Sulle equazioni lineari totalmente ellittiche alle derivate parziali

  • Eugenio Elia Levi
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References

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    Cfr. la mia Nota:Sul problema di Cauchy [Rendiconti dell’Accademia dei Lincei, serie V, vol. XVI, 2o semestre 1907, pp. 105-112].Google Scholar
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    E. Delassus,Sur les équations linéaires aux dérivées partielles à caractéristiques réelles [Annales Scientifiques de l’Ècole Norrnale supérieure, 3e série, t. XII (1895), pp. S.53-S.123]. Veramente il teorema delDelassus ha portata leggermente diversa da quella che occorrerebbe affinchè l’osservazione precedente avesse vigore di deduzione. Per esso infatti si afferma soltanto che, supposta la equazione a coefficienti analitici, se in un punto una sua soluzione non è sviluppabile in serie diTaylor essa non è neppure sviluppabile in serie diTaylor in nessun punto di ogni caratteristica reale per esso: onde risulta che le soluzioni non possono avere singolarità isolate dal punto di vista delle funzioni di variabili complesse, non già dal punto di vista delle funzioni di variabile reale. Tuttavia questo teorema e lo studio delle equazioni del 20 ordine giustificano la presunzione del testo. Cfr. pureLe Roux,Sur les intégrales des équations linéaires aux dérivées partielles du second ordre à deux variables indépendantes [Annales Scientifiques de l’École Norrnale supérieure, 3e série, t. XII (1895), pp. 227–316];Sur les équations linéaires aux dérivées partielles [Journal de Mathématiques pures et appliquées, 5e série, t. IV (1898), pp. 359–408]. Vedi anche il bell’articolo delSommerfeld nell’Encyklopädie d. math. Wiss., Bd. II, A 7 c.MathSciNetGoogle Scholar
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    Hedrick,Über den analytischen Charakter der Lösungen von Differentialgleichungen. Diss. (Göttingen 1901), pag. 37 e seg.Google Scholar
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    Holmgren,Ueber die Existenz der Grundlösung bei einer partiellen Differentialgleichung der 2. Ordnung von elliptischem Typus [Mathematische Annalen, t. LVIII (1904), pp. 404–412]. Si noti che nel caso delle equazioni di 20 ordine in due variabili, si può senz’altro supporre che i coefficienti delle derivate di 20 ordine siano costanti: ciò non è nel caso che l’equazione sia di ordine superiore od in più variabili.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
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    Somigliana,Sui sistemi simmetrici di equazioni a derivate parziali [Annali di Matematica pura ed applicata, serie II, t. XXII (1894), pp. 143–156], § 2.CrossRefGoogle Scholar
  7. 7).
    I principali risultati di questo lavoro furono già enunciati in una Nota pubblicata nei Rendiconti dell’Accademia dei Lincei, portante lo stesso titolo di questo lavoro medesimo [serie V, vol. XVI, 10 semestre 1907, pp. 932–938].Google Scholar
  8. 14).
    Dini,Sur la méthode des approximations successive pour les équations aux dérivées partielles du deuxième ordre [Acta Mathematica, t. XXV (1902), pp. 185–230], p. 202. Questa memoria può essere sempre utilmente consultata per quanto in questo lavoro si rimanda alla teoria dei potenziali logaritmici.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
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    Fredholm, 1. c. 12).Google Scholar
  10. 16).
    Fredholm, 1. c. 12), § 6.Google Scholar
  11. 19).
    Resta a vedersi cosa accade nei campi in cui la molteplicità delle radici è variabile. Pare che nei punti dove varia la multiplicità ci si trovi in presenza di punti singolari per 1’ equazione. Almeno quando si cerca, ricorrendo a sviluppi in serie analoghi a quelli dell’Hensel {Über eine neue Theorie der algebraischen Functionen zweier Variablen [Acta Mathematica, t. XXIII (1900), pp. 339–416]; vedi ancheB. Levi,Sur la théorie des fonctions algébriques de deux variables [Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences (Paris), t. CXXXIV (1er semestre 1902), pp. 642–644]}, di studiare il comportamento delle funzioniu(x y;x 1 y 1) da noi trovate nell’intorno di linee critiche, si trovano in generale valori diversi a seconda dei diversi cammini seguiti.Google Scholar
  12. 24).
    Tranne per i sistemi i quali offrono particolari condizioni di dissimmetria: ad es. per i sistemi di equazioni di 10 ordine secondoHolmgren (vediHadamard,Leçons sur la théorie de la propagation des ondes, Nota 1, pp. 318–319) ed altri pochi tipi di sistemi {vedi ad es. quelli diNiccoletti,Sull’estensione dei metodi di Picard e di Riemann ad una classe di equazioni a derivate parziali [Atti della R. Accademia delle Scienze Fisiche e Matematiche di Napoli, s. II, vol. VIII (1897), No 2, pp. 1–22], oppure quando soccorrono analogìe indicate dalla Fisica matematica {VediSomigliana, l. c.;Fredholm,Sur les équations de l’équilibre d’un corps solide élastique [Acta Mathematica, t. XXIII (1900), pp. 1–42]}.Google Scholar
  13. 25).
    Cf.Niccoletti, l. c. 24).Google Scholar
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    Holmgren,Ueber die Existenz der Grundlösung bei einer linearen partiellen Differentialgleichung der zweiten Ordnung vom elliptischen Typus [Archiv för Matematik, Astronomi och Fysik, Bd. 1 (1903–1904), pp. 209–224].Google Scholar
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    Hadamard,Recherches sur les solutions fondamentales ei l’intégration des équations linéaires aux dirivées partielles (1er et 2e Mémoire) [Annales Scientifiques de l’École Normale supérieure, IIIe série, t. XXI (1904), pp. 535–556; t. XXII (1905), pp. 101–141].MathSciNetGoogle Scholar
  16. 28).
    Fredholm, 1. c. 24).Google Scholar
  17. 30).
    È evidente l’analogìa di questa funzione conr 2: se facciamo una trasformazione lineare per modo che in un determinato puntox i(o) la (44) divenga una somma di quadrati, la σ (x i(o);y i) si riduce adr 2. Cfr.Hadamard, 1. c, Memoria 1a, pp. 544–545.Google Scholar

Copyright information

© Springer 1907

Authors and Affiliations

  • Eugenio Elia Levi
    • 1
  1. 1.Pisa

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