Archiv der Mathematik

, Volume 108, Issue 6, pp 545–554 | Cite as

Normes cyclotomiques naïves et unités logarithmiques

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Abstract

We compute the \({\mathbb {Z}}\)-rank of the subgroup \(\widetilde{E}_K =\bigcap _{n\in {\mathbb {N}}} N_{K_n/K}(K_n^\times )\) of elements of the multiplicative group of a number field K that are norms from every finite level of the cyclotomic \({\mathbb {Z}}_\ell \)-extension \(K^c\) of K. Thus we compare its \(\ell \)-adification \({\mathbb {Z}}_\ell \otimes _{\mathbb {Z}}\widetilde{E}_K\) with the group of logarithmic units \(\widetilde{\varepsilon }_K\). By the way we point out an easy proof of the Gross–Kuz’min conjecture for \(\ell \)-undecomposed extensions of abelian fields.

Keywords

Iwasawa theory I-adic class field theory Logarithmic units Cyclotomic norms 

Résumé

Nous déterminons le rang du sous-groupe \(\widetilde{E}_K\) des éléments du groupe multiplicatif d’un corps de nombres K qui sont normes à chaque étage fini de sa \({\mathbb {Z}}_\ell \)-extension cyclotomique \(K^c\); et nous comparons son \(\ell \)-adifié \({\mathbb {Z}}_\ell \otimes _{\mathbb {Z}}\widetilde{E}_K\) avec le \(\ell \)-groupe des unités logarithmiques \(\,\widetilde{\varepsilon }_K\). Nous donnons à cette occasion une preuve très facile de la conjecture de Gross–Kuz’min en \(\ell \) pour les extensions K / k d’un corps abélien dans lesquelles les places au-dessus de \(\ell \) ne se décomposent pas.

Mathematics Subject Classification

11R18 

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Copyright information

© Springer International Publishing 2017

Authors and Affiliations

  1. 1.Institut de Mathématiques de Bordeaux, CNRSUniversité de BordeauxTalence CedexFrance

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