Statistische Hefte

, Volume 12, Issue 3–4, pp 177–192 | Cite as

On structural inference applied to the Weibull distribution

  • K. V. Bury
  • B. Bernholtz
Statistische Theorie

Summary

The method ofstructural inference permits the construction of unique probability density functions for the parameters of a general location-scale distribution; these densities are only conditional on a sample of observations.

In this paper, a logarithmic data transformation maps the two-parameter Weibull model onto a distribution with location-scale structure to which the results of structural inference are applied. In particular, the unique probability densities of the Weibull parameters are deduced, and on their basis the probability density of the reliability function is derived. Prediction densities are developed for an arbitrary vector of future measurements, and for the first and Nth order statistic of a given number of such future observations. This analysis is then modified for progressively censored samples of types I and II. An illustration is provided for some of the results of this paper.

Zusammenfassung

Das Verfahren derStrukturwahrscheinlichkeit ermöglicht die Ableitung eindeutiger Dichtefunktionen von Lage- und Dispersionsparametern; diese Dichtefunktionen sind nur bedingt durch eine Stichprobe.

Im vorliegenden Beitrag verwandelt eine logarithmische Transformation das Weibull-Modell mit zwei Parametern in eine Verteilung mit Lage-Dispersions-Struktur; allgemeine Ergebnisse der Strukturwahrscheinlichkeit werden auf diese verwandelte Verteilung angewandt. Im Besonderen werden die eindeutigen Dichtefunktionen der Weibull-Parameter abgeleitet, auf deren Grundlage die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zuverlässigkeitsfunktion abgewandelt wird. Prognoseverteilungen werden für einen beliebigen Vektor von Zukunftsvariablen abgeleitet; ebenfalls für die erste und letzte Ordnungsstatistik einer gegebenen Zahl N von Zukunftsvariablen. Dieses Verfahren wird schließlich modifiziert für unvollständige Stichproben der Typen I und II. Ein Beispiel veranschaulicht einige Ergebnisse dieses Beitrags.

Résumé

La méthode de l’inférence structurelle permet de construire des densités de probabilité uniques pour les paramètres de position et d’ échelle. Ces densités de probabilité ne sont déterminées que par l’échantillon.

Dans le présent article, le modèle de Weibull à deux paramètres est réduit, par une transformation logarithmique, en une distribution aux paramètres de position et d’échelle structurels. Les résultats généraux obtenus à l’aide de la probabilité structurelle sont appliqués à cette distribution transformée. En particulier, on déduit les densités uniques des paramètres de Weibull, sur la base desquelles la densité de probabilité de la fonction de fidélité est modifiée. Des distributions prognostiques sont construites pour un vecteur quelconque de variables futures, de même pour la première et la dernière fonction de l’ordre des observations d’un nombre N de variables futures. Cette méthode est finalement modifiée pour des échantillons tronqués des types I et II. Quelques-uns des résultats sont mis en évidence par un exemple.

Резюме

О структурной вероятности применительно к распределению Бейбулла.

Метод структурной вероятности делает возможным вывод однозначных функций плотности вероятности параметров обшего распределения локаций-щкал (1осагюп-5са1е сЙ$тЬииоп);Эти функции плотпости обусловлены только выборкой.

В настояшей работе логарифмическая трансформация преврашает двупараметровую модель Бейбулла в распределение со структурой локаций-щкал, к которому применяются результаты структурной вероятности. В частности выводятся однозначные функции плотности параметров Вейбулла, на основе которых выводится плотность вероятности функции надежности. Разрабатываются плотности предсказания для произволного вектора будуших переменных а также для первой и последней порядковых статистик данного числа и будуших переменных. Ётот метод после Этого модифицируется для прогрессивно цензированных выборок типа I и II. Некоторые результаты Этой работы освешаются на примере.

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Bibliography

  1. [1]
    J. N. Berrettoni, 1964, Practical applications of the Weibull distribution, Journal of Industrial Quality Control, Vol. 21, p. 71–79Google Scholar
  2. [2]
    K. V. Bury, 1968, Structural inference theory applied to life testing, Ph. D. thesis, University of Toronto.Google Scholar
  3. [3]
    K. V. Bury, B. Bernholtz, 1970, Structural prediction of attributes from an exponential process, to appear in the Journal of Statistical Research, University of Dacca, Vol. 4, No. 2, 1971.MathSciNetGoogle Scholar
  4. [4]
    K. V. Bury, B. Bernholtz, 1970, Structural inference for a class of stochastic processes, to appear in the Journal of the Canadian Operational Research Society, Vol. 9, No. 1, 1971.Google Scholar
  5. [5]
    K. V. Bury, B. Bernholtz, 1970, Life testing: structural inference on the exponential model, submitted to the Journal of the Canadian Operational Research Society.Google Scholar
  6. [6]
    C. A. Cohen, 1965, Maximum likelihood estimation in the Weibull distribution based on complete and censored samples, Technometrics, Vol. 7, No. 4, p. 579–588.CrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  7. [7]
    D. A. S. Fraser, 1966, Structural probability and a generalization, Biometrika, Vol. 53, p. 1–9.MATHMathSciNetGoogle Scholar
  8. [8]
    D.A.S. Fraser, 1967, Data transformations and the linear model, Annals of Mathematical Statistics, Vol. 38, p. 1456–1465.CrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  9. [9]
    D. A. S. Fraser, 1968, A black box or a comprehensive model, Technometrics, Vol. 10, No. 2, p. 219–229.CrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  10. [10]
    D. A. S. Fraser, 1968, The structure of inference, John Wiley, N.Y.MATHGoogle Scholar
  11. [11]
    M. S. Haq, 1968, Zur Prognose aus einer homoskedastischen Normalverteilung mit Hilfe der Strukturwahrscheinlichkeit, Statistische Hefte, Vol. 9, p. 3–12.CrossRefGoogle Scholar
  12. [12]
    M. S. Haq, 1969, On prediction from a linear regression model, Statistische Hefte, Vol. 10, p. 111–118.CrossRefGoogle Scholar
  13. [13]
    M. S. Haq, 1970, On a simple linear regression analogue of the Behrens-Fisher problem, Statistische Hefte, Vol. 11, p. 22–29.CrossRefGoogle Scholar
  14. [14]
    H. Raiffa, R. Schlaifer, 1961, Applied statistical decision theory, Harvard University, Boston.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag 1971

Authors and Affiliations

  • K. V. Bury
    • 1
  • B. Bernholtz
    • 2
  1. 1.Department of Mechanical EngineeringUniversity of British ColumbiaVancouverCanada
  2. 2.University of TorontoCanada

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