Il Nuovo Cimento A (1965-1970)

, Volume 62, Issue 2, pp 449–474 | Cite as

Kepler's equation, Fock variables, Bacry's generators II.—Classical and quantum group dynamics of the kepler problem

  • G. Györgyi
Article
First Online:
Received:

Summary

It is observed that the energy-dependent scale transformationx=p0r,y=p 0 −1 P (r=position,p=momentum, ±p 0 2 /2m=energy) defines for the Kepler problem a set of canonical variables corresponding to the «time» parameter τ=t±p 0 −2 mrp, proportional to the eccentric anomaly for negative energies. The definitions of the classical variablesx andy, and of the corresponding quantum-mechanical operators are given in terms ofSO4,2 generators. The transformationt→τ of the time variable is formulated in quantum mechanics, and expressions for the quantum Bacry generators are derived without reference to any specific co-ordinate system. This formulation offers a simple interpretation of results previously obtained by Musto, Pratt and Jordan, Barut and Kleinert, and Fronsdal. In conclusion the Fock variables are briefly considered in quantum mechanics.

Keywords

Poisson Bracket Canonical Variable Ltrp Invariance Generator Kepler Problem 
These keywords were added by machine and not by the authors. This process is experimental and the keywords may be updated as the learning algorithm improves.

Уравнения Кеплера, переменные Фока, генераторы Бекри. II. Классическая и квантовая групповая механика для проблемы Кеплера

Резюме

Отмечается, что зависяъее от энергии преобразование масштабаx=p0r,y=p 0 −1 P (r=положение,p=импульс, ±p 0 2 /2m=энергия) определяет для проблемы Кеплера систему канонических переменных, соответствующих «временному» параметру τ=t±p 0 −2 mrp, пропорционального эксцентрической аномалии для отрицательных энергий. На основе генераторовSO4,2 приводятся определения классических переменныхx иy и соответствующих квантово-механических операторов. В квантовой механике формулируется преобразованиеt→τ для временной переменной, и выводятся выражения для квантовых генераторов Бекри, безотносительно к любой специальной системе координат. Эта формулировка дает простую интерпретацию результатов, предварительно полученных Мусто, Праттом и Джорданом, Барутом и Клейнертом, и фронсдалом. В заключении вкратце рассматриваются переменные фока в квантовой механике.

Riassunto

Si osserva che la trasformazione di scala dipendente dall'energiax=p0r,y=p 0 −1 P (r=posizione,p=quantità di moto, ±p 0 2 /2m=energia) definisce, per il problema di Keplero un insieme di variabili canoniche corrispondenti al parametro «temporale» τ=t±p 0 −2 mrp, proporzionale all'anomalia eccentrica per energie negative. Si danno le definizioni delle variabili classichex ey, e dei corrispondenti operatori quantomeccanici in termini dei generatori diSO4,2. Si formula quantisticamente la trasformazionet→τ della variabile temporale, e si deducono espressioni per i generatori quantistici di Bacry, senza riferimenti ad alcun sistema specifico di coordinate. Questa formulazione offre una semplice interpretazione dei risultati precedentemente ottenuti da Musto, Pratt e Joróan, Barut e Kleinert, e Fronsdal. Concludendo si considerano brevemente in meccanica quantistica le variabili di Fock.

This is a preview of subscription content, log in to check access.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

References

  1. (1).
    G. Györgyi:Nuovo Cimento,53 A, 717 (1968). This paper will be referred to as I.ADSCrossRefGoogle Scholar
  2. (2).
    V. Fock:Zeits. Phys.,98, 145 (1935).ADSCrossRefGoogle Scholar
  3. (3).
    H. Bacry:Nuovo Cimento,41 A, 222 (1966).ADSCrossRefGoogle Scholar
  4. (4).
    B. Vitale:Lectures Given at the Escuela Latinoamericana de Fisica (Caracas, 1966).Google Scholar
  5. (5).
    P. Budini:Lectures Given at the International Universitätswochen für Kernphysik, Schladming, 1967, IC/67/18.Google Scholar
  6. (6).
    B. Vitale:Contribution to the R.E. Peierls Theoretical Physics Conference, Birmingham, 1967, TH. 807.Google Scholar
  7. (7).
    J. M. Jauch andE. L. Hill:Phys. Rev.,57, 641 (1940).ADSMathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  8. (8).
    H. J. Lipkin:Lie Groups for Pedestrians (Amsterdam, 1966).Google Scholar
  9. (9).
    R. C. Hwa andJ. Nuyts:Phys. Rev.,145, 1188 (1966).ADSMathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  10. (10).
    G. Györgyi andS. Kövesi-Domokos:Nuovo Cimento,58 B, 191 (1968).ADSCrossRefGoogle Scholar
  11. (11).
    R. Musto:Phys. Rev.,148, 1275 (1966).ADSCrossRefGoogle Scholar
  12. (12).
    R. H. Pratt andT. F. Jordan:Phys. Rev.,148, 1276 (1966).ADSCrossRefGoogle Scholar
  13. (13).
    A. O. Barut:Phys. Rev.,156, 1538 (1967).ADSCrossRefGoogle Scholar
  14. (14).
    A. O. Barut andH. Kleinert:Phys. Rev.,156, 1541 (1967).ADSCrossRefGoogle Scholar
  15. (15).
    A. O. Barut andH. Kleinert:Phys. Rev.,157, 1180 (1967).ADSCrossRefGoogle Scholar
  16. (16).
    C. Fronsdal:Phys. Rev.,156, 1665 (1967).ADSCrossRefGoogle Scholar
  17. (17).
    K. B. Wolf:Suppl. Nuovo Cimento,5, 1041 (1967).Google Scholar
  18. (18).
    A. O. Barut andE. C. Phillips: Univ. of Colorado, Institute for Theoretical Physics Publications, November 1967.Google Scholar
  19. (19).
    C. Itzykson: SLAC-PUB-375, January 1968.Google Scholar
  20. (20).
    V. Bargmann:Zeits. Phys.,99, 578 (1936).ADSCrossRefGoogle Scholar
  21. (21).
    Tai-Ichi Shibuya andC. E. Wulfman:Proc. Roy. Soc. A,286, 376 (1965).ADSCrossRefGoogle Scholar
  22. (22).
    A. Joseph:Intern. Journ. Quant. Chem.,1, 535 (1967).ADSCrossRefGoogle Scholar

Copyright information

© Società Italiana di Fisica 1969

Authors and Affiliations

  • G. Györgyi
    • 1
  1. 1.Division de Physique ThéoriqueInstitut de Physique NucléaireOrsay

Personalised recommendations