Advertisement

Il Nuovo Cimento A (1965-1970)

, Volume 51, Issue 1, pp 74–88 | Cite as

A realization of theUq1 algebra in terms of quantum-mechanical operatorsalgebra in terms of quantum-mechanical operators

  • R. M. Santilli
Article

Summary

We investigate a realization in terms of quantum-mechanical operators of the Lie algebra of the noncompact unitaryUq,1 (q=1, 2,…) group whose first-order Casimir invariant gives rise to differential equations which can be considered as the covariant extensions of theq-dimensional isotropic harmonic-oscillator equation. We investigate the solutions of these equations and the corresponding construction of the discrete most degenerate representations of theUq1 algebra on the Hilbert spaceH(Mq,1) of functions defined on the Minkowski spaceMq,1. Irreducibility and unitarity are also shown.

Keywords

Unitary Representation Lorentz Group Compact Subgroup Cartan Subgroup Commutation Rule 

Реализация алгебрыUq1(q=1,2,...) в терминах операторов квантовой механикив терминах операторов квантовой механики

Резюме

Мы исследуем реализацию алгебры Ли некомпактной унитарной группыUq1 (q=1, 2,…) в термннах операторов квантовой механики, причем, инвариант Казимира первого порядка для этой группы приводит к дифференциальным уравнениям, которые можно рассматривать как ковариантные обобщения уравнения дляq-мерного изотропного гармонического осциллятора. Мы исследуем решения этих уравнений и соответствуюшую конструкцию для дискретных наиболее вырожденных представлений алгебрыUq1 в Гильбертовом пространствеH(Mq,1) для функций, определенных в пространстве МиньковскогоMq,1. Также показывается неприводимость и унитарность.

Riassunto

Si studia una realizzazione delle algebre di Lie non compatteUq1,q=1, 2,…, in termini di operatori quantistici, il cui invariante di Casimir del primo ordine dà luogo ad equazioni differenziali che possono essere considerate come le estensioni covarianti della equazione dell’oscillatore armonico ed isotropo aq dimensioni. Si ricercano le soluzioni di tali equazioni e la corrispondente costruzione delle rappresentazioni discrete più degenerate diUq1 nello spazio di HilbertH(Mq,1) di funzioni definite nello spazio di MinkowskiMq,1. Si mostra infine l’irriducibilità c l’unitarietà delle rappresentazioni così costruite.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

References

  1. (1).
    R. M. Santilli:Nuovo Cimento,44 A, 1284 (1966); Torino preprint (1966).ADSCrossRefGoogle Scholar
  2. (2).
    R. Rączka, N. Limič andJ. Niederle: ICTP preprint IC/66/2.Google Scholar
  3. (3).
    Yu. N. Demkov:Sov. Phys. JETP,36, 63 (1959).MathSciNetGoogle Scholar
  4. (4).
    I. T. Todorov: ICTP preprint IC/66/71.Google Scholar
  5. (5).
    B. Kur_csunoĝlu:Phys. Rev. 135, B 761 (1964).ADSMathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  6. (6).
    R. L. Anderson, J. Fischer andR. Rączka: to appear as ICTP preprint.Google Scholar
  7. (7).
    F. Duimio andG. Zambotti:Nuovo Cimento,43 A, 1203 (1966).ADSCrossRefGoogle Scholar
  8. (8).
    R. Rączka: ICTP preprint IC/65/80.Google Scholar
  9. (9).
    R. Rączka andJ. Fischer: ICTP preprint IC/66/16.Google Scholar
  10. (10).
    N. Bargmann:Ann. Math.,48, 568 (1947).MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  11. (11).
    A. O. Barut andC. Fronsdal:Proc. Roy. Soc., A288, 98 (1965).CrossRefGoogle Scholar
  12. (12).
    A. O. Barut:Phys. Rev.,139 B, 1433 (1965).ADSMathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  13. (13).
    S. P. Alliluev:Sov. Phys. JETP,6, 156 (1958).ADSGoogle Scholar
  14. (14).
    H. Bateman:Higher Transcendental Functions, vol.1, 2, New York, 1953).Google Scholar
  15. (15).
    S. Helgason:Differential Geometry and Symmetric Spaces (New York, 1962).Google Scholar

Copyright information

© Società Italiana di Fisica 1967

Authors and Affiliations

  • R. M. Santilli
    • 1
  1. 1.Istituto di Fisica dell’UniversitàTorino

Personalised recommendations