The Journal of Geometric Analysis

, Volume 16, Issue 3, pp 523–533 | Cite as

Tian’s invariant of the Grassmann manifold

  • Julien Grivaux
Article

Abstract

We prove that Tian’s invariant on the complex Grassmann manifold Gp,q(ℂ)is equal to 1/(p+ q).The method introduced here uses a Lie group of holomorphic isometries which operates transitively on the considered manifolds and a natural imbedding of (ℙ1 (ℂ))pin Gp,q (ℂ).

Math Subject Classifications

53C55 32M10 

Key Words and Phrases

Kahler manifold Einstein-Kähler metric first Chern class admissible functions Tian’s invariant Grassmannian 

Résumé

On prouve que l’invariant de Tian sur la grassmannienne Gp,q (ℂ)est 1/(p+ q).La méthode présentée dans cet article utilise un groupe de Lie d’isométries holomorphes qui opère transitivement sur les variétés considérées ainsi qu’un plongement naturel de (ℙ1(ℂ))p dans Gp,q (ℂ).

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

References

  1. [1]
    Aubin, T. Équations du type Monge-Ampère sur les variétés kählériennes compactes,Bull. Sci. Math. 102, 63–95, (1978).MathSciNetMATHGoogle Scholar
  2. [2]
    Aubin, T. Réduction du cas positif de l’équation de Monge-Ampère sur les variétés Kählériennes compactes à la démonstration d’une inégalité,J. Funct. Anal. 57, 143–153, (1984).CrossRefMathSciNetMATHGoogle Scholar
  3. [3]
    Aubin, T. Métriques d’Einstein-Kähler et exponentiel de fonctions admissibles,J. Func. Anal. 88, 385–394, (1990).CrossRefMathSciNetMATHGoogle Scholar
  4. [4]
    Aubin, T.Some Nonlinear Problems in Riemannian Geometry, Springer-Verlag, Berlin, (1998).MATHGoogle Scholar
  5. [5]
    Ben Abdesselen, A. Lower bound of admissible functions on sphere,Bull. Sci. Math 126, 675–680, (2002).CrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  6. [6]
    Ben Abdesselen, A. Enveloppes inférieures de fonctions admissibles sur l’espace projectif complexe. Cas symétrique, to appear inDifferential Geom. Appl. Google Scholar
  7. [7]
    Ben Abdesselen, A. and Cherrier, P. Einstein-Kähler metrics on a class of bundles involving integral weights,J. Math. Pures Appl. 3(81), 259–281, (2002).CrossRefGoogle Scholar
  8. [8]
    Ben Abdesselen, A. and Cherrier, P. Estimations of Ricci tensor on certain Fano manifolds,Math. Z. 233, 481–505, (2000).CrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  9. [9]
    Futaki, A. An obstruction to the existence of Kähler-Einstein metrics,Invent. Math. 73, 437–443, (1983).CrossRefMathSciNetMATHGoogle Scholar
  10. [10]
    Kobayashi, S. and Nomizu, K.Foundations of Differential Geometry, Vol. II, John Wiley & Sons, (1969).Google Scholar
  11. [11]
    Lichnerowicz, A. Sur les transformations analytiques des variétés kahlériennes,Cr. Acac. Sci. 244, 3011–3014, (1957).MathSciNetMATHGoogle Scholar
  12. [12]
    Matsushima, Y. Sur la structure du groupe d’homéomorphismes analytiques d’une certaine variété kahlérienne,Nagoya Math. J. 11, 145–150, (1957).MathSciNetMATHGoogle Scholar
  13. [13]
    Real, C. Métriques d’Einstein-Kähler sur des variétés à première classe de Chern positive,J. Func. Anal. 106, 145–188, (1992).CrossRefMathSciNetMATHGoogle Scholar
  14. [14]
    Tian, G. On Kähler-Einstein metrics on certain Kähler manifolds with C1(M) > 0,Invent. Math. 89, 225–246, (1987).CrossRefMathSciNetMATHGoogle Scholar
  15. [15]
    Yau, S. T. On the Ricci curvature of a compact Kähler manifold and the complex Monge-Ampère equations, I,Comm. Pure Appl. Math. 31, 339–411, (1978).CrossRefMathSciNetMATHGoogle Scholar

Copyright information

© Mathematica Josephina, Inc. 2006

Authors and Affiliations

  • Julien Grivaux
    • 1
  1. 1.Université Pierre et Marie CurieFrance

Personalised recommendations