Advertisement

Il Nuovo Cimento A (1965-1970)

, Volume 2, Issue 4, pp 965–1015 | Cite as

InhomogeneousU3,1-invariant extension of vacuum expectation values

  • R. M. Santilli
  • P. Roman
Article

Summary

The Minkowski spaceM3,1 is represented in terms of the irreducible symmetric homogeneous spaceP0/L0, whereP0 andL0 are the identity components of the Poincaré groupP =L x)T and of the Lorentz groupL, respectively. A theorem is proved stating that all the irreducible symmetric complex extensionsM3,1 ofM3,1 are as follows: 1) a complex extension of orthogonal typeM 3,1 (1) whose group of all isometries is the groupP(1) =L(1) x)T, whereL(1) andT are the complex extensions of the Lorentz groupL and of the translational groupT; 2) a complex extension of Hermitian typeM 3,1 (2) whose group of all isometries is the groupP(2) =L(2) x)T =U3,1 x)T965-1015. The implications of the above theorem for physical quantities depending on points of the Minkowski space are investigated for the case of theL-invariant (parity-conserving) vacuum expectation values of products of field operators,Wn(x1, …,xn) =wn(ξ1, …,ξn−1) = 〈ϕ1(x1) …ϕn(xn)〉0,ξk =xkxk+1,k=1, 2, …,n − 1, satisfying the Wightman axioms. A theorem is proved which states that all the extensionsw n (ξ1,η1; …;ξn−1,ηn−1) =w′n(z1, …,zn−1) of then-point functionswn to complex 4-vectorszk =ξkk,k=1, 2, …,n, which i) are (real) analytic in all the real and imaginary componentsξ’s andη’s of thez’s; ii) admit the physicaln-point functions in the limit when all theη’s go to zero, iii) possess simple groups of complex transformations as global invariance groups; are as follows: 1) the extensionw n (1) (ξ1,η1; …;ξn−1,ηn−1) of the Bargman-Hall-Wightman theorem which is invariant under the connected componentP + (1) of the groupP(1); 2) a new extensionw n (2) (ξ1,η1; …;ξn−1,ηn−1) which is invariant under the full inhomogeneousU3,1 groupP(2). The above results are extended to distributions in order to constructP(2) invariant analytic extensions of theL-invariant vacuum expectation values in the proper sense. Thew n (2) extension of parity-violating vacuum expectation values is considered too, and in this case the global invariance group results to be the inhomogeneous unimodularSU3,1 group. The proposed procedure could also be applied to include tensorial fields satisfying the Wightman axioms, but the inclusion of spinorial fields requires specific supplementary investigations starting, possibly, from the classification of all the complex extensions of the covering of the Minkowski space. Finally, some features of thew n (2) extension, which might be suitable for possible physical applications, are pointed out.

Обобшение вакуумных ожидаемых величин, инвариантное относительно неоднороднойU3,1

Реэюме

Пространство МинковскогоМ3,1 представляется в терминах неприводимого симметричного однородного продтранстваР0/L0, гдеР0 иL0 обоэначают единичные компоненты группы ПуанкареР =LТ и группы ЛорентцаL, соответственно. Докаэывается теорема, утверждаюшая, что все неприводимые симметричные комплексные обобшенияМ3,1 дляМ3,1 составляют: 1) комплексные обобшения ортогонального типаМ 3,1 (1) чья группа всех иэометрий представляет группуР(1) =L(1)Т, гдеL(1) иТ есть комплексные обобшения группы ЛорентцаL и трансляционной группыТ; 2) комплексное обобшение зрмитового типаМ 3,1 (1) , чья группа всех иэометрий представляет группуР(2) =L(2)Т =U3,1Т. Рассматриваются следствия выщеприведенной теоремы для фиэических величин, эависяших от точек пространства Минковского для случаяL↑ инвариантных (сохраняюших четность) вакуумных ожидаемых эначений проиэведений полевых операторов,Wn(x1, …,xn =wn1, , ξn-1) = <ϕ1(x1) … ϕ n (xn)>0, ξ k =xk -xk+1,k=1, 2, …,n - 1, удовлетворяюших аксиомам Ваитмана. Докаэывается теорема, которая утверждает, что все обобшенияwn1, η1; ; ξn−1, ηn−1) =u n J (z1, ,zn-1) n-точечных функцийwn на комплексные 4-векторыzk = ξ k -iη k ,k=1, 2, …,n, которые:а) являются (вешественными) аналитическими для всех вешественных и мнимых компонентξ иη для каждогоz;б) допускают фиэическиеn-точечные функции в пределе, когда всеη стремятся к нулю; б) обладают простыми группами комплексных преобраэований, как группы глобальной иа ариантности, представляют следуюшее: 1) обобшениеw n /(2) 1, η1; … ξn-1, ηn-1) теоремы Баргмана-Холла-Вайтм ана, которая инвариантна относительно свяэанной компонентыР + (1) группыР(1); 2) новое обобшениеw n /(2) (ξ1, η1; …;ξn-1,ηn-1), которое инвариантно относительно полностью неоднороднойU3,1 группыР(2). Полученные реэультаты распространяются на распределения, для того чтобы сконструироватьР(2) инвариантные аналитические обобшенияL↑ инвариантных вакуумных ожидаемых величин в собственном смысле. Также рассматриваетсяw n /(2) обобшение вакуумных ожидаемых величин, нарущаюших четность. В зтом случае получается, что группа глобальной инвариантности представляет неоднородную унитарнуюSU3,1 группу. Данная процедура может быть также испольэована для того, чтобы включить тенэорные поля, удовлетворяюшие аксиомам Ваитмана. Однако, включение спинорных полей требует специальных дополнительных исследований, воэможно, исходя иэ классификации всех комплексных обобшений оболочки пространства Минковского. В эаключение, укаэываются некоторые особенности обошенияw n /(2) , которые могут быть приемлемыми для воэможных фиэических приложений.

Riassunto

Lo spazio di MinkowskiM3,1 viene rappresentato mediante lo spazio omogeneo simmetrico ed irriducibileP0/L0, doveP0 edL0 sono le componenti connesse del gruppo di PoincaréP =LP =L x)TT e del gruppo di LorentzL, rispettivamente, contenenti l’unità. Si dimostra un teorema secondo cui tutte le estensioni complesse irriducibili e simmetricheM3,1 diM3,1 sono costituite da: 1) un’estensione complessa di tipo ortogonaleM 3,1 (1) il cui gruppo di tutte le isometrie è il gruppoP(1) =L(1)P(1) =L(1) x)TT, doveL(1) eT sono le estensioni complesse del gruppo di LorentzL e del gruppo delle traslazioniT; 2) un’estensione complessa di tipo hermitianoM 3,1 (2) il cui gruppo di tutte le isometrie è il gruppoP(2) =L(2) {T =U3,1 {T. Si studiano le implicazioni di tale teorema per quantità fisiche che dipendono da punti dello spazio di Minkowski per il caso dei valori di aspettazione sul vuoto del prodotto di operatori di campo invarianti per il gruppoL↑ (conservanti la parità)Wn(x1, …,xn) =wn(ξ1, …,ξn−1) = 〈ϕ1(x1) …ϕn(xn)〉0,ξk =xkxk+1,k=1, 2, …,n, che soddisfano gli assiomi di Wightman. Si dimostra un teorema secondo cui tutte le estensioniwn(ξ1,η1; …;ξn−1,ηn−1) =wn′(z1, …,zn−1) della funzione adn puntiwn a quadrivettori complessizk =ξkk,k=1, 2, …,n − 1, le quali: i) sono analitiche (nel senso di Weierstrass) in tutte le componenti reali ed immaginarie dei quadrivettorizk; ii) ammettono le funzioni adn punti fisiche al limite quando tutte le parti immaginarie sono nulle; iii) posseggono gruppi semplici di trasformazioni complesse come gruppi di invarianza globale; possono essere classificate come segue: 1) l’estensionew n (1) (ξ1,η1; …;ξn−1,ηn−1) del teorema di Bargman-Hall-Wightman che è invariante per la componente connessaP + (1) del gruppoP(1); 2) una nuova estensionew n (2) (ξ1,η1; …;ξn−1,ηn−1) la quale è invariante per l’intero gruppoP(2). I precedenti risultati sono estesi al caso di distribuzioni in maniera da costruire effettivamente le estensioni analitichew n (2) diwn invarianti per il gruppoP(2). Le estensioni di tipow n (2) per il caso dei valori di aspettazioni sul vuoto che violano la parità sono considerate anche, e si dimostra che in questo caso il gruppo di invarianza globale è il gruppo unimodulare inomogeneoSU3,1. Il metodo proposto può anche essere applicato al caso di operatori di campo tensoriali che soddisfano gli assiomi di Wightman, mentre la inclusione di operatori di campo spinoriali richiede studi supplementari specifici partendo, possibilmente, dalla classificazione di tutte le estensioni complesse dello spazio di ricoprimento dello spazio di Minkowski. Infine, si sottolineano alcune caratteristiche delle estensioni di tipow n (2) suscettibili di possibili applicazioni fisiche.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

References

  1. (1).
    E. P. Wigner:Ann. of Math.,40, 149 (1939).MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  2. (2).
    W. D. McGlinn:Phys. Rev. Lett.,12, 467 (1964).MathSciNetCrossRefADSzbMATHGoogle Scholar
  3. (3).
    C. G. Hergefeld andJ. Hennig:Fortschr. Phys.,16, 491 (1968).CrossRefGoogle Scholar
  4. (4).
    P. Roman andR. M. Santilli:Intern. Journ. Theor. Phys.,2, 201 (1969).CrossRefADSGoogle Scholar
  5. (5).
    E. C. Zeeman:Journ. Math. Phys.,5, 490 (1964).MathSciNetCrossRefADSzbMATHGoogle Scholar
  6. (6).
    T. O. Philips andE. P. Wigner:De Sitter space and positive energy, inGroup Theory and Its Applications (New York, 1968).Google Scholar
  7. (7).
    E. Inönü andE. P. Wigner:Proc. Nat. Acad. Sci.,39, 510 (1953).MathSciNetCrossRefADSzbMATHGoogle Scholar
  8. (*).
    See, for instance, paper (6) and quoted references.Google Scholar
  9. (8).
    A. S. Wightman:Phys. Rev.,101, 860 (1956).MathSciNetCrossRefADSzbMATHGoogle Scholar
  10. (9).
    S. Helgason:Acta Math.,102, 239 (1959).MathSciNetCrossRefzbMATHGoogle Scholar
  11. (10).
    K. Nomizu:Amer. Journ. Math.,76, 33 (1954).MathSciNetCrossRefzbMATHGoogle Scholar
  12. (11).
    R. Jost: inTheoretical Physics in the XX Century (New York, 1960).Google Scholar
  13. (12).
    R. F. Streater andA. S. Wightman:PCT, Spin and Statistics and All That (New York, 1964).Google Scholar
  14. (13).
    A. O. Barut:Journ. Math. Phys.,5, 1652 (1964).MathSciNetCrossRefADSzbMATHGoogle Scholar
  15. (14).
    R. M. Santilli:Nuovo Cimento,44 A, 1284 (1966);51 A, 74, 89 (1967).CrossRefADSGoogle Scholar
  16. (**).
    The groupL (2) =U 3,1 is investigated in ref. (13) under the name of «complex Lorentz group with a real metric». The isomorphism betweenL (2) andU 3,1 is shown in papers (14), where also some irreducible unitary representations are explicitly constructed.MathSciNetCrossRefADSzbMATHGoogle Scholar
  17. (15).
    S. Bochner andW. T. Martin:Several Complex Variables (Princeton, 1948.)Google Scholar
  18. (16).
    A. S. Wightman:Analytic functions of several complex variables, inRelations de dispersion et particules élémentaires, edited byC. De Witt andR. Omnès (Paris, 1960).Google Scholar
  19. (17).
    R. Jost:Helv. Phys. Acta,30, 409 (1957).MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  20. (18).
    D. Hall andA. S. Wightman:Kgl. Danske Vidensk. Selsk. Mat. Fys. Medd.,31, No. 5 (1958), reprinted inDispersion Relations and the Abstract Approach to Field Theory, edited byL. Klein (New York, 1961).Google Scholar
  21. (19).
    S. Helgason:Differential Geometry and Symmetric Spaces (New York, 1962).Google Scholar
  22. (**).
    The casen=1 is not considered because the Lorentz groupL 1,1 in (1 + 1) dimensions presents some features essentially different than that of the Lorentz groupL n,1 withn ≥ 2. See, for instance, in this connection ref. (5).MathSciNetCrossRefADSzbMATHGoogle Scholar
  23. (***).
    For the connectivity properties of the groupSO n,m see, for instance, ref. (19) p. 346.Google Scholar
  24. (*).
    We essentially follow here ref. (20), p. 78–80.Google Scholar
  25. (20).
    R. Jost:The General Theory of Quantized Fields (Providence, R.I., 1965).Google Scholar
  26. (**).
    See the footnote on p. 989.Google Scholar
  27. (*).
    The proof of the connectivity of this domain actually requires the construction of the equivalence classes ofL (2) relative toL + and the corresponding normal forms, as is done in ref. (20) for the case ofL +.Google Scholar
  28. (*).
    See, for instance, ref. (12), p. 96–102.Google Scholar
  29. (*).
    See, in this connection, ref. (12), p. 51.Google Scholar
  30. (*).
    See ref. (18), reprinted inDispersion Relations and the Abstract Approach to Field Theory, edited byL. Klein (New York, 1961)., p. 34.Google Scholar
  31. (21).
    A. O. G. Källén:Properties of vacuum expectation values of field operators, inRelations de dispersion et particules élémentaires, edited byC. De Witt andR. Omnès (Paris, 1960).Google Scholar
  32. (22).
    R. M. Santilli andP. Roman: to be published.Google Scholar
  33. (23).
    S. Bochner andW. T. Martin:Ann. of Math.,57, 490 (1953).MathSciNetCrossRefzbMATHGoogle Scholar

Copyright information

© Società Italiana di Fisica 1971

Authors and Affiliations

  • R. M. Santilli
    • 1
  • P. Roman
    • 1
  1. 1.Department of PhysicsBoston UniversityBoston

Personalised recommendations