Exact solutions of ann-dimensional anisotropic oscillator in a uniform magnetic field
- 19 Downloads
- 5 Citations
Summary
A set of exact solutions is found from the positive-definite HamiltonianH=1/2(pM−1p + [q,Aq]+ +qKq), whereM andK are symmetric, realn xn matrices and whereA is an arbitrary realn xn matrix. This Hamiltonian corresponds to an anisotropic harmonic oscillator in a uniform magnetic field. The method consists of solving a 2n-dimensional eigenvalue problem. The eigenvalues provide the characteristic transition frequencies and the eigenvectors are used to construct annihilation and creation operatorsa j and a j + . The procedure is similar to Bogolyubov transformation. These eigenvectors are also used to re-express theq andp as linear combinations of thesea j and a j + . The ground-state function is found; in the appropriate gauge it is a real Gaussian function of theq.
тОЧНыЕ РЕшЕНИь Дль И-М ЕРНОгО АНИжОтРОпНОг О ОсцИлльтОРА В ОДНОРО ДНОМ МАгНИтНОМ пОлЕ
РЕжУМЕ
ОпРЕДЕльЕтсь сИстЕМ А тОЧНых РЕшЕНИИ пОлОжИтЕльНО-ОпРЕДЕ лЕННОгО гАМИльтОНИА НА, H=1/2(PM-1 P+[q, Aq]+qKq), гДЕ М И K ьВль Утсь сИММЕтРИЧНыМИ В ЕЩЕстВ Aq]+qKq), гДЕ М И K ьВльУтсь сИ ММЕтРИЧНыМИ ВЕЩЕстВ ЕННыМИ МАтРИцАМИ п & #x0445; п И А Есть пРОИжВОльНА ь ВЕЩЕстВЕННАь МАтРИ цА п & #x0445; п. ЁтОт гАМИльтО НИАН сООтВЕтстВУЕт А НИ МАтРИцАМИ п & #x0445; п И А Ест ь пРОИжВОльНАь ВЕЩЕс тВЕННАь МАтРИцА п & #x0445; п. ЁтОт гАМИльтОНИАН сО ОтВЕтстВУЕт АНИжОтР ОпНОМУ гАРМОНИЧЕскО МУ ОсцИлльтОРУ В ОДНО РОДНОМ МАгНИтНОМ пОл Е. пРЕДлОжЕННыИ МЕтОД сОстОИт В РЕшЕНИИ МАтРИцА п & #x0445; п. ЁтОт гАМ ИльтОНИАН сООтВЕтст ВУЕт АНИжОтРОпНОМУ г АРМОНИЧЕскОМУ ОсцИл льтОРУ В ОДНОРОДНОМ М АгНИтНОМ пОлЕ. пРЕДлО жЕННыИ МЕтОД сОстОИт В РЕшЕНИИ 2И-МЕРНОИ пРО БлЕМы сОБстВЕННых жН АЧЕНИИ. сОБстВЕННыЕ ж НАЧЕНИь ДАУт хАРАктЕ РИстИЧЕскИЕ ЧАстОты пЕ АНИжОтРОпНОМУ гАРМО НИЧЕскОМУ ОсцИлльтО РУ В ОДНОРОДНОМ МАгНИ тНОМ пОлЕ. пРЕДлОжЕНН ыИ МЕтОД сОстОИт В РЕш ЕНИИ 2И-МЕРНОИ пРОБлЕМ ы сОБстВЕННых жНАЧЕН ИИ. сОБстВЕННыЕ жНАЧЕ НИь ДАУт хАРАктЕРИст ИЧЕскИЕ ЧАстОты пЕРЕ хОДОВ, А сОБстВЕННыЕ В ЕктОРА ИспОльжУУтсь Дль кОНстРУИРОВАНИь ОпЕРАтОРОВ РОжДЕНИь И УНИЧ ОДНОРОДНОМ МАгНИтНО М пОлЕ. пРЕДлОжЕННыИ М ЕтОД сОстОИт В РЕшЕНИ И 2И-МЕРНОИ пРОБлЕМы сО БстВЕННых жНАЧЕНИИ. с ОБстВЕННыЕ жНАЧЕНИь ДАУт хАРАктЕРИстИЧЕ скИЕ ЧАстОты пЕРЕхОД ОВ, А сОБстВЕННыЕ ВЕкт ОРА ИспОльжУУтсь Дль кОНстРУИРОВАНИь ОпЕ РАтОРОВ РОжДЕНИь И УН ИЧтОжЕНИь, Аj, И А j t . ЁтА п РОцЕДУРА АНАлОгИЧНА пРЕОБРАжОВАНИУ БОгО лУБОВА. ЁтИ сОБстВЕНН ыЕ ВЕк сОстОИт В РЕшЕНИИ 2И-МЕ РНОИ пРОБлЕМы сОБстВ ЕННых жНАЧЕНИИ. сОБст ВЕННыЕ жНАЧЕНИь ДАУт хАРАктЕРИстИЧЕскИЕ ЧАстОты пЕРЕхОДОВ, А с ОБстВЕННыЕ ВЕктОРА И спОльжУУтсь Дль кОНс тРУИРОВАНИь ОпЕРАтО РОВ РОжДЕНИь И УНИЧтО жЕНИь, Аj, И А j t . ЁтА пРОцЕ ДУРА АНАлОгИЧНА пРЕО БРАжОВАНИУ БОгОлУБО ВА. ЁтИ сОБстВЕННыЕ ВЕ ктОРА тАкжЕ ИспОльжУ Утсь Дль ВыРАжЕНИь q И Р ЧЕРЕж лИНЕИНыЕ кОМБИ НАцИИ ЁтИх aj И a j t . НАИДЕН А ФУНкц жНАЧЕНИИ. сОБстВЕННы Е жНАЧЕНИь ДАУт хАРАк тЕРИстИЧЕскИЕ ЧАстО ты пЕРЕхОДОВ, А сОБстВ ЕННыЕ ВЕктОРА ИспОль жУУтсь Дль кОНстРУИР ОВАНИь ОпЕРАтОРОВ РО жДЕНИь И УНИЧтОжЕНИь, Аj, И А j t . ЁтА пРОцЕДУРА А НАлОгИЧНА пРЕОБРАжО ВАНИУ БОгОлУБОВА. ЁтИ сОБстВЕННыЕ ВЕктОРА тАкжЕ ИспОльжУУтсь Д ль ВыРАжЕНИь q И Р ЧЕРЕж лИНЕИНыЕ кОМБИНАцИИ ЁтИх aj И a j t . НАИДЕНА ФУНк цИь ОсНОВНОгО сОстОь НИь. В сООтВЕтстВУУЩЕ И кАлИБРОВкЕ ОНА пРЕД стАВльЕт ВЕЩЕстВЕНН УУ хАРАктЕРИстИЧЕскИЕ ЧАстОты пЕРЕхОДОВ, А с ОБстВЕННыЕ ВЕктОРА И спОльжУУтсь Дль кОНс тРУИРОВАНИь ОпЕРАтО РОВ РОжДЕНИь И УНИЧтО жЕНИь, Аj, И А j t . ЁтА пРОцЕ ДУРА АНАлОгИЧНА пРЕО БРАжОВАНИУ БОгОлУБО ВА. ЁтИ сОБстВЕННыЕ ВЕ ктОРА тАкжЕ ИспОльжУ Утсь Дль ВыРАжЕНИь q И Р ЧЕРЕж лИНЕИНыЕ кОМБИ НАцИИ ЁтИх aj И a j t . НАИДЕН А ФУНкцИь ОсНОВНОгО с ОстОьНИь. В сООтВЕтст ВУУЩЕИ кАлИБРОВкЕ ОН А пРЕДстАВльЕт ВЕЩЕс тВЕННУУ ФУНкцИУ гАУс сА Дль ВЕктОРА ИспОльжУУтс ь Дль кОНстРУИРОВАНИ ь ОпЕРАтОРОВ РОжДЕНИ ь И УНИЧтОжЕНИь, Аj, И А j t . ЁтА пРОцЕДУРА АНАлОг ИЧНА пРЕОБРАжОВАНИУ БОгОлУБОВА. ЁтИ сОБст ВЕННыЕ ВЕктОРА тАкжЕ ИспОльжУУтсь Дль ВыР АжЕНИь q И Р ЧЕРЕж лИНЕИ НыЕ кОМБИНАцИИ ЁтИх aj И a j t . НАИДЕНА ФУНкцИь Ос НОВНОгО сОстОьНИь. В с ООтВЕтстВУУЩЕИ кАлИ БРОВкЕ ОНА пРЕДстАВл ьЕт ВЕЩЕстВЕННУУ ФУН кцИУ гАУссА Дль. РОжДЕНИь И УНИЧтОжЕН Иь, Аj, И А j t . ЁтА пРОцЕДУР А АНАлОгИЧНА пРЕОБРА жОВАНИУ БОгОлУБОВА. Ё тИ сОБстВЕННыЕ ВЕктО РА тАкжЕ ИспОльжУУтс ь Дль ВыРАжЕНИь q И Р ЧЕ РЕж лИНЕИНыЕ кОМБИНА цИИ ЁтИх aj И a j t . НАИДЕНА Ф УНкцИь ОсНОВНОгО сОс тОьНИь. В сООтВЕтстВУ УЩЕИ кАлИБРОВкЕ ОНА п РЕДстАВльЕт ВЕЩЕстВ ЕННУУ ФУНкцИУ гАУссА Дль. АНАлОгИЧНА пРЕОБРАж ОВАНИУ БОгОлУБОВА. Ёт И сОБстВЕННыЕ ВЕктОР А тАкжЕ ИспОльжУУтсь Дль ВыРАжЕНИь q И Р ЧЕРЕ ж лИНЕИНыЕ кОМБИНАцИ И ЁтИх aj И a j t . НАИДЕНА ФУН кцИь ОсНОВНОгО сОстО ьНИь. В сООтВЕтстВУУЩ ЕИ кАлИБРОВкЕ ОНА пРЕ ДстАВльЕт ВЕЩЕстВЕН НУУ ФУНкцИУ гАУссА Дл ь. сОБстВЕННыЕ ВЕктОРА тАкжЕ ИспОльжУУтсь Д ль ВыРАжЕНИь q И Р ЧЕРЕж лИНЕИНыЕ кОМБИНАцИИ ЁтИх aj И a j t . НАИДЕНА ФУНк цИь ОсНОВНОгО сОстОь НИь. В сООтВЕтстВУУЩЕ И кАлИБРОВкЕ ОНА пРЕД стАВльЕт ВЕЩЕстВЕНН УУ ФУНкцИУ гАУссА Дль И Р ЧЕРЕж лИНЕИНыЕ кОМ БИНАцИИ ЁтИх aj И a j t . НАИД ЕНА ФУНкцИь ОсНОВНОг О сОстОьНИь. В сООтВЕт стВУУЩЕИ кАлИБРОВкЕ ОНА пРЕДстАВльЕт ВЕЩ ЕстВЕННУУ ФУНкцИУ гА УссА Дль. ФУНкцИь ОсНОВНОгО сО стОьНИь. В сООтВЕтстВ УУЩЕИ кАлИБРОВкЕ ОНА пРЕДстАВльЕт ВЕЩЕст ВЕННУУ ФУНкцИУ гАУсс А Дль. кАлИБРОВкЕ ОНА пРЕДс тАВльЕт ВЕЩЕстВЕННУ У ФУНкцИУ гАУссА Дль. гАУссА Дль.
Riassunto
Si trova un insieme di soluzioni esatte dell’hamiltoniano positivo deflnitoH=1/2(pM−1p + [q,Aq]+ +qKq), in cuiM eK sono matricin xn reali, simmetriche e A è una matricen xn reale, arbitraria. Questo hamiltoniano corrisponde ad un oscillatore armonico anisotropo in un campo magnetico uniforme. II metodo consiste ncl risolvore un problema di autovalori a 2n dimensioni. Gli autovalori forniscono le frequenze di transizione caratteristiche e si usano gli autovettori per costruire operatori di creazione e annicbilazionea j ea j + . Il procedimento è analogo alla trasformazione di Bogoljubov. Si usano questi autovettori per riesprimere i q e p come combinazioni lineari di questia j ea j + . Si trova la funzione dello stato fondamentale; nella gauge appropriata essa è una funzione gaussiana reale dei.
Preview
Unable to display preview. Download preview PDF.
References
- (1).V. M. Dubner:Isvestiya VUZ Fizika,9, 167 (1966) (English translation:Sov. Phys. Journ.,9, 109 (1970)).Google Scholar
- (3).A. Messiah:Quantum Mechanics, Vol.1, Chap. 12 (New York, 1961).Google Scholar
- (4).B. Zurmül:Matrizen (Berlin, 1961), p. 193;B. Friedman:Principles and Techniques of Applied Mathematics (New York, 1956), p. 107.Google Scholar