidifié est un triplet \((D,\text{ Fil}_\bullet (D),\nu )\) sur \(\mathcal R _A\) où :
  • \((D,\text{ Fil}_\bullet (D))\) est un \((\varphi ,\Gamma )\)-module triangulin sur \(\mathcal R _A\) dont le paramètre \((\delta _i)\) est dans \({\mathcal T }_d^{\mathrm{reg}}(A)\) (condition de régularité),

  • \(\nu =(\nu _i)\) est une famille d’isomorphismes \(\nu _i : \text{ Fil}_{i+1}(D)/\text{ Fil}_i (D) \overset{\sim }{\rightarrow }\mathcal R _A(\delta _i)\) dans \((\varphi ,\Gamma )/A\) pour \(i=0,\ldots ,\text{ rang}_{\mathcal R _A}(D)-1\) (rigidification).

Deux tels triplets \((D,\text{ Fil}_\bullet (D),\nu )\) et \((D^{\prime },\text{ Fil}_\bullet (D^{\prime }),\nu ^{\prime })\) seront dit équivalents si il existe un isomorphisme \(f: D \rightarrow D^{\prime }\) dans \((\varphi ,\Gamma )/A\) envoyant \(\text{ Fil}_i(D)\) sur \(\text{ Fil}_i(D^{\prime })\) pour tout \(i\) (auquel cas \(D\) et \(D^{\prime }\) ont mème paramètre) et tel que \(\nu ^{\prime }_i \quad \text{ o} \quad f = \nu _i\) pour tout \(i=0,\ldots ,\text{ rang}_{\mathcal R _A}(D)-1\).
Considérons le foncteur
$$\begin{aligned} F_d^\square : \text{ Aff}\longrightarrow \text{ Ens} \end{aligned}$$
de la catégorie \(\text{ Aff}\) des \(\mathbb Q _p\)-algèbres affinoïdes vers celle \(\text{ Ens}\) des ensembles associant à chaque objet \(A\) l’ensemble11 des classes d’équivalence de \((\varphi ,\Gamma )\)-modules triangulins réguliers rigidifiés sur \(\mathcal R _A\). Si \(u=(D,\text{ Fil}_\bullet (D),\nu ) \in F_d^\square (A)\) et si \(f: A \rightarrow B\) est un morphisme dans \(\text{ Aff}\), on pose bien entendu
$$\begin{aligned} F_d^\square (f)(u)=(D\widehat{\otimes }_A B,(\text{ Fil}_i(D) \widehat{\otimes }_A B), (\nu _i \otimes _{\mathcal R _A} \mathcal R _B)) \in F_d^\square (B), \end{aligned}$$
ce qui fait bien de \(F_d^\square \) un foncteur covariant. Le paramètre fournit un morphisme de foncteurs \(\delta : F_d^\square \rightarrow {\mathcal T }_d^{\mathrm{reg}}\).

Théorème 3.3

Le foncteur \(F_d^\square \) est représentable par un espace analytique \(p\)-adique \(\mathcal S _d^\square \). Le morphisme \(\delta : \mathcal S _d^\square \rightarrow {\mathcal T }_d^{\mathrm{reg}}\) est lisse de dimension relative \(\frac{d(d-1)}{2}\). L’espace \(\mathcal S _d^\square \) est irréductible, régulier, et équidimensionnel de dimension \(\frac{d(d+3)}{2}\).

Nous aurons besoin du lemme suivant.

Lemme 3.4

(Rigidité) Soient \((D,\text{ Fil}_\bullet (D),\nu )\) et \((D^{\prime },\text{ Fil}_\bullet (D^{\prime }),\nu ^{\prime })\) des \((\varphi ,\Gamma )\)-modules triangulins réguliers rigidifiés sur \(\mathcal R _A\). S’ils sont équivalents, alors il existe une unique équivalence entre eux.

 

Preuve

On peut supposer \((D,\text{ Fil}_\bullet (D),\nu )=(D^{\prime },\text{ Fil}_\bullet (D^{\prime }),\nu ^{\prime })\) et il s’agit de voir que ce triplet a pour seule auto-équivalence l’identité. Si \(f : D \rightarrow D\) en est une, alors par hypothèse \(f(\text{ Fil}_i(D))=\text{ Fil}_i(D)\) et \(f\) induit l’identité sur chaque \(\text{ Fil}_{i+1}(D)/\text{ Fil}_i(D)\). Ainsi, \(u:=f-\text{ id} \in \mathrm End _{(\varphi ,\Gamma )/A}(D)\) a la propriété que \(u(\text{ Fil}_{i+1}(D)) \subset \text{ Fil}_i(D)\) pour tout \(i<\text{ rang}_{\mathcal R _A}(D)\). Pour voir que \(u=0\) il suffit donc de voir que
$$\begin{aligned} {\rm Hom} _{(\varphi ,\Gamma )/A}(\mathcal R _A(\delta _j),\mathcal R _A(\delta _i))=0 \end{aligned}$$
dès que \(j>i\), soit encore que \(H^0(\mathcal R _A(\delta _i\delta _j^{-1})=0\) sous cette hypothèse. Mais ceci vient de ce que \(\delta _i\delta _j^{-1}\) est régulier et du théorème 2.29.\(\square \)
Démontrons maintenant le théorème. Quand \(d=1,F_d^\square ={\mathcal T }\) et le résultat est évident. Pour \(d\ge 2\) on procède par récurrence sur \(d\). On dispose d’un morphisme de foncteurs évident \(F_d^\square \rightarrow F_{d-1}^\square \times F_1^\square = \mathcal S _{d-1}^\square \times {\mathcal T }\), associant à la classe de \((D,\text{ Fil}_\bullet (D),\nu ) \in F_d^\square (A)\) la paire formée de la classe de \((\text{ Fil}_{d-1}(D),(\text{ Fil}_i(D))_{i\le d-1}, (\nu _i)_{1\le i \le d-1})\) et de \(\delta _d\). Il se factorise par l’ouvert Zariski
$$\begin{aligned} U_d \subset \mathcal S _{d-1}^\square \times {\mathcal T }\end{aligned}$$
qui est l’image inverse de l’ouvert \({\mathcal T }_d^{\mathrm{reg}} \subset {\mathcal T }_{d-1}^{\mathrm{reg}} \times {\mathcal T }\) par le morphisme paramètre \(\pi _d: \mathcal S _{d-1}^\square \times {\mathcal T }\rightarrow {\mathcal T }_{d-1}^{\mathrm{reg}} \times {\mathcal T }\). Nous allons démontrer que le morphisme ci-dessus \(F_d^\square \rightarrow U_{d}\) est relativement représentable par un fibré vectoriel de rang \(d-1\), ce qui provera le théorème. Le fibré en question sera trivial au dessus de tout ouvert affinoïde de \(U_d\).
Nous aurons besoin d’un sorite préliminaire. Soient \(A\) une \(\mathbb Q _p\)-algèbre affinoïde et \(u=(c_A,\delta _d) \in U_d(A)\) et \(x=(D_A,\text{ Fil}_\bullet ,\nu )\) un représentant de la classe \(c_A\). Considérons le \(A\)-module \(M(x)=H^1(D_A(\delta _d^{-1}))\). Si \(y=(D^{\prime }_A,\text{ Fil}_\bullet ,\nu ^{\prime })\) est équivalent à \(x\), l’unique équivalence \(y \rightarrow x\) identifie donc canoniquement \(M(y)\) et \(M(x)\). Ainsi, il y a un sens à définir le \(A\)-module \(M(u)\) associé à un élément \(u \in U_d(A)\) comme étant le \(A\)-module \(M(x)\) d’un quelconque représentant. On vérifie de suite que si \(A \rightarrow B\) est un morphisme entre algèbres affinoïdes, alors pour tout \(u_A \in U_d(A)\), d’image \(u_B \in U_d(B)\), on dispose d’un morphisme canonique
$$\begin{aligned} M(u_A) \otimes _A B \longrightarrow M(u_B) \end{aligned}$$
défini de manière évidente sur les représentants. Les théorèmes 2.30 et 2.29 assurent que c’est un isomorphisme entre modules libres de rang \(d-1\). En particulier \(\Omega \mapsto M(\Omega )\), pour \(\Omega \subset U_d\) ouvert affinoïde, définit un faisceau cohérent sur \(U_d\) tel qu’en fait \(M(\Omega )\) est libre de rang \(d-1\) sur \(\mathcal O (\Omega )\) pour tout \(\Omega \). On note encore \({\mathcal M }\) ce faisceau cohérent sur \(U_d\). D’après ce que nous venons de voir, si \(u \in U_d(A)\), alors on a une identification canonique
$$\begin{aligned} u^*({\mathcal M })(A)=M(u). \end{aligned}$$
(3.1)
Considérons alors
$$\begin{aligned} \eta : \mathcal S _d^\square : = \text{ Spec}_{U_d}^{\mathrm{an}}(\text{ Symm}\quad {\mathcal M }^\vee ) \rightarrow U_d \end{aligned}$$
le spec relatif analytique de la \(\mathcal O _{U_d}\)-algèbre quasi-cohérente \(\text{ Symm} {\mathcal M }^\vee \) (voir [22, §2.2]) : c’est le fibré vectoriel sur \(U_d\) associé à \({\mathcal M }^\vee \). Par la propriété universelle de cette construction, pour toute algèbre affinoïde \(A\) et tout \(u \in U_d(A)\), disons \(u=([(D_A,\text{ Fil}_\bullet ,\nu )],\delta _d)\), on a des identifications canoniques
$$\begin{aligned} \{ v \in \mathcal S _d^\square (A), \eta (v)=u\}&= {\rm Hom} _A(u^*({\mathcal M }^\vee )(A),A)=u^*({\mathcal M })(A)=H^1(u) \\&\overset{\sim }{\rightarrow }\text{ Ext}(\mathcal R _A(\delta _d),D_A). \end{aligned}$$
Cela définit un morphisme de foncteurs \(\mathcal S _d^\square \rightarrow F_d^\square \) au dessus de \(U_d\) : on associe à une paire formée d’un élément \(([(D_A,\text{ Fil}_\bullet ,\nu )],\delta _d) \in U_d(A)\) et d’une classe \(E \in \text{ Ext}(\mathcal R _A(\delta _d),D_A)\), que l’on voit comme la donnée d’une suite exacte
$$\begin{aligned} 0 \longrightarrow D_A \overset{\iota }{\longrightarrow } E \overset{\pi }{\longrightarrow } \mathcal R _A(\delta ) \longrightarrow 0, \end{aligned}$$
la classe du \((\varphi ,\Gamma )\)-module triangulin \(E\) avec \(\text{ Fil}_i(E):=\iota (\text{ Fil}_i(D_A))\) et \(\nu _i \cdot \iota ^{-1}=:\nu _i\) pour \(i\le d-1\), et \(\text{ Fil}_{d}(E)=E\) et \(\nu _{d}=\pi \). Il est immédiat que \(\mathcal S _d^\square \rightarrow F_d^\square \) est un isomorphisme de foncteurs. \(\square \)

Notons \(\mathbb D ^r\) la boule unité affinoïde fermée de rayon \(1\) sur \(\mathbb Q _p\), d’algèbre \(\mathbb Q _p\langle t_1, \ldots ,t_r\rangle \).

Corollaire 3.5

Si \(x \in S_d^\square \), il existe un voisinage ouvert affinoïde \(U\) de \(x\) dans \(S_d^\square \), un voisinage ouvert affinoïde \(\Omega \) de \(\delta (x)\) dans \({\mathcal T }_d^{\mathrm{reg}}\), et un isomorphisme
$$\begin{aligned} \iota :U \overset{\sim }{\rightarrow }\Omega \times {\mathbb D }^{\frac{d(d-1)}{2}} \end{aligned}$$
tels que \(\text{ pr}_2 \cdot \iota = \delta \).

 

Preuve

Par définition, si \(E\) est un fibré vectoriel sur un espace rigide \(Y\) alors pour tout \(y \in Y\) on peut trouver un voisinage ouvert \(W\) de \(y\) dans \(Y\) tel que \(W \times _Y E \overset{\sim }{\rightarrow }W \times \mathbb A ^m\) comme fibré. Le corollaire découle alors de la construction inductive de \(\mathcal S _d^\square \) établie ci-dessus.\(\square \)

 

3.2 \((\varphi ,\Gamma )\)-modules triangulins réguliers non rigidifiés

Bien que ce ne soit pas nécessaire pour le théorème principal de cet article, il est naturel de considérer le foncteur
$$\begin{aligned} F_d : \text{ Aff}\rightarrow \text{ Ens} \end{aligned}$$
\(F_d(A)\) est l’ensemble des classes d’équivalence de \((\varphi ,\Gamma )\)-modules triangulins \((D,\text{ Fil}_\bullet (D))\) sur \(\mathcal R _A\) dont le paramètre est dans \({\mathcal T }_d^{\mathrm{reg}}(A)\) (sans rigidification). La notion d’équivalence utilisée ici est celle dans \((\varphi ,\Gamma )/A\) avec préservation de la filtration.
Pour éliminer les auto-équivalences des objets paramétrés par \(F_d\) il est nécessaire de se restreindre à un sous-foncteur adéquat. Si \(L\) est une extension finie de \(\mathbb Q _p\) et si \((D,\text{ Fil}_\bullet (D))\) est un \((\varphi ,\Gamma )\)-module triangulin sur \(\mathcal R _L\), on dira que \(D\) est non scindé si pour tout \(0 \le i < \text{ rg}_{\mathcal R _L}(D)\), l’extension
$$\begin{aligned} 0 \longrightarrow \text{ Fil}_i(D) \longrightarrow \text{ Fil}_{i+1}(D) \rightarrow \text{ Fil}_{i+1}(D)/\text{ Fil}_i(D) \longrightarrow 0 \end{aligned}$$
n’est pas scindée dans \((\varphi ,\Gamma )/L\). Si \((D,\text{ Fil}_\bullet (D))\) est un \((\varphi ,\Gamma )\)-module triangulin sur \(\mathcal R _A\), on dira que \(D\) est partout non scindé si pour tout \(x \in \text{ Sp}(A),(D_x,\text{ Fil}_\bullet (D)_x)\) est non scindée. Si un \((\varphi ,\Gamma )\)-module \(D\) triangulin sur \(\mathcal R _A\) est partout non scindé et si \(B\) est une \(A\)-algèbre affinoïde, alors \(D \widehat{\otimes }_A B\) est aussi partout non scindé vu comme \((\varphi ,\Gamma )\)-module triangulin sur \(\mathcal R _B\). On dispose donc d’un sous-foncteur
$$\begin{aligned} F_d^{\mathrm{ns}} \subset F_d \end{aligned}$$
paramétrant les \((\varphi ,\Gamma )\)-modules triangulins réguliers partout non scindés, et idem pour \(F_d^{\square ,{\mathrm{ns}}} \subset F_d^\square \). L’oubli de la rigidification définit un morphisme de foncteurs
$$\begin{aligned} \eta : F_d^\square \rightarrow F_d \end{aligned}$$
qui est surjectif sur les points. Soit \(G_d=\mathbb G _m^d/\mathbb G _m\) (plongé diagonalement) vu comme tore rigide analytique sur \(\mathbb Q _p\). On dispose enfin d’une action de \(G_d\) sur \(F_d^\square \) agissant sur les rigidifications : \((a_i)\cdot [(D,\text{ Fil}_\bullet (D),(\nu _i))]:=[(D,\text{ Fil}_\bullet (D),(a_i \cdot \nu _i))]\). Cette action se factorise bien par \(G\) car si \(a \in A^*\) et \(x\) est un représentant d’une classe de \(F_d^\square (A)\) alors \((a,a,\ldots ,a)\cdot x\) est équivalent à \(x\) via la multiplication par \(a\). Elle préserve \(F_d^{\square , {\mathrm{ns}}}\).

Lemme 3.7

 
  1. (i)

    Si \((D_A,\text{ Fil}_\bullet )\) est un \((\varphi ,\Gamma )\)-module triangulin régulier sur \(\mathcal R _A\) qui est partout non-scindé, alors ses auto-équivalences sont les homothéties \(A^\times \).

     
  2. (ii)

    \(F_d^{\square , {\mathrm{ns}}}\) est représenté par un ouvert Zariski de \(F_d^\square \).

     
  3. (iii)

    Pour toute algèbre affinoïde \(A,G_d(A)\) agit librement sur \(F_d^{\square , {\mathrm{ns}}}(A)\) et l’application \(\eta (A): F_d^{\square , {\mathrm{ns}}}(A)/G_d(A) \longrightarrow F_d^\mathrm{ns}(A)\) est bijective.

     

 

Preuve

Vérifions le (i). Nous allons montrer plus généralement que
$$\begin{aligned} {\rm End} _{(\varphi ,\Gamma )/A}((D_A,\text{ Fil}_\bullet ))=A. \end{aligned}$$
Quitte à remplacer \(A\) par \(A/I\) pour un idéal \(I\) de codimension finie, on peut supposer que \(A\) est artinien d’après le théorème d’intersection de Krull. Dans ce cas, une récurrence sur la longueur de \(A\) permet de supposer que \(A=L\) est un corps. Dans ce cas, on procède par récurrence sur \(d\). Quand \(d=1\) cela vient de ce que \(H^0(\mathcal R _L)=L\). Pour \(d\ge 1\), remarquons que si \((D,\text{ Fil}_\bullet )\) est non scindé, il en va de même de \((\text{ Fil}_{d-1}(D),\text{ Fil}_\bullet )\). Ainsi, un endomorphisme de \(D\) préservant sa filtration agit par une homothétie sur \(\text{ Fil}_{d-1}\) et sur le quotient \(D/\text{ Fil}_{d-1}\). Notons qu’il agit par \(0\) sur ces deux \((\varphi ,\Gamma )\)-modules si et seulement si il provient d’un morphisme \(D/\text{ Fil}_{d-1}(D) \rightarrow \text{ Fil}_{d-1}(D)\) dans \((\varphi ,\Gamma )/L\), auquel cas il est en fait nul car si \(\delta _i\) est le paramètre de \(D\) alors \(H^0(\text{ Fil}_{d-1}(D)(\delta _d^{-1}))=0\) par l’hypothèse de régularité. Nous avons donc montré que le morphisme de \(L\)-algèbres
$$\begin{aligned}&\alpha : {\rm End} _{(\varphi ,\Gamma )/L}((D,\text{ Fil}_\bullet ))\\&\quad \longrightarrow {\rm End} _{(\varphi ,\Gamma )/L}((\text{ Fil}_{d-1}(D),\text{ Fil}_\bullet ))\times {\rm End} (D/\text{ Fil}_{d-1}(D)) \overset{\sim }{\rightarrow }L \times L \end{aligned}$$
est injectif. En particulier, si \(\mathrm End _{(\varphi ,\Gamma )/L}((D,\text{ Fil}_\bullet ))\) n’est pas réduit aux homothéties alors \(\alpha \) est bijectif : il existe donc un endomorphisme idempotent de \(D\) valant l’identité sur \(\text{ Fil}_{d-1}\) et \(0\) sur \(D/\text{ Fil}_{d-1}\), ce qui contredit le fait que \(0 \rightarrow \text{ Fil}_{d-1}(D) \rightarrow D \rightarrow D/\text{ Fil}_{d-1}(D) \rightarrow 0\) est non scindée.

Vérifions le (ii) par récurrence sur \(d\). Si \(d=1,F_d^{\square ,\text{ ns}}=F_d^\square \) et il n’y a rien à démontrer. En général nous avons vu que \(S_d^\square \) est un certain fibré vectoriel de rang \(d-1\) sur un ouvert \(U_d \subset S_{d-1}^\square \times {\mathcal T }\). Ce point de vue fait apparaître \(F_d^{\square , {\mathrm{ns}}}\) comme l’ouvert du complémentaire de la section nulle de ce fibré pris au dessus de \(F_{d-1}^{\square , {\mathrm{ns}}} \times {\mathcal T }\), d’où le résultat.

Vérifions le (iii). Si \((a_i)(D,\text{ Fil}_\bullet ,\nu )\) est équivalent à \((D,\text{ Fil}_\bullet ,\nu )\) alors \((D,\text{ Fil}_\bullet )\) admet un automorphisme agissant sur chaque \(\text{ Fil}_i(D)/\text{ Fil}_{i-1}(D)\) par le scalaire \(a_i\). Comme les seuls automorphismes sont des homothéties par le (i) il vient que tous les \(a_i\) sont égaux : l’action de l’énoncé est libre. Le second point du (iii) vient de ce que les automorphismes dans \((\varphi ,\Gamma )/A\) de \(\mathcal R _A(\delta )\) sont les homothéties \(A^\times \).\(\square \)

Nous n’avons pas trouvé de références pour l’existence d’un quotient pour une action libre d’un tore sur un espace analytique. Ceci, combiné au lemme ci-dessus, entraînerait que le faisceau pour la topologie de Tate \({\mathcal F }_d^{\mathrm{ns}}\) associé à \(F_d^{\mathrm{ns}}\) est représentable. Concrètement, \({\mathcal F }_d^{\mathrm{ns}}(A)\) est la limite inductive (qui est filtrante injective) sur tous les recouvrements finis de \(\text{ Sp}(A)\) par des ouverts affinoïdes \(U_i\) des noyaux des \(\prod _{i} F_{d}^{\mathrm{ns}}( \mathcal O (U_i)) \rightrightarrows \prod _{i,j} F_{d}^{\mathrm{ns}}(\mathcal O (U_i\cap U_j))\).

Nous nous contenterons ici de traiter le cas \(d=2\), pour lequel le problème se résoud aisément.

Proposition 3.8

\(F_2^{\mathrm{ns}}\) est représenté par \({\mathcal T }_2^{\mathrm{reg}}\).

 

Preuve

En effet, le morphisme paramètre \(F_2^{\mathrm{ns}} \rightarrow {\mathcal T }_2^{\mathrm{reg}}\) est un isomorphisme : si \(\delta =(\delta _1,\delta _2) \in {\mathcal T }_2^{\mathrm{reg}}(A)\) est donné, alors on a vu que \(H^1(\mathcal R _A(\delta _1\delta _2^{-1}))\) est libre de rang \(1\) sur \(A\), donc il existe un et un seul élement de \(F_2^{\mathrm{ns}}(A)\) de paramètre \(\delta \).\(\square \)

Il se trouve que dans ce cas nous pouvons décrire aussi ce qui se passe au voisinage des points non réguliers. Pour tout \(i \ge 0\) entier, notons \(F_i,F^{\prime }_i \subset {\mathcal T }^2\) les fermés définis respectivement par les équations \(\delta _1\delta _2^{-1}=\chi x^i\) et \(\delta _1 \delta _2^{-1} = x^{-i}\). Tous ces fermés sont deux à deux disjoints et chaque ouvert affinoïde de \({\mathcal T }^2\) ne rencontre qu’un nombre fini d’entre eux. On désigne par \(F\) la réunion des \(F_i\) et \(F^{\prime }\) celle des \(F^{\prime }_i\) : ce sont encore des fermés de \({\mathcal T }^2\), et on a \({\mathcal T }_2^{\mathrm{reg}} \coprod F \coprod F^{\prime } = {\mathcal T }^2\). Soit \(\pi : {\widetilde{{\mathcal T }}}_2 \rightarrow {\mathcal T }^2\backslash F^{\prime }\) l’éclaté de \({\mathcal T }^2\backslash F^{\prime }\) le long de \(F\). Le résultat suivant confirme l’intuition de Colmez dans [18] selon laquelle \({\widetilde{{\mathcal T }}}_2\) est l’espace de module grossier des \((\varphi ,\Gamma )\)-modules triangulins partout non scindés de rang \(2\) de paramètre dans \({\mathcal T }^2\backslash F^{\prime }\) (sur l’ouvert \({\mathcal T }_2^{\mathrm{reg}}\) c’est même un espace de module fin par le résultat précédent).

Proposition 3.3

Pour toute extension finie \(L/\mathbb Q _p\), il existe une bijection canonique entre \({\widetilde{{\mathcal T }}}_2(L)\) et l’ensemble des classes d’isomorphie de \((\varphi ,\Gamma )\)-modules triangulins sur \(\mathcal R _L\) qui sont de rang \(2\), non scindé, et de paramètre dans \({\mathcal T }^2(L)\backslash F^{\prime }(L)\), l’application \(\pi \) donnant le paramètre associé.

De plus, il existe un recouvrement affinoïde admissible \((U_i)\) de \({\widetilde{{\mathcal T }}}_2\), et pour chaque \(i\) un \((\varphi ,\Gamma )\)-module triangulin \(D_i\) de rang \(2\) sur \(\mathcal R _{U_i}\) et de paramètre \(\pi _{|U_i}\), tels que pour toute extension \(L/\mathbb Q _p\) finie et tout \(x \in U_i(L),(D_i)_x\) est isomorphe au \((\varphi ,\Gamma )\)-module triangulin sur \(\mathcal R _L\) associé à \(x\) par la bijection précédente.

La première partie du théorème est dûe à Colmez : c’est son calcul de \(H^1(\mathcal R _L(\delta ))\) pour l’ouvert \({\mathcal T }_2^{\mathrm{reg}}\), combiné à sa formule pour l’invariant \(L\) [20] au voisinage des points de la forme \(x \mapsto \chi x^i\) avec \(i\ge 1\). Colmez a aussi démontré une version faible de la seconde partie au voisinage de tout \(x \in {\mathcal T }_2^{\mathrm{reg}}\) qui est de plus p-régulier au sens que \(\delta _1\delta _2^{-1}(p) \notin p^\mathbb Z \).

Preuve

Au dessus de \({\mathcal T }_2^{\mathrm{reg}}\), le théorème est un cas particulier de la proposition précédente. Quitte à tordre par une famille de \((\varphi ,\Gamma )\)-modules de rang \(1\), on peut donc supposer que l’on se place dans un voisinage ouvert affinoïde \(U \subset {\mathcal T }\) contenant un unique point \(u \in U(\mathbb Q _p)\) tel que \(\delta (u)=\chi x^i\) est non régulier, et que l’on s’intéresse à l’éclaté \(\pi : \widetilde{U} \rightarrow U\) en \(u\). Dans ce cas, on dispose d’une identification naturelle donnée par le théorème 2.33
$$\begin{aligned} \mu : \pi ^{-1}(u) \overset{\sim }{\rightarrow }{\mathbb P }(H^1(\mathcal R _{\mathbb Q _p}(\chi x^i))). \end{aligned}$$
Ce théorème assure aussi que \(H^1(\mathcal R _U(\delta _U))\) est canoniquement isomorphe à \(\mathcal O (U)\), et que si \(m \subset \mathcal O (U)\) désigne l’idéal des fonctions s’annulant en \(u\), alors l’inclusion induit une égalité
$$\begin{aligned} H^1(m\mathcal R _U(\delta _U))=H^1(\mathcal R _U(\delta _U))=\mathcal O (U). \end{aligned}$$
Fixons un \(\mathcal O (U)\)-générateur de \(H^1(m\mathcal R _U(\delta _U))\) et notons \(D_U\) le \(\mathcal R _U\)-module \(m\mathcal R _U \oplus \mathcal R _U\) muni de l’action de \(\varphi \) et \(\Gamma \) définie par cette classe (bien entendu, ces actions préservent \(m\mathcal R _U\) mais pas le facteur \(\mathcal R _U\) à priori). Ce n’est pas tout à fait un \((\varphi ,\Gamma )\)-module sur \(\mathcal R _U\) au sens strict car le \(\mathcal R _U\)-module sous-jacent n’est pas libre. Soit \(U_i\) un recouvrement fini de \(\widetilde{U}\) par des ouverts affinoïdes sur chacun desquels \(m\mathcal O (U_i) \subset \mathcal O (U_i)\) est libre de rang \(1\), disons engendré par l’élément \(f_i\). Le transformé strict de \(D_U\) sur \(\mathcal R _{U_i}\), qui est aussi le quotient de \(D_U \otimes _{\mathcal R _U} \mathcal R _{U_i}\) par sa \(f_i\)-torsion, est un \((\varphi ,\Gamma )\)- module sur \(\mathcal R _{U_i}\) de \(\mathcal R _{U_i}\)-module sous-jacent \(m\mathcal R _{U_i}\oplus \mathcal R _{U_i}=f_i\mathcal R _{U_i}\oplus \mathcal R _{U_i}\) : il est bien libre de rang \(2\). Par construction de l’éclaté, le choix d’un \(z \in (\pi ^{-1}(u)\cap U_i)(L)\) définit un \(\mathcal O (U)\)-morphisme surjectif
$$\begin{aligned} (m/m^2)\otimes _{\mathbb Q _p} L \rightarrow f_i\mathcal O (U_i)\otimes _{\mathcal O (U_i)} L, \end{aligned}$$
soit encore à un vecteur tangent \(v_z \in T_u \otimes _{\mathbb Q _p} L\), tout vecteur tangent s’obtenant ainsi pour un certain \(i\). Un tel choix définit donc un \(\mathcal O (U)\)-morphisme surjectif
$$\begin{aligned} D_U\otimes _{\mathcal O (U)}L \rightarrow (D_i)_z. \end{aligned}$$
La preuve du (ii) du théorème 2.33 dit exactement que l’image de ce morphisme a pour classe dans \(H^1(\mathcal R _{L}(\chi x^{-i}))\) l’élement \(\mu (v_z)\) associé à l’isomorphisme \(\mu (L) : {\mathbb P }(T_u)(L) \overset{\sim }{\rightarrow }{\mathbb P }(H^1(\mathcal R _L(\chi x^i)))\).\(\square \)

 

Remarque 3.10

La situation est différente au voisinage des points dans \(F^{\prime }\). En effet, négligeons les torsions en nous plaçant dans un voisinage ouvert affinoïde \(U \subset {\mathcal T }\) du point \(\delta =x^{-i}\). D’après le théorème 2.33, pour tout élément \(E \in H^1(\mathcal R (\delta ))\) on peut trouver un \((\varphi ,\Gamma )\)-module triangulin \(D\) sur \(\mathcal R _U\) de paramètre \((\delta _U,1)\) tel que pour tout \(z \in {\mathcal T }^{\mathrm{reg}}\cap U\) son évaluation \(D_z\) est non scindée, et dont l’évaluation en \(\delta \) est exactement \(E\). On pourrait penser aller plus loin en introduisant ici aussi l’éclaté de \(U\) en \(\delta \). Il n’y cependant pas de manière naturelle de construire de famille de \((\varphi ,\Gamma )\)-modules sur cet éclaté. Disons simplement qu’un indice de ceci est que le théorème 2.33 identifie canoniquement \(T_\delta \) avec le dual de l’espace vectoriel \(H^1(\mathcal R _{\mathbb Q _p}(x^{-i}))\), plutôt qu’avec ce dernier.

De manière légèrement anticipée, mentionnons que cette proposition entraîne la :

Proposition 3.11

La conjecture 5.1 de [7] est vraie : les représentations potentiellement triangulines de dimension \(2\) forment une partie fine de la variété des caractères \(p\)-adiques de dimension \(2\) de \(\text{ Gal}(\overline{\mathbb Q }_p/\mathbb Q _p)\).

 

Preuve

(Esquisse) La variété des caractères \({\mathfrak X }_2\) en question est d’équidimension \(5\) (voir [15]). D’après les arguments donnés loc. cit. §5.3, il suffit de voir que le lieu triangulin de \({\mathfrak X }_2\), c’est-à-dire la fougère infinie, est une partie fine de \({\mathfrak X }_2\). Soit \(\mathcal S \subset {\widetilde{{\mathcal T }}}_2\) le lieu paramétrant les \((\varphi ,\Gamma )\)-modules étales. Cet ensemble a été déterminé par Colmez dans [18] et il suit de sa description que \(\mathcal S \) est la réunion disjointe d’un ouvert admissible de \({\widetilde{{\mathcal T }}}_2\) et d’un fermé analytique d’un ouvert admissible de \({\widetilde{{\mathcal T }}}_2\) (tous deux explicites). Cela confère à \(\mathcal S \) une structure d’espace analytique de type dénombrable de dimension 4 héritée de \({\widetilde{{\mathcal T }}}_2\). La proposition 3.9 et [26, Thm. 0.2] (Kedlaya–Liu) entraînent l’existence d’une application localement analytique \(f :\mathcal S \rightarrow {\mathfrak X }_2\) d’image la fougère infinie, ce qui conclut.\(\square \)

Terminons ce paragraphe par une comparaison entre les foncteurs définis ici et les “foncteurs de déformations triangulines” considérés dans [2, §2.5] et [13, §3]. Soit \(F : \text{ Aff}\rightarrow \text{ Ens}\) un foncteur quelconque, \(L/\mathbb Q _p\) une extension finie et \(x \in F(L)\). Soit \(\mathcal C \) la catégorie des \(L\)-algèbres locales artiniennes de corps résiduel \(L\) : c’est une sous-catégorie pleine de celle des affinoïdes sur \(L\). Le complété formel de \(F\) en \(x\) est le foncteur \(\widehat{F}_x : \mathcal C \rightarrow \text{ Ens}\) défini comme suit : pour tout objet \(A\) de \(\mathcal C ,\widehat{F}_x(A) \subset F(A)\) est le sous-ensemble des éléments dont l’image dans \(F(L)\) par l’unique morphisme \(A \rightarrow L\) est l’élément \(x\) (c’est donc un sous-foncteur de \(F_{|\mathcal C }\)). Quand \(F\) est représenté par un espace analytique \(Z\) sur \(\mathbb Q _p,\widehat{F}_x\) est pro-représenté par \(\widehat{\mathcal O _{Z,x}}\otimes _{k(x)} L\).

Lemme 3.12

Soit \(x=[(D,\text{ Fil}_\bullet )] \in F_d(L)\). Si \(D\) est non-scindé, et plus généralement si \(\mathrm End _{(\varphi ,\Gamma )/L}((D,\text{ Fil}_\bullet ))=L\), alors \(\widehat{(F_d)}_x\) est canoniquement isomorphe au foncteur des déformations triangulines de \((D,\text{ Fil}_\bullet )\) au sens de [2, §2.5]. De plus, \(\widehat{(F_d)}_x\) est pro-représentable.

 

Preuve

En effet, le foncteur \({\mathfrak X }_{D,\text{ Fil}_\bullet }\) des déformations triangulines de \((D,\text{ Fil}_\bullet )\) défini loc. cit. paramètre les classes d’isomorphismes de triplets \((D_A,\text{ Fil}_\bullet ,\pi )\)\(\pi : D_A \otimes _A L \rightarrow D\) est un isomorphisme dans \((\varphi ,\Gamma )/A\) envoyant \(\text{ Fil}_i(D_A)\) sur \(\text{ Fil}_i(D)\). L’association \((D_A,\text{ Fil}_\bullet ,\pi ) \mapsto [(D_A,\text{ Fil}_\bullet )]\) définit un morphisme de foncteurs \({\mathfrak X }_{D,\text{ Fil}_\bullet } \rightarrow \widehat{(F_d)}_x\) qui est surjectif sur les points. Ce morphisme est une équivalence d’après [13, Remark 3.5], et l’assertion de pro-représentabilité est [13, Prop. 3.4].

\(\square \)

 

3.3 Densité des \((\varphi ,\Gamma )\)-modules cristallins dans \(S_d^\square \)

Si \(L\) est une extension finie de \(\mathbb Q _p\) et \(D\) un \((\varphi ,\Gamma )\)-module sur \(\mathcal R _L\), on dit que \(D\) est cristallin si le \(L\)-espace vectoriel
$$\begin{aligned} \mathcal D _{\mathrm{cris}}(D):=(D[1/t])^\Gamma \end{aligned}$$
est de dimension \(\text{ rg}_{\mathcal R _L}(D)\). Nous renvoyons à [2, §2.2.7] pour une discussion de cette définition, principalement motivée par des travaux de Berger : si \(D\) est étale alors il est cristallin si et seulement si sa représentation galoisienne \(V\) associée l’est, auquel cas \(\mathcal D _{\mathrm{cris}}(D)\) est canoniquement isomorphe à \(D_{\mathrm{cris}}(V)\) comme \(L[\varphi ]\)-module filtré (nous ne donnerons pas ici la recette de la filtration naturelle sur \(\mathcal D _{\mathrm{cris}}(D)\)). Bien entendu, un point \(x \in \mathcal S _d^\square (L)\) est dit cristallin si le \((\varphi ,\Gamma )\)-module triangulin \(D_x\) sur \(\mathcal R _L\) qui lui est associé l’est. Dans ce cas, le paramètre \((\delta _i)\) de \(D_x\) est algébrique : pour tout \(i\), il existe \(k_i \in \mathbb Z \) tel que \(\delta _i(\gamma )={\gamma }^{k_i}\) pour tout \(\gamma \in \Gamma \) (voir par exemple [2, prop. 2.4.1]).

On rappelle qu’une partie \(A\) d’un espace rigide \(Y\) est dite Zariski-dense si le seul fermé analytique global réduit de \(Y\) contenant \(A\) est la nilréduction de \(Y\). Si \(Y\) est affinoïde il est équivalent de demander que \(A\) est Zariski-dense dans \(\text{ Spec}(\mathcal O (Y))\). On dit de plus que la partie \(A\) s’accumule en une partie \(B \subset Y\) si tout élément de \(B\) admet une base de voisinages ouverts affinoïdes \(U_i\) tels que \(A\cap U_i\) est Zariski-dense dans \(U_i\). On dit que \(A\) est d’accumulation si \(A\) s’accumule en \(A\). On étend ces définitions à des parties de \(Y(\overline{\mathbb Q }_p):=\bigcup _L Y(L)\) (la réunion portant sur les sous-extensions finies) en considérant l’ensemble des poins fermés sous-jacents. Comme exemple typique, remarquons que \(\mathbb N ^d\) est Zariski-dense et d’accumulation dans \(\mathbb A ^d\).

Nous renvoyons à [21] pour les généralités sur les composantes irréductibles des espaces rigides analytiques \(p\)-adiques.

Théorème 3.14

Pour chaque extension finie \(L/\mathbb Q _p\), l’ensemble des points cristallins de \(\mathcal S _d^\square (L)\) est Zariski-dense et s’acculume en chaque point de \(\mathcal S _d^\square (L)\) de paramètre algébrique.

 

Preuve

Remarquons que \({\mathcal T }_d^{\mathrm{reg}}\) est irréductible, comme ouvert Zariski de l’espace irréductible \({\mathcal T }^d\). Comme un fibré vectoriel sur une base irréductible lisse est irréductible lisse, \(\mathcal S _d^{\square }\) est irréductible lisse par construction. Pour démontrer la densité Zariski du lieu cristallin de \(\mathcal S _d^\square (L)\) il suffit donc de démontrer qu’il est non vide ainsi que la propriété d’accumulation.

Soit \(L\) une extension finie de \(\mathbb Q _p\). Considérons \(A_d(L) \subset {\mathcal T }_d^{\mathrm{reg}}(L)\) l’ensemble des points paramétrant les \((\delta _i) \in {\mathcal T }(L)^d\) tels que :
  1. (a)

    \(\delta _i(p)/\delta _j(p) \ne p^{\pm 1}\) pour tout \(i<j\),

     
  2. (b)

    il existe une suite d’entiers \(k_i \in \mathbb Z \) vérifiant : \(\delta _i(\gamma )=\gamma ^{-k_i}\) pour tout \(\gamma \in \Gamma \) et tout \(i=1,\ldots ,d\),

     
  3. (c)

    la suite \(k_i\) est strictement croissante : \(k_1 < k_2 < \cdots < k_d\).

     
On note aussi \(B_d(L) \subset {\mathcal T }_d^{\mathrm{reg}}(L)\) l’ensemble des points satisfaisant uniquement la condition (b), c’est à dire les paramètres algébriques. Il est évident que \(A_d(L)\) est non-vide, que \(A_d(L) \subset B_d(L)\), et que \(A_d(L)\) s’accumule en \(B_d(L)\) dans \({\mathcal T }_d^{\mathrm{reg}}\).\(\square \)

 

Lemme 3.15

Un \((\varphi ,\Gamma )\)-module triangulin sur \(\mathcal R _L\) qui a son paramètre dans \(A_d(L)\) est cristallin.

 

Preuve

C’est un cas particulier de [2, Prop. 2.3.4], largement précisée dans [4], qui repose de manière essentielle sur des résultats de Berger [5, 6]. En effet, si \(D\) est comme dans l’énoncé alors il est de De Rham par cette proposition (à cause de la condition (c)), et donc potentiellement semi-stable par le théorème de Berger. Comme \(D\) est extension successive de \((\varphi ,\Gamma )\)-modules cristallins par hypothèse, et comme la formation du \({\mathcal D }_{\mathrm{pst}}\) est exacte sur les \((\varphi ,\Gamma )\)-modules potentiellement semi-stables d’après [4, Prop. 1.2.9], il vient que \(D\) est semi-stable. La condition (a) force alors \(D\) à être cristallin.

Retournons à la preuve du théorème 3.14. Supposons donc \(x \in S_d^\square (L)\) cristallin, ou plus généralement tel que \(\delta (x) \in B_d(L)\). Soit \(U\) un voisinage ouvert affinoïde de \(x\) dans \(S_d^\square \), ainsi que \(\Omega \) et \(\iota \), comme dans le corollaire 3.5. Soit \((\Omega _i)_{i\in I}\) une base de voisinages ouverts affinoïdes de \(\delta (x)\) dans \({\mathcal T }_d^{\mathrm{reg}}\) dans lesquels \(A_d(L)\) est Zariski-dense. Quand \(i\) parcourt \(I\) et \(V\) les ouverts affinoïdes de \({\mathbb D }^{\frac{d(d-1)}{2}}\), les \(U_{i,V}:=\iota ^{-1}(\Omega _i \times V)\) forment une base de voisinages ouverts affinoïdes de \(x\) dans \(\mathcal S _d^\square \). Comme \(A_d(L)\) est Zariski-dense dans chaque \(\Omega _i\), il en va de même de12\(\iota ^{-1}((A_d(L)\cap \Omega _i) \times V)\) dans \(U_{i,V}\), qui est constitué de points cristallins d’après le lemme 3.15.\(\square \)

 

3.4 La famille de représentations galoisiennes sur le lieu étale

Pour terminer ce chapitre, considérons le sous-ensemble
$$\begin{aligned} S_d^{\square ,0} \subset S_d^\square \end{aligned}$$
constitué des points \(x \in S_d^{\square }\) tels que le \((\varphi ,\Gamma )\)-module \(D_x\) sur \(\mathcal R _{k(x)}\) associé est étale. Si \(x \in S_d^{\square , 0}\) on désigne par \(V_x\) la représentation de \(\text{ Gal}(\overline{\mathbb Q }_p/\mathbb Q _p)\) telle que \(D_{\mathrm{rig}}(V_x) \simeq D_x\).

Proposition 3.17

Pour chaque \(x \in S_d^{\square ,0}\), il existe un voisinage ouvert affinoïde \(\Omega \) de \(x\) dans \(S_d^\square \), un modèle \({\mathcal A }\subset \mathcal O (\Omega )\), et un \({\mathcal A }\)-module libre \(M\) de rang \(d\) muni d’une action \({\mathcal A }\)-linéaire continue de \(\text{ Gal}(\overline{\mathbb Q }_p/\mathbb Q _p)\) tels que :
  1. (i)

    \(\Omega \subset S_d^{\square ,0}\),

     
  2. (ii)

    pour tout morphisme \(Z \rightarrow \Omega \) avec \(Z\) affinoïde, le \((\varphi ,\Gamma )\)-module \(D_{\mathrm{rig}}(M \otimes _{{\mathcal A }} \mathcal O (Z))\) sur \(\mathcal R _{Z}\) défini par Berger et Colmez est isomorphe au \((\varphi ,\Gamma )\)-module triangulin rigidifié universel déduit du morphisme donné \(Z \rightarrow S_d^\square \).

     
Le \(\mathcal O (\Omega )[\text{ Gal}(\overline{\mathbb Q }_p/\mathbb Q _p)]\)-module \(M \otimes _{{\mathcal A }} \mathcal O (\Omega )\) est unique à isomorphisme près pour la propriété (ii).

 

Preuve

L’existence de \({\mathcal A }\) et \(M\) satisfaisant (i) et (ii) pour \(Z=\Omega \), ainsi que l’assertion d’unicité, est un cas particulier du théorème [26, Thm. 0.2] de Kedlaya–Liu appliqué à la famille universelle de \((\varphi ,\Gamma )\)-modules sur \(S_d^\square \). Vérifions le (ii) pour \(Z \rightarrow \Omega \) quelconque. Il s’agit de voir qu’avec la définition du \(D_{\mathrm{rig}}\) d’une famille de Berger–Colmez l’application naturelle
$$\begin{aligned} D_{\mathrm{rig}}(M \otimes _{{\mathcal A }} \mathcal O (\Omega )) \otimes _{\mathcal R _\Omega } \mathcal R _Z \rightarrow D_{\mathrm{rig}}(M \otimes _{{\mathcal A }} \mathcal O (Z)) \end{aligned}$$
(3.2)
est un isomorphisme. Le terme de droite a bien un sens car la représentation \(M \otimes _{{\mathcal A }} \mathcal O (Z)\) admet un \({\mathcal B }\)-réseau libre stable pour tout modèle \({\mathcal B }\) de \(\mathcal O (Z)\) contenant l’image de \({\mathcal A }\) (de tels modèles existent et on en fixe un). L’isomorphisme ci-dessus découle alors de l’assertion d’unicité de la proposition [8, prop. 4.2.8] comme dans la preuve de leur théorème 4.2.9. : les détails sont sans difficulté et laissés au lecteur.\(\square \)

En particulier, \(S_d^{\square ,0} \subset S_d^\square \) est un ouvert pour la topologie naïve, c’est à dire une réunion (non nécessairement admissible) d’ouverts affinoïdes. Notons qu’à priori, ce résultat ne confère pas à \(S_d^{\square ,0}\) de structure naturelle d’espace rigide analytique. On pourrait cependant choisir une écriture de \(S_d^{\square ,0}\) comme réunion disjointe d’ouverts affinoïdes \(\mathcal U =\{\Omega _i, i \in I\}\) de \(S_d^{\square }\), ce qui est loisible (et l’on peut même demander que chaque \(\Omega _i\) satisfasse les conclusions de la proposition 3.17), et décrêter que \(\mathcal U \) est un recouvrement admissible de \(S_d^{\square ,0}\). Pour chaque telle structure l’inclusion \(S_d^{\square ,0} \rightarrow S_d^{\square }\) est une immersion ouverte.

On a en revanche une notion canonique de fonction localement analytique\(f: S_d^{\square ,0} \rightarrow Y\) vers un espace analytique \(Y\) quelconque : nous entendrons par là une application telle que pour chaque \(x \in S_d^{\square ,0}\) la restriction de \(f\) a un voisinage affinoïde suffisament petit de \(x\) est une fonction rigide analytique (noter que \(S_d^\square \) est réduit). Il résulte de la proposition ci-dessus que les applications \(x \mapsto \text{ trace}(g | V_x)\), pour \(g \in \text{ Gal}(\overline{\mathbb Q }_p/\mathbb Q _p)\), sont localement analytiques sur \(S_d^{\square ,0}\), et simultanément analytiques sur un voisinage de chaque \(x\), ce qui implique le :

Corollaire 3.18

Soit \({\mathfrak X }_d\) la variété des caractères \(p\)-adiques de dimension \(d\) de \(\text{ Gal} (\overline{\mathbb Q }_p/\mathbb Q _p)\). Il existe une unique application localement analytique
$$\begin{aligned} f : S_d^{\square , 0} \rightarrow {\mathfrak X }_d \end{aligned}$$
associant à tout \(x \in S_d^{\square ,0}\) la semi-simplification de la représentation \(V_x\).
L’image de cette application est la fougère infinie régulière. Nous renvoyons à [12] pour la définition de \({\mathfrak X }_d\). Pour le lecteur peu familier avec cette théorie, donnons une version plus concrète concernant la \({\bar{\rho }}\)-composante connexe \({\mathfrak X }_d({\bar{\rho }})\simeq X \subset {\mathfrak X }_d\)\({\bar{\rho }}\) est fixée comme dans l’introduction (sans supposer nécessairement \({\bar{\rho }}\not \simeq {\bar{\rho }}(1)\)). Pour cela nous allons définir indépendamment l’ensemble
$$\begin{aligned} S_d^{\square }({\bar{\rho }}) \subset S_d^{\square ,0} \end{aligned}$$
pull-back par l’application \(f\) du corrollaire ci-dessus de l’ouvert \({\mathfrak X }_d({\bar{\rho }}) \subset {\mathfrak X }_d\). Cela nous oblige à quelques sorites et rappels préliminaires sur la notion de représentation résiduelle associée à une famille de représentations et sur la propriété universelle de \(X\) (qui rappelons-le est défini comme l’espace analytique associé par Berthelot à la fibre générique de l’anneau de déformation universelle de \({\bar{\rho }}\)). Nous renvoyons à [12, §3] pour plus de détails.
Si \(Y\) est un affinoïde, une famille de représentations de\(G:=\text{ Gal}(\overline{\mathbb Q }_p/\mathbb Q _p)\)paramétrée par Y est la donnée d’un \(\mathcal O (Y)\)-module libre de rang fini muni d’une action \(\mathcal O (Y)\)-linéaire continue de \(G\). Pour \(y \in Y\), on note \(M_y:=M\otimes _{\mathcal O (Y)} k(y)\) l’évaluation de \(M\) en \(y\) et \(\overline{M}_y\) la semi-simplifié de la réduction modulo \(\pi _{k(y)}\) d’un \(\mathcal O _{k(y)}\)-réseau stable par \(G\) dans \(M_y\) (elle est donc à coefficients dans le corps fini \(k_y\) résiduel de \(k(y)\)). Si \(Y\) est connexe, on peut montrer [12, Def. 3.11] qu’il existe une représentation semi-simple continue \(r : G \rightarrow \mathrm GL _m(\overline{\mathbb F }_p)\), et un morphisme d’algèbres \(W(\mathbb F ) \rightarrow \mathcal O (Y)\)\(\mathbb F \subset \overline{\mathbb F }_p\) désigne le corps (fini) engendré par les coefficients des polynômes caractéristiques des \(r(g)\) pour \(g \in G\), tels que pour tout \(y \in Y\) alors
$$\begin{aligned} \forall g \in G, \quad \det (1-T g | \overline{M}_y) = \det (1-T r(g)) \in \mathbb F [T]. \end{aligned}$$
Cette identité a un sens car \(\mathbb F \subset k_y\) pour tout \(y\). Notons que modifier le plongement \(W(\mathbb F ) \rightarrow \mathcal O (Y)\) par le Frobenius de \(W(\mathbb F )\) revient à appliquer à \(r\) le Frobenius sur les coefficients (ou son inverse). À cette indétermination près, un résultat standard dû à Brauer-Nesbitt implique que la classe d’isomorphisme de \(r\) est uniquement déterminée par \(M\). On dit alors que \(r\) est la représentation résiduelle de \(M\). C’est un fait relativement formel mais important que l’espace analytique\(X\)sur\(\mathbb Q _p\) (oubliant la\(F\)-structure) représente le foncteur de la catégorie des affinoïdes vers les ensembles associant à\(Y\)l’ensemble des classes de\(\mathcal O (Y)[G]\)-isomorphie de familles de représentations de G paramétrées par Y dont la représentation résiduelle est\({\bar{\rho }}\) [12, §3].
Si \(r : G \rightarrow \mathrm GL _d(\overline{\mathbb F }_p)\) est une représentation semi-simple continue quelconque, on définit enfin
$$\begin{aligned} S_d^{\square }(r) \subset S_d^{\square ,0} \end{aligned}$$
comme l’ensemble des \(x \in S_d^{\square ,0}\) tels que \(V_x\) a pour réduction \(r\).

Corollaire 3.19

(et scholie) Pour tout \(r,S_d^{\square }(r)\) est un ouvert naïf de \(S_d^{\square }\). Si \(r={\bar{\rho }}\) et \(X\) sont comme dans l’introduction13, il existe une unique application localement analytique
$$\begin{aligned} f : S_d^{\square }({\bar{\rho }}) \rightarrow X \end{aligned}$$
associant à tout \(x \in S_d^{\square }({\bar{\rho }})\) la représentation \(V_x\). Plus précisément, elle a la propriété que pour tout \(x \in S_d^{\square }({\bar{\rho }})\), il existe \(\Omega \subset S_d^{\square }({\bar{\rho }})\) un voisinage ouvert affinoïde assez petit de \(x\) dans \(S_d^{\square }\) tel que :
  1. (i)

    \(f\) est analytique sur \(\Omega \),

     
  2. (ii)

    Pour tout morphisme \(Z \rightarrow \Omega \) avec \(Z\) affinoïde, le \((\varphi ,\Gamma )\)-module associé par Berger–Colmez à la famille déduite du morphisme \(f : \Omega \rightarrow X\) soit isomorphe au \((\varphi ,\Gamma )\)-module associé au morphisme \(Z \rightarrow S_d^\square \) par la propriété universelle de ce dernier.

     

 

Preuve

En effet, le premier point résulte de la discussion ci-dessus et de la proposition 3.17 en considérant la composante connexe \(\Omega _x\) contenant \(x\) du \(\Omega \) donné par la proposition. La propriété universelle de \(X\) définit alors un unique morphisme analytique \(\Omega _x \rightarrow X\) qui n’est autre que l’application de l’énoncé au niveau des points et le corollaire tout entier résulte de la proposition 3.17 (ii).\(\square \)

 

Remarque 3.20

Par définition, \(S_d^{\square ,0}\) est la réunion disjointe des \(S_d^{\square }(r)\) sur l’ensemble des \(r : G \rightarrow \mathrm GL _d(\overline{\mathbb F }_p)\) semi-simples continus considérés modulo isomorphisme et action du Frobenius sur les coefficients. En fait, \(S_d^{\square }(r)\) est non vide pour tout \(r\) : quand \(r\) est irréductible cela découle de la proposition 4.3 (i) ci-dessous, le cas général s’en déduit en considérant des sommes directes. On verra même plus tard que \(S_d^{\square }(r)\) contient des points cristallins absolument irréductibles.

 

4 Démonstration du théorème \(A\)

Reprenons les notations de l’introduction.

4.1 Premières réductions

Commençons la démonstration du théorème \(A\). Si \(L\) est une extension finie de \(\mathbb Q _p\) et si \(V\) est une \(L\)-représentation cristalline de \(\text{ Gal}(\overline{\mathbb Q }_p/\mathbb Q _p)\), on dira que \(V\) est générique si les conditions suivantes sont satisfaites [13, §3.18]:
  1. (G1)

    \(V\) a \(d:=\dim _L(V)\) poids de Hodge–Tate14 distincts.

     
  2. (G2)

    Les valeurs propres \(\varphi _1,\ldots ,\varphi _d\) du Frobenius cristallin de \(D_{\mathrm{cris}}(V)\) dans \(\overline{L}\) satisfont \(\varphi _i\varphi _j^{-1} \notin p^\mathbb Z \) pour tout \(i\ne j\).

     
  3. (G3)

    Si \(S \subset D_{\mathrm{cris}}(V)\) est un sous-\(L\)-espace vectoriel \(\varphi \)-stable, alors \(S\) est en somme directe avec le sous-espace de la filtration de Hodge de \(D_{\mathrm{cris}}(V)\) dont la dimension est \(d-\dim _L(S)\).

     
On dira aussi que V est déployée sur L si les valeurs propres du Frobenius cristallin de \(D_{\mathrm{cris}}(V)\) dans \(\overline{L}\) sont toutes dans \(L\).

L’ingrédient principal de la démonstration est alors le suivant. Notons \(T_y(Y)\) l’espace tangent de Zariski au point \(y\) de l’espace rigide \(Y\) (c’est un espace vectoriel de dimension finie sur le corps résiduel \(k(y)\)). Pour une extension finie \(L\) de \(\mathbb Q _p\), on note aussi \(T_y(Y)\) l’espace \(T_{|y|}(Y) \otimes _{k(y)} L,|y| \in Y\) désignant le point fermé sous-jacent à \(y\) et \(k(y) \rightarrow L\) l’application structurale de \(y\).

Proposition 4.2

Soient \(x \in X(L)\) cristallin générique déployé sur \(L,U \subset X\) un voisinage ouvert affinoïde de \(x\) dans \(X\), et \(W \subset U\) l’adhérence Zariski des points cristallins de \(U(L)\). Alors \(\dim _L T_x(W)=d^2+1\).

Nous reportons la preuve de cette proposition au § 4.5. Le second ingrédient est le suivant.

Proposition 4.3

 
  1. (i)

    Il existe une extension \(L/F\) de degré \(\le d^2\) telle que \(X(L)\) contienne des points cristallins déployés sur \(L\) et dont tous les poids de Hodge–Tate sont disctincts.

     
  2. (ii)

    Si \(x \in X(L)\) est cristallin déployé sur \(L\), et si \(\Omega \subset X\) est un ouvert affinoïde contenant \(x\), alors \(\Omega (L)\) contient un point cristallin générique et déployé sur \(L\).

     

 

Preuve

Montrons le (i). Il est bien connu que si \(F_d=W({\mathbb F }_{p^d})[1/p]\) est l’extension non ramifiée de degrée \(d\) de \(\mathbb Q _p\), il existe un caractère continu \(\eta : G_{F_d} \rightarrow \overline{\mathbb F }_p^*\) tel que
$$\begin{aligned} {\bar{\rho }}\simeq \text{ Ind}_{G_{F_d}}^{G_{\mathbb Q _p}} \eta , \end{aligned}$$
par irréductibilité absolue de \({\bar{\rho }}\). Soit \(\Sigma :=\text{ Hom}_{\mathrm{corps}}({\mathbb F }_{p^d},\overline{\mathbb F }_p)\), cet ensemble à \(d\) éléments s’identifie canoniquement par réduction modulo \(p\) à \(\text{ Hom}_{\mathrm{corps}}(F_d,W(\overline{\mathbb F }_p) [1/p])=\text{ Hom}_{\mathrm{ann}}(\mathcal O _{F_d},W(\overline{\mathbb F }_p))\). Si \(\text{ rec} :\widehat{F_d^*} \rightarrow G_{F_d}^{\mathrm{ab}}\) est l’isomorphisme du corps de classe local, alors \(\eta \,\,\text{ o}\quad \text{ rec}\) est nécessairement (1) trivial sur \(1+p\mathcal O _{F_d}\), (2) de la forme \(x \mapsto \prod _{\sigma \in \Sigma } \sigma (x)^{a_\sigma }\) pour certains entiers uniques \(a_\sigma \in \{0,1,\ldots ,p-1\}\) sur \(\mathcal O _{F_d}^*\), et (3) envoie \(p\) sur un certain element \(\overline{\lambda } \in \overline{\mathbb F }_p^*\). Notons aussi que
$$\begin{aligned} \det (X-{\bar{\rho }}_{|G_{F_d}^{\mathrm{ab}}}(p))=(X-\overline{\lambda })^d \in \mathbb F _q[X] \end{aligned}$$
assure que \(\overline{\lambda } \in \mathbb F _q\) (on rappelle que \(\mathbb F _q\) est le corps de définition de \({\bar{\rho }}\)).
Il vient que pour toute collection d’entiers \(\{b_\sigma , \sigma \in \Sigma \}\) telle que \(b_\sigma \equiv a_\sigma \mathrm{mod} p^d\) pour tout \(\sigma \), et pour tout \(\lambda \in \mathcal O _F^*\) tel que \(\overline{\lambda }\equiv \lambda \mathrm{mod} p\), le caractère \(\widetilde{\eta } : G_{F_d} \rightarrow (F_d \cdot F)^*\) défini par la formule
$$\begin{aligned} \forall u \in \mathcal O _{F_d}^*, \widetilde{\eta } \quad \text{ o} \quad \text{ rec}(p u)=\lambda \prod _{\sigma \in \Sigma } \sigma (u)^{b_\sigma } \end{aligned}$$
relève \(\eta \), et donc que \(V:=\text{ Ind}_{G_{F_d}}^{G_{\mathbb Q _p}} \widetilde{\eta }\) relève \({\bar{\rho }}\). Enfin, \(V\) est cristalline car \(F_d\) est non ramifiée et \(\eta \) est cristallin d’après un résultat de Fontaine : les poids de Hodge–Tate de \(V\) sont les \(b_\sigma \) et le polynôme caractéristique du Frobenius cristallin sur \(D_{\mathrm{cris}}(V)\) est \(X^d-\lambda p^{\sum _\sigma a_\sigma }\). Le (i) s’en déduit.
Le (ii) est une conséquence des résultats de Kisin dans [28, §3], expliquons comment. Soit \(x \in X(L)\) un point cristallin à poids de Hodge–Tate distincts \({\mathbf k}=(k_1 < \cdots < k_d)\). Si \(V_R\) désigne la déformation universelle de \({\bar{\rho }}\) (l’anneau \(R\) étant comme dans l’introduction), Kisin démontre l’existence d’un quotient
$$\begin{aligned} R[1/p] \rightarrow R_{{\mathbf k}} \end{aligned}$$
dont les points dans toute \(F\)-algèbre de dimension finie \(B\) paramètrent exactement les morphismes \(R[1/p] \rightarrow B\) tels que \(V_R \otimes _R B\) est cristalline de poids de Hodge–Tate \(k_1 < \cdots < k_d\) [28, Thm. 2.5.5]. Notons \(X_{\mathbf k}\subset X\) le fermé analytique de \(X\) défini par l’idéal noyau de \(R[1/p] \rightarrow R_{{\mathbf k}}\). D’après Kisin [28, Thm. 3.3.4], \(X_{\mathbf k}\) est lisse de dimension \(\frac{d(d-1)}{2}+1\). Rappelons que c’est un fait général que l’application naturelle \(R_{\mathbf k}\rightarrow \mathcal O (X_{\mathbf k})\) induit une bijection \(\psi : X_{\mathbf k}\longrightarrow \text{ Specmax}(R_{{\mathbf k}})\) et des isomorphismes \(\widehat{(R_{\mathbf k})}_{\psi (x)} \rightarrow \mathcal O _{X_{\mathbf k},x}\) sur les annaux locaux complétés pour tout \(x \in X_{\mathbf k}\). Le (ii) découle du lemme suivant.\(\square \)

 

Lemme 4.4

L’ensemble des points \(x \in X_{{\mathbf k}}(L)\) tels que \(\rho _x\) est générique est dense dans \(X_{\mathbf k}(L)\). De plus, si \(x \in X_{\mathbf k}(L)\) est déployé sur \(L\), il existe un ouvert affinoïde \(O\) de \(x\) dans \(X_{\mathbf k}\) tel que \(O(L)\) est constitué de points déployés sur \(L\).

 

Preuve

En effet, Kisin démontre loc. cit. l’existence d’un \(\varphi \)-module filtré \(D\) localement libre de rang \(d\) sur \(R_{{\mathbf k}}\) tel que pour tout quotient artinien \(R_{{\mathbf k}} \rightarrow B,D_{\mathrm{cris}}(V_R \otimes _R B)\) est isomorphe à \(D \otimes _{R_{{\mathbf k}}} B\), ce qui détermine donc \(V_R \otimes _R B\) par l’équivalence de Fontaine.

Soient \(P_\varphi \in R_{\mathbf k}[T]\) le poynôme caractéristique de \(\varphi \) sur \(D\) et \({\mathcal F }\) la variété des drapeaux complets de \(F^d\), disons vue comme variété \(F\)-analytique. Remarquons déjà que l’existence même de \(P_\varphi \), ainsi que le lemme de Krasner, impliquent la seconde partie du lemme, concentrons nous donc sur la première.

Notons que \(\mathrm GL _d \times {\mathcal F }\) est muni d’une action de \(\mathrm{PGL }_d\) définie sur les points affinoïdes par \(g\cdot (\varphi ,{\mathbf F})=(g \varphi g^{-1},g({\mathbf F}))\) (strictement il faudrait insérer des recouvrements pffp ou même Zariski). Soient \(x \in X_{\mathbf k}(L)\) et \(\Omega \) un voisinage ouvert affinoïde de \(x\) dans \(X_{\mathbf k}\) assez petit de sorte que \(D \otimes _{R_{\mathbf k}} \mathcal O (\Omega )\) soit libre de rang \(d\) sur \(\mathcal O (\Omega )\). Le choix d’une base de ce dernier définit alors un morphisme analytique \(\Omega \rightarrow \mathrm GL _d \times {\mathcal F }\) associé à la matrice de \(\varphi \) dans cette base et à la donnée de la filtration de \(D\). Il sera commode de le modifier un peu en
$$\begin{aligned} \mu : \mathrm{PGL }_d \times \Omega \rightarrow \mathrm GL _d \times {\mathcal F }\end{aligned}$$
défini sur les points par \((g,x) \mapsto g\cdot (\varphi (x),{\mathbf F}(x))\). La propriété de \(D\) vis-à-vis des \(F\)-algèbres artiniennes locales \(B\) énoncée plus haut a plusieurs conséquences. Appliquée aux \(B\) qui sont des corps elle entraîne que \(\mu \) est injective. Si de plus un point \(z \in \mathrm{PGL }_d \times \Omega \) est fixé, et appliquée aux épaississement infinitésimaux de \(z\), elle entraîne que
$$\begin{aligned} \mu _z^{*} : \widehat{\mathcal O }_\mathrm{GL _d \times {\mathcal F },\mu (z)} \rightarrow \widehat{\mathcal O }_{\mathrm{PGL }_d\times \Omega ,z} \end{aligned}$$
est un isomorphisme. En effet, c’est un fait général que si \(\theta : A_1 \rightarrow A_2\) est un \(F\)-morphisme local entre des \(F\)-algèbres locales noethériennes complètes telles que pour toute \(F\)-algèbre locale de dimension finie \(B\) l’application naturelle \(A_2(B) \rightarrow A_1(B)\) est bijective, alors \(\theta \) est un isomorphisme. Ce critère se vérifie bien ici car d’une part pour tout tel \(B\)-point de \(X_{\mathbf k}\), les automorphismes de \(V_R \otimes _R B\), ou ce qui revient au même de \(D \otimes _{R_{{\mathbf k}}}B\), sont réduits aux scalaires \(B^\times \), et d’autre part \(\mathrm{PGL }_d(B)=\mathrm GL _d(B)/B^*\) car \(\text{ Pic}(B)=0\). Ainsi, \(\mu \) est injectif et un isomorphisme local formel en tout point de sa source. En particulier, le morphisme \(\mu \) est plat. Comme sa source et son but sont quasi-compacts, un résultat de Bosch-Lütckebohmert (existence de modèles formels plats) assure que \(\mu (\Omega ) \subset \mathrm GL _d \times {\mathcal F }\) est un ouvert admissible (quasi-compact). Comme \(\mu \) induit des isomorphismes en chaque point sur les corps résiduels, suffit de voir pour conclure que si
$$\begin{aligned} (\varphi ,{\mathbf F}) \in \mathrm GL _d(L) \times {\mathcal F }(L) \end{aligned}$$
est donné, et si \(U\) en est un voisinage ouvert pour la topologie \(p\)-adique, alors \(U\) contient une paire \((\varphi ^{\prime },{\mathbf F}^{\prime })\)\(\varphi ^{\prime }\) est semi-simple à valeurs propres \(\lambda _i \in \overline{L}\) distinctes, telles que \(\lambda _i/\lambda _j \notin p^\mathbb Z \) pour \(i\ne j\), et dont les espaces propres dans \(\overline{L}^d\) sont en position générale par rapport à \({\mathbf F^{\prime }}\).

Choisir un \(\varphi ^{\prime }\) proche de \(\varphi \) satisfaisant les deux premières conditions est immédiat, fixons le. Soit \(V \subset {\mathcal F }(L)\) un voisinage ouvert assez petit de \({\mathbf F}\) de sorte que que \(\{\varphi ^{\prime }\} \times V \subset U\). Notons que \(V\) est dense dans \({\mathcal F }(\overline{L})\) pour la topologie de Zariski de ce dernier (qui est irréductible). Il suffit pour conclure de remarquer que l’ensemble des drapeaux complets de \(\overline{L}^d\) qui sont en position générale avec un nombre fini fixé de drapeaux complets forment un ouvert Zariski : c’est standard pour un drapeau (“grosse cellule de Bruhat”), et le cas général s’en déduit par intersection finie.\(\square \)

Remarquons que les relevements cristallins exhibés au (i) ci-dessus ne sont pas Zariski-denses dans \(X\), car ils restent dans le sous-espace fermé des représentations induites d’un caractère de \(F_d\), dont on vérifie facilement qu’il est de dimension \(d < d^2+1\).

Démontrons enfin le théorème \(A\) de l’introduction. Fixons une fois pour toutes un point cristallin \(x \in X(L)\) déployé sur \(L\) donné par la proposition 4.3 (i), ainsi qu’un ouvert affinoïde \(U \subset X\) connexe et contenant \(x\). Notons que \(X\) étant normal, \(U\) est irréductible. Soit \(W \subset U\) le fermé analytique réduit obtenu en prenant l’adhérence Zariski des points cristallins de \(U(L)\). Les affinoïdes étant excellents et de Jacobson (voir [21, §1]), le lieu régulier de \(W\) est un ouvert Zariski qui est dense dans \(W\). En particulier, il existe des points cristallins \(y \in U(L)\) qui sont réguliers dans \(W\). Quitte à remplacer \(x\) par un tel point, nous pouvons donc supposer que \(x\) est régulier dans \(W\). Appliquant la proposition 4.3 (ii) à un voisinage ouvert affinoïde \(\Omega \) de \(x\) dans \(U\) qui soit assez petit de sorte que \(\Omega \cap W\) soit régulier, on peut finalement supposer que \(x \in W(L)\) est cristallin générique, déployé sur \(L\), et régulier dans \(W\). La proposition 4.2 assure alors que \(\dim W = \dim _F T_x(W) = d^2+1 = \dim X\), et donc que \(W\) contient un ouvert de \(X\) contenant \(x\). Comme \(U\) est irréductible, cet ouvert est Zariski-dense dans \(U\), ce qui conclut la preuve du théorème.

4.2 Preuve de la proposition 4.2

Fixons \(L\) une extension finie de \(\mathbb Q _p\) et \(x \in X(L)\) tels que
$$\begin{aligned} V_0:=\rho _x \end{aligned}$$
est cristalline générique et déployée sur \(L\). On notera \(k_1<\cdots <k_d\) les poids de Hodge–Tate de \(V_0\) rangés par ordre croissant. (Nous prenons pour convention que \(\mathbb Q _p(1)\) a pour poids de Hodge–Tate \(-1\).) On rappelle que le \((\varphi ,\Gamma )\)-module
$$\begin{aligned} D_0:=D_{\mathrm{rig}}(V_0) \end{aligned}$$
est triangulin sur \(\mathcal R _L\) d’exactement \(d!\) manières différentes. Plus précisément, fixons \(\mathcal F \) un raffinement de \(V_0\), c’est à dire un drapeau complet \(L[\varphi ]\)-stable dans \(D_{\mathrm{cris}}(V_0)\)
$$\begin{aligned} \mathcal F =\left(\mathcal F _0=\{0\} \subsetneq \mathcal F _1 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathcal F _d=D_{\mathrm{cris}}(V_0)\right). \end{aligned}$$
Il est équivalent ici de se donner un ordre \(\varphi _1,\ldots ,\varphi _d\) sur les valeurs propres de \(\varphi \) sur \(D_{\mathrm{cris}}(V_0),\varphi \) agissant sur \(\mathcal F _i/\mathcal F _{i-1}\) par la multiplication par \(\varphi _i\). À chaque tel \(\mathcal F \) est associée une triangulation
$$\begin{aligned} \mathcal T =(\text{ Fil}_i(D_0)) \end{aligned}$$
de \(D_0\) définie comme suit. Nous avons déjà dit que d’après Berger le \(L[\varphi ]\)-module \((D_0[1/t])^{\Gamma }\) est canoniquement isomorphe à \(D_{\mathrm{cris}}(V_0)\), on pose alors
$$\begin{aligned} \text{ Fil}_i(D_0)=(\mathcal R _L[1/t].\mathcal F _i)\cap D_0. \end{aligned}$$
L’application \(\mathcal F \mapsto {\mathcal T }\) induit alors la bijection cherchée entre raffinements de \(V_0\) et triangulations de \(D_0\), d’après [2, §2.4]. Dans cette bijection, le paramètre \((\delta _i)\) de \(\mathcal T \) est relié à \(\mathcal F \) par les formules
$$\begin{aligned} \delta _i(p)=\varphi _i p^{-k_i}, \quad \delta _i(\gamma )=\gamma ^{-k_i} \quad \forall \gamma \in \mathbb Z _p^*, \end{aligned}$$
(cela découle de [2, prop. 2.4.1] et de l’hypothèse (G3) de généricité).
Fixons \(\mathcal F \) un raffinement de \(V_0\) et considérons le \((\varphi ,\Gamma )\)-module triangulin sur \(\mathcal R _L\) associé \((D_0,{\mathcal T })\). L’hypothèse (G2) de généricité entraîne qu’il est régulier. Fixons enfin une rigidification \(\nu _0\) de \((D_0,{\mathcal T })\), ce qui nous fournit donc un point
$$\begin{aligned} x_0 =(D_0,{\mathcal T },\nu _0) \in S_d^\square (L). \end{aligned}$$
Soient \(\Omega \subset S_d^{\square }\) un voisinage ouvert affinoïde de \(x_0\) et
$$\begin{aligned} f : \Omega \rightarrow X \end{aligned}$$
comme dans le corollaire 3.19. Quitte à remplacer \(\Omega \) par un voisinage plus petit, on peut supposer d’une part que \(f(\Omega ) \subset U\) (l’ouvert \(U\) étant celui de l’énoncé de la proposition 4.2), et d’autre part que les points cristallins sont Zariski-dense dans \(\Omega (L)\) d’après le théorème 3.14. Si \(W\) est l’adhérence Zariski des points cristallins de \(U(L)\), l’analyticité de \(f\) entraîne que
$$\begin{aligned} f(\Omega ) \subset W. \end{aligned}$$
(4.1)
D’autre part, si \(L[\varepsilon ]\) désigne les nombres duaux sur \(L\) (de sorte que \(\varepsilon ^2=0\)) alors la fonction analytique \(f\) induit une application tangente (voir la fin du § 3.6)
$$\begin{aligned} df_{x_0} : \widehat{(F_d^\square )}_{x_0}(L[\varepsilon ]) \longrightarrow T_x(X) \end{aligned}$$
qui n’est autre, d’après le corollaire 3.19 appliqué aux morphismes \(\text{ Sp}(L[\varepsilon ]) \rightarrow \Omega \) d’image \(x_0\), où ce qui revient au même à tous les morphismes \(\text{ Sp}(L[\varepsilon ]) \rightarrow S_d^\square \) d’image \(x_0\) car \(\Omega \subset S_d^\square \) est ouvert, que l’application associant à un \(c=[(D,\text{ Fil}_\bullet ,\nu )]\) dans \(F_d^\square (L[\varepsilon ])\) et d’image \([x_0]\) dans \(F_d^\square (L)\) l’unique déformation de \(V_0\) sur \(L[\varepsilon ]\) dont le \(D_{\mathrm{rig}}\) est isomorphe à \(D\). Il vient que
$$\begin{aligned} T_{V_0,\mathcal F }:=\text{ Im}(df_{x_0}) \subset T_x(X) \end{aligned}$$
est exactement le sous-espace des déformations \(\mathcal F \)-triangulines de \(V_0\) au sens de [2, §2.5] et [13, §3]. En effet, \(df_{x_0}\) se factorise évidemment par le morphisme d’oubli
$$\begin{aligned} \widehat{(F_d^\square )}_{x_0}(L[\varepsilon ]) \rightarrow \widehat{(F_d)}_{[(D_0,{\mathcal T })]}(L[\varepsilon ]), \end{aligned}$$
et \(V_0\) étant générique l’algèbre \(\mathrm End _{(\varphi ,\Gamma )/L}(D_0)\) est réduite aux homothéties d’après [13, lemma 3.21], de sorte que \(\widehat{(F_d)}_{[(D_0,{\mathcal T }_0)]}\) est le foncteur des déformations triangulines de \((D_0,{\mathcal T })\) d’après le lemme 3.12. La relation (4.1), combinée au fait que \(W\) est fermé et \(\Omega \) réduit, assure donc que
$$\begin{aligned} T_{V_0,\mathcal F } \subset T_x(W) \end{aligned}$$
pour tout raffinement \(\mathcal F \) de \(V_0\). On conclut alors par le résultat crucial suivant, démontré dans [13] : “Toute déformation à l’ordre \(1\) d’une représentation cristalline générique est combinaison linéaire de déformations triangulines”.

Théorème 4.6

[13, Thm. C] \(T_x(X) = \sum _{\mathcal F } T_{V_0,\mathcal F }\).

 

4.3 Une généralisation

Terminons par un énoncé plus général que nous démontrons par la même méthode. Soit \(d\ge 1\) un entier. Nous renvoyons à [12] pour la notion de variété des caractères \(p\)-adiques de dimension \(d\) d’un groupe profini \(G\). Disons simplement ici que si l’on suppose que tout sous-groupe ouvert \(U \subset G\) a la propriété que \(|\mathrm Hom (U,{\mathbb F }_p)| < \infty \), alors le foncteur \(\text{ Aff} \rightarrow \text{ Ens}\) associant à \(A\) l’ensemble des pseudo-caractères continus \(G \rightarrow A\) de dimension \(d\) est représentable par un espace analytique \(p\)-adique \({\mathfrak X }\) : c’est la variété des caractères \(p\)-adiques de \(G\) de dimension \(d\). En particulier, les points fermés de cette variété sont en bijection avec les classes de conjugaison de représentations continues semi-simples \(G \rightarrow GL_d(\overline{\mathbb Q }_p)\). Dans le cas particulier \(G=\text{ Gal}(\overline{\mathbb Q }_p/\mathbb Q _p)\) on peut démontrer que \({\mathfrak X }\) est équidimensionnel de dimension \(d^2+1\), et que son lieu singulier coïncide exactement avec le lieu des représentations réductibles (avec une exception quand \(d=2\)) : voir [15]. Des arguments similaires à ceux de la preuve du théorème \(A\) démontrent :

Théorème 4.8

Soit \({\mathfrak X }_d\) la variété des caractères \(p\)-adiques de dimension \(d\) de \(\text{ Gal} (\overline{\mathbb Q }_p/\mathbb Q _p)\). Soit \(Y\) une composante irréductible de \({\mathfrak X }_d\) et \(L\) une extension finie de \(\mathbb Q _p\) telle que \(Y(L)\) contiennent un point cristallin déployé absolument irréductible. Alors les points cristallins déployés de \(Y(L)\) sont Zariski-dense et d’accumulation dans \(Y\).

Il semble raisonnable de formuler la conjecture suivante, que l’on peut voir comme un analogue local de la conjecture de modularité de Serre.

Conjecture 4.9

Toute composante irréductible de \({\mathfrak X }_d\) contient un point cristallin absolument irréductible.

 

Corollaire 4.10

Si la conjecture 4.9 est vraie, alors les points cristallins sont Zariski-dense dans \({\mathfrak X }_d\).

L’application “représentation résiduelle” réalise l’espace \({\mathfrak X }\) comme réunion disjointe admissible d’espaces \({\mathfrak X }({\bar{\rho }})\) indexés par l’ensemble des représentations continues semi-simples \({\bar{\rho }}: G_{\mathbb Q _p} \longrightarrow \mathrm GL _n(\overline{\mathbb F }_p)\) prises modulo isomorphisme et action du Frobenius sur l’image. Lorsque \({\bar{\rho }}\) est absolument irréductible, la composante \({\mathfrak X }({\bar{\rho }})\) est simplement l’espace défini dans l’introduction. Quand \({\bar{\rho }}\not \simeq {\bar{\rho }}(1)\) il est irréductible (c’est une boule!) et la conjecture ci-dessus est facile : c’est la proposition 4.3 (i). À défaut de pouvoir proposer une argument plausible pour la conjecture ci-dessus, démontrons le résultat suivant. Il assure que pour tout \({\bar{\rho }}\), au moins une (de l’ensemble fini) des composantes irréductibles de \({\mathfrak X }({\bar{\rho }})\) contient un point cristallin absolument irréductible.

Proposition 4.11

Soit \({\bar{\rho }}: G_{\mathbb Q _p} \rightarrow \mathrm GL _d({\mathbb F }_q)\) une représentation semi-simple continue. Il existe une extension finie \(L/\mathbb Q _p\) et une représentation \(G_{\mathbb Q _p} \rightarrow \mathrm GL _d(L)\) cristalline absolument irréductible dont la représentation résiduelle est \({\bar{\rho }}\).

Avant de procéder à la démonstration, il est raisonnable de commencer par le lemme suivant. La seconde partie est à comparer avec des observations antérieures de l’auteur et Bellaïche (voir par exemple [2, §4] ou encore [3, lemme 3.3]). Dans cet énoncé, \(r\) est une représentation semi-simple quelconque (comme au corollaire 3.19) et \(L/\mathbb Q _p\) une extension finie de \(\mathbb Q _p\).

Lemme 4.12

Soient \(x \in S_d^{\square }(r)(L)\) tel que \(\delta (x) \in B_d(L)\) et \(U \subset S_d^\square (r)\) un voisinage de \(x\). Pour tout réel \(C>0\), il existe un ouvert affinoïde \(V \subset U\) et un ensemble \(Y \subset V(L)\) Zariski-dense dans \(V\) tels que pour tout \(y \in Y\) la représentation \(V_y\) soit cristalline et telle que \(\delta (y)=(\delta _i) \in {\mathcal T }(L)^d\) ait les propriétés suivantes:
  1. (a)

    il existe une suite strictement croissante d’entiers \(k_1,\ldots ,k_d\) telle que \(\delta _i(\gamma )=\gamma ^{-k_i}\) pour tout \(i\) et tout \(\gamma \in \mathbb Z _p^*\), et telle que pour toute paire de parties distinctes \(I,J \subset \{1,\ldots ,d\}\) avec \(1\le |I|=|J| < d\), on ait \(|\sum _{i \in I} k_i -\sum _{j \in J} k_j| > C\).

     
  2. (b)

    pour tout \(i,v(\delta _i(p))=v(\delta (x)_i(p))\),

     
On peut de plus supposer que les \(V_y\) avec \(y \in Y\) sont absolument irréductibles dans chacun des cas suivants:
  1. (i)

    \(V_x\) est absolument irréductible,

     
  2. (ii)

    \(x\) a la propriété que pour toute partie \(J \subset \{1,\ldots ,n\}\) telle que \(1\le |J| < n\) on ait \(\sum _{j \in J} v(\delta (x)_j(p)) \ne 0\).

     

 

Preuve

Quitte à rétrécir \(U\) on peut supposer qu’il est dans l’ouvert affinoïde donné par la proposition 3.17. Considérons un voisinage \(U\) de \(x\), ainsi que \(\iota \) et \(\Omega \) comme dans le corollaire 3.5. Quitte à rétrécir \(\Omega \) on peut supposer que les \(\delta _i(p)\), vues comme fonctions analytiques sur \(U\), sont chacune de valuation constante. L’existence de \(y\) satisfaisant (a) et (b) résulte alors du lemme 3.15 et de ce que l’ensemble des suites croissantes \((k_1,\ldots ,k_d)\) vues comme éléments de \(\mathrm Hom (\mathbb Z _p^\times ,L)^d\) qui satisfont la condition la condition (a) (pour un \(C\) fixé) est Zariski-dense dans \(\mathrm Hom (\mathbb Z _p^\times ,\mathbb G _m)^d\) et s’accumule en tous les points de \(\mathbb Z ^d\).

Pour le second point, il découle dans le cas (i) de la proposition 3.17 et du fait classique que si \(\rho : G \rightarrow \mathrm GL _d(A)\) est une représentation d’un groupe \(G\) à valeurs dans un anneau commutatif \(A\) telle que pour un \(x \in \text{ Spec}(A)\) la représentation \(\rho _x : G \rightarrow \mathrm GL _d(k(x))\) évaluée en \(x\) est absolument irréductible, alors il en va de même pour tout \(\rho _y\) pour \(y\) dans un voisinage ouvert de \(x\) dans \(\text{ Spec}(A)\) : en effet, il existe \(g_1,\ldots g_{d^2} \in G\) tels que \(\det (\text{ trace}(\rho (g_ig_j))) \in A_x^\times \) (Wedderburn) et donc dans \(A_f^\times \) pour \(x \in D(f)\) et \(f\) bien choisie.

Dans le cas (ii), il suffit de voir que le \(D_{\mathrm{cris}}(V_y)\) n’a pas de sous-\(\varphi \)-module filtré admissible non trivial. Mais si l’on a un tel sous-module, disons de rang \(1 \le r < d\), l’égalité des extrémités de ses polygones de Hodge et Newton implique qu’il existe deux parties \(I,J \subset \{1,\ldots ,d\}\) avec \(|I|=|J|=r\) telles que
$$\begin{aligned} \sum _{i \in I}k_i = \sum _{j \in J} v(\varphi _j) \end{aligned}$$
\(\varphi _1,\ldots ,\varphi _d \in L^\times \) désignent les valeurs propres du Frobenius de \(D_{\mathrm{ris}}(V_y)\). Quitte à renuméroter les \(\varphi _i\), le (a) entraîne que \(\delta _j(p)=\varphi _j p^{-k_j}\) pour tout \(j\), de sorte que l’égalité ci-dessus s’écrive aussi
$$\begin{aligned} \sum _{i \in J} v(\delta _j(p)) = \sum _{i \in I} k_i - \sum _{j \in J} k_j. \end{aligned}$$
Mais par le (b), le terme de gauche est aussi \(\sum _{j \in J} v(\delta (x)_j(p))\), qui est un nombre fixé disons \(C^{\prime }\). Ainsi, si l’on choisit \(y\) de sorte que le (a) est vérifié pour \(C > C^{\prime }\), il vient que \(I=J\), et on obtient la contradiction voulue.\(\square \)

 

Preuve

(de la proposition 4.11) Quitte à grossir \({\mathbb F }_q\) on peut supposer que \({\bar{\rho }}=\oplus _{i=1}^s {\bar{\rho }}_i\) où chaque \({\bar{\rho }}_i\) est absolument irréductible. Nous allons raisonner par récurrence sur le nombre \(s\) de facteurs, le cas \(s=1\) résultant de la proposition 4.3 (i). Pour \(s>1\) on peut donc trouver une extension finie \(L/\mathbb Q _p\) et des \(L\)-représentations cristallines \(V_1\) et \(V_2\) de représentations résiduelles respectives \({\bar{\rho }}_1\) et \(\oplus _{i=2}^r {\bar{\rho }}_i\). On pose
$$\begin{aligned} a=\dim _L V_1, \quad b=\dim _L V_2. \end{aligned}$$
On note \(k_1 \le k_2 \le \cdots \le k_a\) (resp. \(k_{a+1} \le k_{a+2} \le \cdots \le k_d\)) les poids de Hodge–Tate de \(V_1\) (resp. \(V_2\)) et \(\varphi _1,\ldots ,\varphi _a\) (resp. \(\varphi _{a+1},\ldots ,\varphi _{d}\)) les valeurs propres du Frobenius cristallin de \(V_1\) (resp. \(V_2\)). Quitte à appliquer le lemme 4.12 dans le cas (i) à \(V_1\) et \(V_2\) munis de leurs raffinements respectifs associés à \((\varphi _1,\ldots ,\varphi _a)\) et \((\varphi _{a+1},\ldots ,\varphi _d)\), on peut supposer que \((k_i)\) est strictement croissante, et que si
$$\begin{aligned} C=\text{ Sup}_i |v(\varphi _i)-k_i|+1, \end{aligned}$$
(4.9)
alors le paramètre de \(D_{\mathrm{rig}}(V_1) \oplus D_{\mathrm{rig}}(V_2)\) muni de la triangulation donnée par le raffinement \((\varphi _1,\cdots ,\varphi _d)\) satisfait le (b) du lemme pour la constante \(dC\) : pour toute paire de parties \(I \ne J \subset \{1,\ldots ,d\}\) avec \(|I|=|J| < d\) on a
$$\begin{aligned} \left|\sum _{i \in I} k_i-\sum _{j \in J} k_j\right| > dC. \end{aligned}$$
(4.10)
En particulier, les \(\varphi _i\) sont distincts. Considérons une extension non triviale cristalline
$$\begin{aligned} 0 \longrightarrow V_1 \longrightarrow V \longrightarrow V_2 \longrightarrow 0. \end{aligned}$$
Il y a plusieurs façons de voir qu’une telle extension existe, cela vient par exemple de ce que \(H^1_f(G_{\mathbb Q _p},V_1 \otimes _L V_2^\vee )\) est de dimension au moins égale au nombre de poids de Hodge–Tate strictement négatifs de \(V_1 \otimes _L V_2^\vee \) par un résultat classique de Bloch-Kato (ici ces poids sont les \(k_i - k_j\) avec \(i\le a\) et \(j > a\), qui sont en fait tous strictement négatifs). La démonstration va consister à appliquer une variante du lemme 4.12 dans le cas (ii) au \((\varphi ,\Gamma )\)-module triangulin associé à un raffinement bien choisi de \(V\), que nous commençons par définir.
Considérons la permutation \(\sigma \in {\mathfrak S }_d\) définie par \(\sigma (i)=i+a\) si \(i=1,\ldots ,b\) et \(\sigma (i+b)=i\) si \(i=1,\ldots , a\), et considérons le raffinement
$$\begin{aligned} \mathcal F =(\varphi _{\sigma (1)},\varphi _{\sigma (2)},\ldots ,\varphi _{\sigma (d)}) \end{aligned}$$
de la représentation \(V\). Soit \(\tau \in {\mathfrak S }_d\) la permutation telle que \((k_{\tau (1)},k_{\tau (2)},\ldots ,k_{\tau (d)})\) est la suite des sauts de la filtration de Hodge de \(D_{\mathrm{cris}}(V)\) définie par \(\mathcal F \). D’après [2, §2.4], si \((D,{\mathcal T })\) désigne le \((\varphi ,\Gamma )\)-module triangulin associé à \((V,\mathcal F )\) alors les paramètres \(\delta _i\) de \((D,{\mathcal T })\) vérifient
$$\begin{aligned} \delta _i(p)=\varphi _{\sigma (i)}p^{-k_{\tau (i)}}, \quad \delta _i(\gamma )=\gamma ^{-k_{\tau (i)}} \quad \forall \gamma \in \mathbb Z _p^\times . \end{aligned}$$
Commençons par vérifier une propriété clé de ce raffinement :
$$\begin{aligned} \sigma \tau ^{-1}(\{1,2,\ldots ,a\}) \ne \{1,2,\ldots ,a\}. \end{aligned}$$
(4.11)
En effet, considérons \(D^{\prime } \subset D\) l’unique sous-\((\varphi ,\Gamma )\)-module cristallin saturé dont les valeurs propres du Frobenius cristallin sont les \(\varphi _i\) avec \(a+1 \le i \le d\). L’application naturelle \(\eta : D^{\prime } \rightarrow D_{\mathrm{rig}}(V_2)\) est injective (c’est un isomorphisme sur les \(D_{\mathrm{cris}}\)), et comme le paramètre de \(D_{\mathrm{rig}}(V_2)\) est dans \(B_b(L)\) on en déduit l’inégalité pour l’ordre lexico-graphique
$$\begin{aligned} (\tau (1),\tau (2),\ldots ,\tau (b)) \le (a+1,a+2,\ldots ,d). \end{aligned}$$
De plus, cette inégalité est une égalité si et seulement si \(\eta \) est surjective, ce qui ne se produit pas car \(V\) est non scindée. C’est donc une inégalité stricte, de sorte qu’il existe un \(1 \le i_0 \le b\) tel que \(\tau (i_0) \le a\), et en particulier \(\tau (i_0) \le a < \sigma (i_0)\), ce qui prouve (4.11). La conséquence importante de cette propriété est en fait que si \(I=\tau ^{-1}(\{1,2,\ldots ,a\})\) alors
$$\begin{aligned} \sum _{i \in I} v(\delta _i(p)) \ne 0. \end{aligned}$$
(4.12)
En effet, \(\sigma (I) \ne \tau (I)\) donc d’après la relation \(\delta _i(p)=\varphi _{\sigma (i)}p^{-k_{\tau (i)}}\), ainsi que (4.9) et (4.10):
$$\begin{aligned} \left|\sum _{i \in I} v(\delta _i(p))\right|&= \left|\sum _{i \in I} v(\varphi _{\sigma (i)})-k_{\sigma (i)}+\sum _{i \in \sigma (I)} k_i - \sum _{i \in \tau (I)} k_i\right|\\&\ge dC-|I|C >0. \end{aligned}$$
Nous voudrions maintenant appliquer le lemme 4.12 dans le cas (ii) au point \(x=(D,{\mathcal T },\nu )\) pour un choix quelconque de \(\nu \). Nous ne pouvons pas le faire tout à fait car la relation \(\sum _{i \in I} v(\delta _i(p)) \ne 0\) n’est connue que pour la partie \(I=\tau ^{-1}(\{1,\ldots ,a\})\). Nous allons raffiner l’argument du lemme précédent pour voir qu’ici cette information suffit. La représentation \(V_x\) est extension non triviale de deux représentations absolument irréductibles distinctes, il résulte alors du corollaire 3.18 et de [15, Lemme 1.1] qu’il existe un voisinage ouvert affinoïde irréductible \(U\) de \(x\) dans \(S_d^\square (r)\) tel que l’un des deux cas suivants se présente :
  1. (1)

    soit les \(V_y\) avec \(y \in U\) sont absolument irréductibles hors d’un fermé Zariski propre de \(U\),

     
  2. (2)

    soit pour tout \(y \in U\) alors \(V_y^{\mathrm{ss}}\) est somme directe de deux représentations absolument iréductibles, l’une étant de dimension \(a\) et l’autre de dimension \(b\).

     
Si l’on se trouve dans le cas (1), alors le lemme 4.12 conclut directement. Supposons donc que l’on se trouve dans le cas (2). Dans ce cas, il n’est pas difficile de voir que quitte à restreindre \(U\) on peut supposer que le \(\mathcal O (U)[\text{ Gal}(\overline{\mathbb Q }_p/\mathbb Q _p)]\)-module \(M\) donné par la proposition 3.17 est dans une suite exacte Galois-équivariante
$$\begin{aligned} 0 \rightarrow M_1 \rightarrow M \rightarrow M_2 \rightarrow 0, \end{aligned}$$
où les \(M_i\) sont libres sur \(\mathcal O (U)\), qui se spécialise en \(x\) sur la suite \(0 \rightarrow V_1 \rightarrow V \rightarrow V_2 \rightarrow 0\) (voir [2, §1]). Désignons par \((\Delta _i) \in {\mathcal T }_d(U)\) le paramètre canonique et par \(\kappa _i=-\left(\frac{\partial {\Delta _i}}{\partial \gamma }\right)_{\gamma =1} \in \mathcal O (U)\). Par construction, on a \(\Delta _i(x)=\delta _i\) pour tout \(i\). La théorie de Sen en famille et l’irréductibilité de l’affinoïde \(U\) assurent que les poids de Hodge–Tate–Sen de \(M_1\) sont les \(\kappa _j\) pour un certain sous-ensemble \(J \in \{1,\ldots ,d\}\) tel que \(|J|=a\). On a d’une part \(\{\kappa _j(x)\}=\{k_i, i=1,\ldots ,a\}\) car \(M_1 \otimes k(x)=V_1\) et d’autre part \(\kappa _j(x)=k_{\tau (j)}\) par définition, de sorte que
$$\begin{aligned} J=\tau ^{-1}(\{1,\ldots ,a\}). \end{aligned}$$
On applique enfin le lemme 4.12 à \(U\) et à un nombre réel \(C^{\prime } > d \, \, \text{ sup}_i v(\delta _i(p))\), ce qui nous donne un \(V \subset U\) et un \(Y \subset V(L)\). Fixons \(y \in Y\) et considérons la représentation \(M_1 \otimes k(y)\). Elle est cristalline, de poids de Hodge–Tate les \(\kappa _i(y)\), et de valeurs propres de Frobenius les \(\Delta _j(p)(y)p^{\kappa _j(y)}\) pour \(j\) parcourant un certain ensemble \(J_y \subset \{1,\ldots ,a\}\) tel que \(|J_y|=a\). L’égalité entre les extrémités des polygones de Hodge et Newton de \(M_1 \otimes k(y)\) s’écrit alors
$$\begin{aligned} \sum _{j \in J} \kappa _j(y) = \sum _{j \in J_y} v(\Delta _j(p)(y)p^{\kappa _j(y)})= \sum _{j \in J_y} v(\delta _j(p)) + \sum _{j \in J_y} \kappa _j(y). \end{aligned}$$
Le choix de \(C^{\prime }\) et la propriété (a) assurent enfin que \(J_y=J\), puis que \(\sum _{j \in J} v(\delta _j(p))=0\), ce qui est absurde par ().\(\square \)

 

Remarque 4.13

Notons qu’il ressort de la démonstration que le corps de définition \(L\) peut être précisé dans l’énoncé de la proposition 4.11. Par exemple, si \({\bar{\rho }}\) est la représentation triviale, alors on peut choisir \(L=\mathbb Q _p\).

 

Footnotes

  1. 1.

    L’auteur est financé par le C.N.R.S.

  2. 2.

    Cela signifie que \({\bar{\rho }}\) est irréductible et le reste après extension des scalaires à \(\overline{\mathbb F }_p\). Rappelons aussi que \({\bar{\rho }}\) est nécessairement définie sur le sous-corps de \({\mathbb F }_q\) engendré par les coefficients des \(\det (t-{\bar{\rho }}(g)),g \in G_{\mathbb Q _p}\) (l’obstruction de Schur est vide pour les corps finis), de sorte qu’il n’est pas restrictif de supposer que ce corps est exactement \({\mathbb F }_q\), ce que nous faisons désormais par commodité.

  3. 3.

    Précisément, si le Frobenius cristallin de \(D_{\mathrm{cris}}(\rho _x)\) est semi-simple.

  4. 4.

    Le fait que l’analogue “automorphe” global de ce résultat était déjà connu est aussi la raison pour laquelle nous avions étudié le cas global en premier dans [13]. Ces deux contextes comportent des similarités évidentes mais aussi des différences importantes, par exemple on ne dispose malheureusement pas en global d’analogue de la proposition 4.3 (ii).

  5. 5.

    Une conséquence de cette propriété est l’existence d’une sous-catégorie pleine, abélienne, naturelle de celle des \(\mathcal O (X)\)-modules que Schneider et Teitelbaum nomment “co-admissibles” : un \(\mathcal O (X)\)-module est dit co-admissible si il est la limite projective d’une suite de \(\mathcal O (X_n)\)-modules de type fini \(M_n\) munis d’isomorphismes \(M_{n+1} \otimes _{\mathcal O (X_{n+1})} \mathcal O (X_n) \rightarrow M_n\) pour tout \(n\ge 0\). Ces modules ont par définition une topologie canonique de \(\mathcal O (X)\)-module de Fréchet. Les \(\mathcal O (X)\)-modules de présentation finie sont admissibles, ainsi que tous leurs sous-modules de type fini et plus généralement fermés. Nous renvoyons à loc. cit pour plus de renseignements. Nous n’aurons recours à ces résultats que dans la preuve du lemme 1.3 (iv) (lui-même utilisé uniquement pour le théorème 2.33).

  6. 6.

    Comme \(A\)-module, on a donc \(D^{^{\prime }(n)}=D^{(n)}\).

  7. 7.

    Rappelons que d’après [14, lemme 3.18], une représentation continue \(\rho : G \rightarrow \mathrm GL _d(A)\) d’un groupe profini \(G\) étant donnée, on peut toujours trouver un recouvrement fini de \(X\) par des affinoïdes \(U_i\), ainsi que des modèles \(\mathcal A _i \subset \mathcal O (U_i)\), tels que pour tout \(i\) la représentation \(\rho \otimes _A \mathcal O (U_i)\) de \(G\) sur \(\mathcal O (U_i)^d\) stabilise un sous-\({\mathcal A }_i\)-module libre \(L_i\) de rang \(d\) tel que \(L_i[1/p]=\mathcal O (U_i)^d\).

  8. 8.

    Un tel générateur n’existe bien sûr que pour \(p>2\). Quand \(p=2\), on choisit pour \(\gamma \in \Gamma \) un élément engendrant topologiquement \(\Gamma /\Gamma _{\mathrm{tors}}\)\(\Gamma _{\mathrm{tors}}=\{\pm 1\}\). On définit ensuite \(C(D)^\bullet \) de la même manière à ceci près que de \(D\) y est partout remplacé par ses invariants \(D^{\Gamma _{\mathrm{tors}}}\) sous le groupe fini \(\Gamma _{\mathrm{tors}}\), ce qui n’altère aucun des arguments qui suivent.

  9. 9.

    Ils sont discrets au sens que tout ouvert affinoïde de \({\mathcal T }\) ne rencontre qu’un nombre fini de tels points.

  10. 10.

    Si \(p=2\), il faut remplacer \(A/(1-\delta (p)p^{-i})\) par \(A/(\delta (-1)+1,1-\delta (p)p^{-i})\).

  11. 11.

    Pour les raisons usuelles il ne s’agit pas vraiment d’un ensemble. Pour contourner ce problème il suffit de rajouter une fois pour toutes dans la définition d’un \((\varphi ,\Gamma )\)-module triangulin régulier rigidifié de rang \(d\) sur \(\mathcal R _A\) que le \(\mathcal R _A\)-module sous-jacent est \(\mathcal R _A^d\) (plutôt que simplement, isomorphe à \(\mathcal R _A^d\)).

  12. 12.

    Il est immédiat de vérifier que si \(U\) et \(V\) sont des affinoïdes, et si \(A \subset U\) et \(B \subset V\) des parties Zariski-denses, alors \(A \times B\) est Zariski-dense dans \(U \times V\).

  13. 13.

    Avec éventuellement \({\bar{\rho }}\simeq {\bar{\rho }}(1)\).

  14. 14.

    Il s’agit ici de poids de Hodge–Tate relativement à \(L\), c’est à dire les racines du polynôme de Sen vu comme élément de \(L[T]\).

References

  1. 1.
    Bellaïche, J.: Ranks of Selmer groups in an analytic family. Trans. Amer. Math. Soc. 364, 4735–4761 (2012)Google Scholar
  2. 2.
    Bellaïche, J., Chenevier, G.: Families of Galois representations and Selmer groups. In: Astérisque, vol. 324, Soc. Math., France (2009)Google Scholar
  3. 3.
    Bellaïche, J., Chenevier, G.: The sign of Galois representations attached to automorphic forms for unitary groups. Compositio Math. 147, 1337–1352 (2011)MATHCrossRefGoogle Scholar
  4. 4.
    Benois, D.: A generalization of Greenberg’s \(\cal L\)-invariant, prépublication disponible sur ArXiV (2009)Google Scholar
  5. 5.
    Berger, L.: Représentations p-adiques et équations différentielles. Invent. Math. 148(2), 219–284 (2002)MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  6. 6.
    Berger, L.: Équations différentielles p-adiques et \((\phi , N)\)-modules filtrés. In: Représentations p-Adiques de Groupes p-Adiques. I. Représentations Galoisiennes et \((\phi ,\Gamma )\)-Modules. Astérisque No. 319, pp. 13–38 (2008)Google Scholar
  7. 7.
    Berger, L., Chenevier, G.: Représentations potentiellement triangulines de dimension 2. Journal de théorie des nombres de Bordeaux 22(3), 557–574 (2010)Google Scholar
  8. 8.
    Berger, L., Colmez, P.: Familles de représentations de de Rham et monodromie p-adique. Astérisque 319, 303–337 (2008)Google Scholar
  9. 9.
    Bosch, S., Güntzer, U., Remmert, R.: Non-archimedean analysis, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 261, Springer-Verlag, Berlin (1984)Google Scholar
  10. 10.
    Buzzard, K.: On p-adic families of automorphic forms, dans Modular curves and abelian varieties. In: Progr. Math., vol. 224, pp. 23–44. Birkhäuser, Basel (2004)Google Scholar
  11. 11.
    Chenevier, G.: Variétés de Hecke des groupes unitaires et représentations galoisiennes. Cours Peccot, Collège de France (2008). disponible à l’adresse http://www.math.polytechnique.fr/~chenevier/courspeccot.html
  12. 12.
    Chenevier, G.: The p-adic analytic space of pseudo-characters of a profinite group, and pseudo-representations over arbitrary rings. prépublication disponible sur ArXiV (2008)Google Scholar
  13. 13.
    Chenevier, G.: On the infinite fern of Galois representations of unitary type. prépublication disponible sur ArXiV (2009)Google Scholar
  14. 14.
    Chenevier, G.: Une application des variétés de Hecke des groupes unitaires. prépublication (04/2009) disponible à l’adresse http://www.math.polytechnique.fr/~chenevier/pub.html, à paraître dans “Stabilisation de la formule des traces, variétés de Shimura, et applications arithmétiques” tome 2
  15. 15.
    Chenevier, G.: Sur la variété des caractères \(p\)-adique du groupe de Galois absolu de \(\mathbb{Q}_p\). Prépublication. Disponible à l’adresse http://www.math.polytechnique.fr/~chenevier/pub.html (2011)
  16. 16.
    Coleman, R.: p-adic Banach spaces, families of modular forms. Invent. Math. 127, 417–479 (1997)MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  17. 17.
    Coleman, R., Mazur, B.: The eigencurve, in Galois representations in Arithmetic Algebraic Geometry (Durham, 1996), London. Math. Soc. Lecture Notes, vol. 254. Cambridge University press, Cambridge (1998)Google Scholar
  18. 18.
    Colmez, P.: Représentations triangulines de dimension 2. Astérisque 319, 213–258 (2008)Google Scholar
  19. 19.
    Colmez, P.: Représentations de \(\text{ GL}_2(\mathbb{Q}_p)\) et \((\varphi,\Gamma )\)- modules. Astérisque 330, 281–509 (2010)MathSciNetGoogle Scholar
  20. 20.
    Colmez, P.: Invariants L et dérivées de valeurs propres de Frobenius. Astérisque 331, 13–28 (2010)Google Scholar
  21. 21.
    Conrad, B.: Irreducible components of rigid spaces. Ann. Inst. Fourier 49, 473–541 (1999)MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  22. 22.
    Conrad, B.: Relative ampleness in rigid-analytic geometry. Ann. Inst. Fourier 56, 1049–1126 (2006)MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  23. 23.
    Herr, L.: Sur la cohomologie galoisienne des corps p-adiques. Bull. Soc. Math. France 126, 563–600 (1998)Google Scholar
  24. 24.
    Herr, L.: Une approche nouvelle de la dualité locale de Tate. Math. Ann. 320, 307–337 (2001)Google Scholar
  25. 25.
    Kedlaya, K.: Slope filtrations and \((\varphi ,\Gamma )\)- modules in families, cours au trimestre Galoisien à l’Institut Henri Poincaré, Paris. disponible à l’adresse http://math.mit.edu/kedlaya/papers/families.pdf
  26. 26.
    Kedlaya, K., Liu, R.: On families of \((\varphi ,\Gamma )\)- modules, à paraître à Algebra and Number Theory (2010). disponible sur ArXiVGoogle Scholar
  27. 27.
    Kisin, M.: Overconvergent modular forms and the Fontaine-Mazur conjecture. Invent. Math. 153, 373–454 (2003)MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  28. 28.
    Kisin, M.: Potentially semi-stable deformation rings. JAMS 21, 513–546 (2008)MathSciNetMATHGoogle Scholar
  29. 29.
    Kisin, M.: Deformations of \(G_{{\mathbb{Q}}_p}\) and \(\text{ GL}_2({\mathbb{Q}}_p)\) representations. Astérisque 330, 511–528 (2010)MathSciNetGoogle Scholar
  30. 30.
    Liu, R.: Cohomology and duality for \((\phi ,\Gamma )\)- modules over the Robba ring. Int. Math. Res. Not. no. 3 (2008)Google Scholar
  31. 31.
    Mazur, B.: Deforming Galois representations, Galois groups over \(\mathbb{Q}\) (Berkeley, CA, 1987). Math. Sci. Res. Inst. Publ., vol. 16, pp. 385–437. Springer, New York (1989)Google Scholar
  32. 32.
    Mazur, B.: An ‘infinite fern” in the universal deformation space of Galois representations, Journées Arithmétiques (Barcelona, 1995). Collect. Math. 48(1–2), 155–193 (1997)MathSciNetGoogle Scholar
  33. 33.
    Nakamura, K.: Déformations of trianguline B-pairs and Zariski-density of two-dimensional crystalline representations. prépublication disponible sur ArXiV (2010)Google Scholar
  34. 34.
    Schneider, P.: Nonarchimedean functional analysis. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin (2002)CrossRefGoogle Scholar
  35. 35.
    Schneider, P., Teitelbaum, J.: Algebras of p-adic distributions and admissible representations. Invent. Math. 153(1), 145–196 (2003)MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar
  36. 36.
    Tate, J.: Duality theorems in Galois cohomology over number fields. Proc. Int. Congress Math, Stokholm (1962)Google Scholar
  37. 37.
    Tate, J.: Rigid analytic spaces. Invent. Math. 12, 257–289 (1971)MathSciNetMATHCrossRefGoogle Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag 2012

Authors and Affiliations

  1. 1.C.N.R.S, Centre de Mathématiques Laurent Schwartz, École Polytechnique Palaiseau CedexFrance

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