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Sur une méthode directe du calcul des variations

  • Leonida Tonelli
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References

  1. 1).
    Les principaux résultats de ce Mémoire ont été énoncés dans deux Notes insérées aux Comptes Rendus hebdomadaires des séances de ľAcadémie des Sciences [t. CLV1II (1914), pp. 1776–1778, 1983–1985]. 2) Nous suivrons dans ce Mémoire la terminologie de IVEncyclopédie des Sciences Mathématiques pures et appliquées » [II 3, pp. 316–318; II 31, p. I; —voir aussiCh. J. de la Vallée Poussin,Cours ďAnalyse, 3e édition, t. I (Paris, Gauthier-Villars, 1914), pag. 129]; au lieu demaximum, minimum, extremum, nous dirons donc toujoursmaxime, minime, extremé, et nous conjuguerons les verbesmaximer, minimer, extrémer. Google Scholar
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    C’est-à-dire une suite telle, que celle des intégrales respectives tend vers la limite inférieure que ľon doit démontrer être un minime.Google Scholar
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    C’est-à-dire problème relatif à des champs — par exemple, circulaires — suffisamment petits.Google Scholar
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    Ce que nous avons dit s’applique aussi aux procédés employés parMM. B. Levi,Fubini, Lebesgue pour résoudre le problène de Dirichlet et parM. Bolza et M. Carathéodory en ďautre cas. Dans le cas des intégrales curvilignes, si ľon admet la résolubilité et ľunicité de la solution du problème« im KUinen » et que ľon se borne à des champs« extremal-convex », le problème de minimer se réduit à celui ďune fonction continue ordinaire. C’est à M. Hadamard ďabord, et à M. Signorini, ensuite, qne ľon doit cette remarque.Google Scholar
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    J. Hadamard, a)Mémoire sur le problème ďanalyse relatif à ľéquilibre des plaques élastiques encastrées [Mémoires présentés par divers savants à ľAcadémie des Sciences de ľInstitut de France et imprimés par son ordre, t. XXXIII, n° 4 (1908), pp. 1–128] etb) Sur une méthode de calcul des variations [Comptes Rendus hebdomadaires des séances de ľAcadémie des Sciences, t. CXLIII (2e semestre 1906), pp. 1127-1129].Google Scholar
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    Nous nous bornons aux intégrales portant sur des courbes planes. Si la courbe en question a des coordonnées, en fonction de ľarc, toujours continues avec leurs dérivées des deux premiers ordres, nous pouvons facilement déduire notre proposition ďune autre de M. Lindebergj. W. Lindeberg,Über einige Fragen der Variationsrechnung [Mathematische Annalen, Bd. LXVII (1909), pp. 340-354] dont récemment M. E. E. Levi a donné une nouvelle démonstration E. E. Levi,Sopra un teorema del Calcolo delle Variazioni del sig. Lindeberg [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, t. XXXVII (I° semestre 1914), pp. 245-248]. Dans le cas général auquel ľon est forcement amené, la propositionGoogle Scholar
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    G. Vitali,Sulle funzioni integrali [Atti della Reale Accademia delle Scienze di Torino, Vol. XL (1904-1905), pp. 1021–1034]. Nous rappelons cette définition. On dit qu’une fonctionf(x) estabsolument continue dans (a,V) si, étant donné un nombre positif σ, arbitraire, on peut toujours déterminer un autre nombre μ< 0 tel que ľon ait\(\left| {\Sigma \{ f(\beta _i ) - f(\alpha _i )\} } \right|< \sigma \), oò la somme est étendue à un ensemble quelconque ďintervalles (αiβi) de(a, b), sans parties communes, ayant une mesure totale plus petite que μ. Nous rappelons aussi, qu’en vertu de la continuité absolue,f(x) admet la dérivéef(x) finiepresque partout [c’est-à-dire, pour tous les points de(a, b) sauf pour un ensemble de mesure nulle] et ľon a\(f(x_2 ) - f(x_1 ) = \smallint _{x_1 }^{x_2 } f'(x)dx\). Réciproquement toute fonction, qui est une intégrale, est absolument continue.Google Scholar
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    Ľexistence ďune fonction limitey (x) pour la suite (13) et la continuité absolue de cettey pouvaient se déduire aussi ďun théorème général démontrer parM. Riesz [1. c. 22), § 7]. 10) que la I∲) soit satisfaite;Google Scholar
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    Cfr.Hadamard, 1. c. 8) a), pag. 90.Google Scholar
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    En s’appuyant ďun côté sur une proposition deM. Darboux [G. Darboux,Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du Calcul infinitésimal, IIIe Partie (Paris, Gauthier-Villars, 1894), pag. 83, etO. Bolza,Vorlesungen über Variationsrechnutig (Leipzig, G. B. Teubner, 1909), p. 438] sur les maximes absolus, et de ľautre sur un théorème deM. Cantor relatif aux ensembles ďintervalles distincts ďune droite, on peut dans les condictions que nous venons ďénoncer, établir facilement que, ayant fixé le pointP a, par chaque point de la droitex — b, sauf tout au plus par ceux ďun ensemble dénombrable, il passe toujoursune seule courbey = y (x) (n° 2) qui le joint avecP a et qui minimeJ. Dans le cas que la variation seconde de /, débarassée des termes en δ2 y et δ2 y′é, soit toujours positive, non nulle [Cfr. Hadamard, 1. c. 8)a), IVe Partie, § 3] ľensemble exceptionnel disparait et ľon a toujours ľunicitè du minimant.Google Scholar
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Copyright information

© Springer 1915

Authors and Affiliations

  • Leonida Tonelli
    • 1
  1. 1.Parma

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