Il Nuovo Cimento A (1965-1970)

, Volume 52, Issue 3, pp 807–838 | Cite as

Variational formulation of quantum field theory - I 011

  • H. D. Dahmen
  • G. Jona-Lasinio
Article

Summary

In this paper we present a variational approach to quantum field theory which parallels some recent formulations of statistical mechanics. The main interest of this method lies in the fact that the dynamical problem separates naturally into two distinct mathematical problems:A) One first determines the structure of the skeleton diagrams generated by a given interaction Lagrangian, using certain functional differential equations, which contain propagators or vertex functions as independent variables. These equations permit the direct calculation of the mass operator or of the vertex as functionals of the dressed propagator. Furthermore a simple modification of the vertex equation permits the direct reconstruction of the elementary coupling among given particles if their effective interaction is known. This in turn makes it possible to determine any Green’s function as a functional of the propagator and the vertex.B) The actual space-time-dependence of the dressed propagator and of the vertex function for the particular theory under consideration is then determined by nonlinear equations which can be derived from a variational principle. The formulation is carried through without any reference to perturbation theory and the variational principle contains the usual renormalization constants in the form of undetermined Lagrange multipliers. The mathematical structure of the functional differential equations mentioned underA) is studied in some detail. Two classes of solutions can in general exist and only one of them can admit the ordinary perturbation series as an asymptotic expansion. It is conjectured that the other class may correspond to a «collapsed» vacuum and that it becomes relevant in connection with stability problems. Also, the possibility of constructing nonperturbative approximate solutions is explicitly indicated. The nonlinear equation for the propagator mentioned underB) is tentatively reduced to a form to which implicit function theorems of modern functional analysis can perhaps be applied together with iterative schemes of calculation. However to proceed further a deeper understanding of the renormalization problem is necessary.

Keywords

Variational Principle Functional Differential Equation Vertex Function Spontaneous Breakdown Ective Interaction 
These keywords were added by machine and not by the authors. This process is experimental and the keywords may be updated as the learning algorithm improves.

Вариационная формулировка квантовой теории поля.-I

Резюме

В этой статье мы предлагаем вариационный подход к квантовой теории поля, который параллелен некоторым недавним формулировкам статицтической механики. Основное преимущество этого метода состоит в том, что динамическая проблема разделяется естественным образом на две различных математических проблемы:A) Первая проблема определяет структуру каркасных диаграмм, образованных данным Лагранжианом взаимодействия, используя определенные функциональные дифференциальные уравнения, которые содержат пропагаторы или вершинные функции, как независимые переменные. Эти уравнения допускают прямое вычисление массового оператора или вершины, как функционалов «одетого» пропагатора. Более того, простая модификация вершинного уравнения допускает непосредственную реконструкцию элементарной константы связи между данными частицами, если известно их эффективное взаимодействие. Это в свою очередь дает везможность определить любую гриновскую функцию как функционал пропагатора и вершины.Б) Затем определяется действительная пространственно-временная зависимость одетого пропагагора и вершинной функции для данной рассматриваемой теории, с помощью нелинейного уравнения, которое может быть определено из вариационного принципа. Проводится формулировка без использования теории возмущений, и вариационный принцип содержит обычные перенормировочные константы в форме неопределенных множителей Лагранжа. Несколько подробно исследуется матрематическак структура функциональных дифференциальных уравнениний, отмеченных вA). Вообще, могут существовать два класса решений, и только один из них может допускать обычный ряд теории возмущений, как асимптотическое разложение. Делается предположение, что другой класс может соответствовать «коллапсированному» вакууму, и что он становится уместным в связи с проблемами устойчивости. Также аккуратно показывается возможность конструирования приближенных решений, не используя теории возмущений. Нелинейное уравнение для пропагатора, отмеченное вБ), подробно приводится к форме, к которой возможно могут быть применены теоремы неявных функций современного функционального анализа совместно с итерационными схемами вычислений. Однако, чтобы перейти к дальнейшему анализу, необходимо более глубокое понимание проблемы перенормировок.

Riassunto

In questo lavoro si sviluppa una formulazione variazionale della teoria dei campi quantistica in analogia con un punto di vista proposto recentemente da vari autori in meccanica statistica. L’interesse del metodo risiede nel fatto che il problema dinamico si scinde in modo naturale in due diversi problemi matematici:A) dapprima si determina la struttura dei diagrammi «scheletro» generati da una data Lagrangiana mediante l’uso di equazioni alle derivate funzionali in cui propagatori o funzioni vertice compaiono come variabili indipendenti. Queste equazioni consentono di esprimere direttamente l’operatore di massa o il vertice come funzionali del propagatore rinormalizzato. Inoltre una semplice modifica dell’equazione per il vertice consente di ricostruire l’interazione elementare tra particelle date, una volta nota la loro interazione effettiva. Da ciò segue che è possibile esprimere direttamente una qualsiasi funzione di Green come funzionale del propagatore e della funzione vertice.B) La dipendenza spazio-temporale del propagatore e della funzione vertice è determinata da equazioni non lineari che possono essere dedotte da un principio variazionale. La formulazione non fa alcun riferimento alla teoria delle perturbazioni e le usuali costanti di rinormalizzazione compaiono nel principio variazionale sotto forma di moltiplicatori di Lagrange. Si studia con qualche dettaglio la struttura matematica delle equazioni alle derivate funzionali menzionate inA) e si trova che in generale possono ammettere due tipi di soluzioni e che solo un tipo può ammettere la serie perturbativa come sviluppo asintotico. Si fa l’ipotesi che le soluzioni dell’altro tipo possano rappresentare una situazione corrispondente ad un «collasso» dello stato di vuoto e che quindi risultino interessanti ai fini di una discussione della stabilità. Si indica anche la possibilità di costruire esplicitamente approssimazioni non perturbative. Infine si discute brevemente l’equazione non lineare per il propagatore, menzionata inB) e la si riduce ad una forma a cui forse si potranno applicare teoremi di analisi funzionale che conducano a schemi iterativi di calcolo. Tuttavia per procedere ulteriormente è necessario raggiungere una migliore comprensione del problema della rinormalizzazione nell’ambito di questa formulazione.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

References

  1. (1).
    G. Jona-Lasinio:Nuovo Cimento,34, 1790 (1964); andProceedings of the Symposium on the Quantum Theory of Systems with Many Degrees of Freedom, Keszthely, Hungary, 1964 inActa Phys. Hung. Tom.,19.CrossRefGoogle Scholar
  2. (2).
    C. De Dominicis:Journ. Math. Phys.,3, 983 (1962);C. De Dominicis andP. C. Martin:Journ. Math. Phys.,5, 14, 31 (1964).ADSCrossRefGoogle Scholar
  3. (3).
    R. P. Feynman:Phys. Rev.,84, 108 (1951).ADSMathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  4. (4).
    F. J. Dyson:Phys. Rev.,85, 631 (1952).ADSMathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  5. (5).
    Although nonlocal sources are mainly used in this paper as a mathematical device, they can be very physical objects. In this connection see the recent work ofJ. Schwinger:Phys. Rev.,152, 1219 (1966); andSources and Electrodynamics, Preprint Hrvaard University, 1967.ADSMathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  6. (6).
    An equation of this type for quantum electrodynamics can also be found in H. Mitter’s lectures inActa Phys. Austriaca, Suppl. II (1965). However we want to stress that our derivation does not make any use of perturbation theory.Google Scholar
  7. (7).
    J. Schwinger:Proc. Nat. Acad. Sci.,37, 452 (1951).ADSMathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  8. (8).
    See for exampleN. N. Bogoliubov andD. V. Shirkov:Introduction to the Theory of Quantized Fields (New York, 1959), p. 486.Google Scholar
  9. (9).
    K. O. Friedrichs, H. N. Shapiro,et al.: Integration of Functionals, (New York, 1957).Google Scholar
  10. (10).
    R. Courant andD. Hilbert:Methods of Mathematical Physics, vol.2, Ch. VI, Sect.3.7 and9.5 (New York, 1962).Google Scholar
  11. (11).
    V. Volterra:Theory of Functionals, Ch. V, Sect.2, § 2 (New York, 1959).Google Scholar
  12. (12).
    E. J. Whittaker andG. N. Watson:A Course of Modern Analysis, Ch. VIII (Cambridge, 1963).Google Scholar
  13. (13).
    For the connection between δK/δΔ and the Bethe-Salpeter equation see Appendix A.Google Scholar
  14. (14).
    G. Baym:Phys. Rev.,117, 886 (1960).ADSMathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  15. (15).
    L. V. Kantorovich andG. P. Akilov:Functional Analysis in Normed Spaces, Ch. XVII (London, 1964). AlsoJ. Schwartz:Nonlinear Functional Analysis, (New York, 1965).Google Scholar
  16. (16).
    SeeH. Lehmann, K. Symanzik andW. Zimmermann:Nuovo Cimento,2, 425 (1955). AlsoE. Ferrari andG. Jona-Lasinio:Nuovo Cimento,16, 867 (1960).MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  17. (17).
    Y. Nambu andG. Jona-Lasinio:Phys. Rev.,122, 345 (1961).ADSCrossRefGoogle Scholar

Copyright information

© Società Italiana di Fisica 1967

Authors and Affiliations

  • H. D. Dahmen
    • 1
  • G. Jona-Lasinio
    • 2
    • 3
  1. 1.Physics DepartmentWeizmann Institute of ScienceRehovoth
  2. 2.Istituto di Fisica dell’UniversitàRoma
  3. 3.Sezione di RomaIstituto Nazionale di Fisica NucleareRomaItaly

Personalised recommendations