Il Nuovo Cimento A (1965-1970)

, Volume 70, Issue 4, pp 467–501 | Cite as

Gauge-invariant spinor theories

  • H. P. Dürr
  • N. J. Winter
Article
First Online:
Received:

Summary

It is demonstrated that in spinor theories with nonlinear quadratic self-interaction, gauge symmetries connected withx-dependent internal symmetry transformations can be established without the introduction of additional vector fields if the spinor field operator has the noncanonical length dimension −1/2. In this case the theory is scale invariant at small distances and hence formally renormalizable. Operator products can be defined according to prescriptions given by Zimmermann and Wilson. The usual role of the gauge fields in these spinor theories is taken over by the formally constructed vector and axial vector «currents» of the noncanonical spinor fields which have the correct length dimension of boson operators. Physical fermion fields are related to deverivatives of these spinor fields or to 3-products of these fields. The noncanonical spinor field hence may be regarded as a «spinor potential» in the sense that its relation to a physical spinor field is similar to the relation of the vector potential to the physical electromagnetic field. The unobservable «spinor potential» acts in a state space with indefinite metric. Examples forSU n ⊗SU n gauge-invariant theories are given. The Heisenberg nonlinear spinor theory is shown to beSU2 gauge-invariant, and hence the parity symmetry version of Dürr to beSU2⊗SU2 gauge-invariant. This formal invariance, however, does not necessarily imply that the summetry holds in Hilbert space.

Keywords

Gauge Transformation Spinor Theory Axial Vector Spinor Field Subtraction Term 
These keywords were added by machine and not by the authors. This process is experimental and the keywords may be updated as the learning algorithm improves.

Калибровочно инвариантные спинорные теории

Резюме

Показывается, что в спинорных теориях с нелинейным собственным взаимодействием четвертого порядка калибровочные симметрии, связанные с зависящими от «x» преобразованиями внутренней симметрии, могут быть установлены без введения дополнительных векторных полей, если оператор спинорного поля имеет каноническую размерность длины −1/2. В этом случае теория является масштабно инвариантной на малых расстояниях и, следовательно, формально перенормируемой. Произведения оператогов могут быть определены согласно рецептам, данным Циммерманом и Вильсоном. Обычную роль калибровочных полей в этих спинорных теориях принимают формально сконструированные векторный и аксиально векторный «токи» неканонических спинорных полей, в которых бозонные операторы имеют правильную размерность длины. Физические фермионные поля связаны с производными этих спинорных полей или с тройными произведениями этих полей. Следовательно, неканоническое спинорное поле может рассматриваться как «спинорный потенциал» в том смысле, что его связь с физическим спинорным полем является аналогичной связи векторного потенциала с физическим электромагнитным полем. Ненаблюдаемый «спинорный потенциал» действует в пространстве состояний с индефинитной метрикой. Приводятся примеры дляSU n ⊗SU n калибровочно инвариантных теорий. Показывается, что нелинейная спинорная теория Гайзенберга являетсяSU2 калибровочно инвариантной и, следовательно, вариант симметрии четности Дюрра являетсяSU2⊗SU2 калибровочно инвариантным. Эта формальная инвариантность, однако, обязательно не означает, что эта симметрия имеет место только в гильбертовом пространстве.

Riassunto

Si dimostra che, nelle teorie spinoriali con autointerazioni quadratiche non lineari, si possono stabilire delle simmetric di gauge connesse con trasformazioni di simmetrie interne dipendenti dax, senza introdurre ulteriori campi vettoriali se l’operatore di campo spinoriale dà la dimensione lineare non canonica di −1/2. In questo caso la teoria è invariante a piccole distanze rispetto alla scala e quindi formalmente rinormalizzabile. Si possono definire i prodotti di operatori secondo le indicazioni di Zimmermann e Wilson. In queste teorie spinoriali il ruolo consueto dei campi di gauge viene svolto dai vettori costruiti formalmente e dalle «correnti» vettoriali assiali dei campi vettoriali non canonici che hanno la corretta dimensione lineare degli operatori bosonici. I campi dei fermioni fisici sono collegati alle derivate di questi campi spinoriali o ai 3-prodotti di questi campi. Si può considerare quindi il campo spinoriale non canonico come un «potenziale spinoriale» nel senso che la sua relazione con il campo spinoriale fisico è simile alla relazione del potenziale vettore col campo elettromagnetico fisico. Il «potenziale spinoriale» non osservabile agisce in uno spazio degli stati con metrica indefinita. Si forniscono degli esempi per teorie invarianti di gauge perSU n ⊗SU n . Si dimostra che la teoria spinoriale non lineare di Heisenberg è invariante di gauge perSU2, e che, quindi, la versione della simmetria di parità di Dürr è invariante di gauge perSU2⊗SU2. D’altra parte questa invarianza formale non implica necessariamente che la simmetria sia valida nello spazio di Hilbert.

This is a preview of subscription content, log in to check access.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

References

  1. (1).
    H. Weyl:Gruppentheorie und Quantenmechanik, II ed., Chap. 2 (Leipzig, 1931), p. 89.Google Scholar
  2. (2).
    M. Fierz andW. Pauli:Proc. Roy. Soc., A173, 211 (1939);W. Thirring:Fortschr. Phys.,7 59 (1959).ADSMathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  3. (3).
    C. N. Yang andR. L. Mills:Phys. Rev.,96, 191 (1954).ADSMathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  4. (4).
    J. J. Sakurai:Ann. of Phys.,11, 1 (1960);Vector Mesons 1960–1968, Summer Institute (Boulder, 1968).ADSMathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  5. (5).
    P. W. Higgs:Phys. Lett.,12, 132 (1964);Phys. Rev.,145, 1156 (1966).ADSCrossRefGoogle Scholar
  6. (6).
    G. S. Guralnik, C. R. Hagen andT. W. Kibble:Phys. Rev. Lett.,13, 585 (1964);T. W. B. Kibble:Proceedings of the Oxford International Conference on Elementary Particles (1965), p. 19;Proceedings of 1967 International Conference on Particles and Fields (Rochester, 1967), p. 277;Phys. Rev.,155, 1554 (1967).ADSCrossRefGoogle Scholar
  7. (7).
    J. Schwinger:Phys. Rev.,128, 2425 (1962).ADSMathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  8. (8).
    S. Weinberg:A model of leptons, manuscript Oct. 1967.Google Scholar
  9. (9).
    R. Utiyama:Phys. Rev.,101, 1597 (1956).ADSMathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  10. (10).
    S. M. Gupta:Proc. Roy. Soc., A65, 608 (1952);Phys. Rev.,96, 1683 (1954);Rev. Mod. Phys.,29, 337 (1957);W. Thirring:Fortschr. Phys.,7, 97 (1959) (see ref. (2))M. Fierz andW. Pauli:Proc. Roy. Soc., A173, 211 (1939);W. Thirring:Fortschr. Phys.,7 59 (1959);W. Wyss:Helv. Phys. Acta,38, 496 (1965);P. Mittelstaedt andJ. B. Barrour:Zeits. Phys.,203, 82 (1967).ADSGoogle Scholar
  11. (11).
    T. W. B. Kibble:Journ. Math. Phys.,2, 212 (1961).ADSMathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  12. (12).
    W. Heisenberg:Introduction to the Unified Field Theory of Elementary Particles (London, 1966); German edition:Einfürung in die einheitliche Feldtheorie der Elementarteilchen (Stuttgart, 1967).Google Scholar
  13. (13).
    H. P. Dürr, W. Heisenberg, H. Yamamoto andK. Yamazaki:Nuovo Cimento,38, 1220 (1965).CrossRefGoogle Scholar
  14. (14).
    H. Mitter:Nuovo Cimento,32, 1789 (1964).MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  15. (15).
    For details see,e.g.,H. P. Dürr andE. Rudolph:Nuovo Cimento,65 A, 423 (1970).ADSCrossRefGoogle Scholar
  16. (16).
    J. Schwinger:Phys. Rev.,82, 664 (1951);S. L. Adler:Phys. Rev.,177, 2426 (1969);J. S. Bell andR. Jackiw:Nuovo Cimento,60 A, 47 (1969);C. R. Hagen:Phys. Rev.,177, 2622 (1969);B. Zumino:Proceedings of the Topical Conference on Weak Interactions, CERN 69-7 (Geneva, 1969), p. 361;R. A. Brandt:Phys. Rev.,180, 1490 (1969).ADSMathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  17. (17).
    H. P. Dürr:Zeits. Naturforsch,16 a, 327 (1961).ADSGoogle Scholar
  18. (18).
    W. Zimmermann:Nuovo Cimento,10, 597 (1958);Comm. Math. Phys.,6, 161 (1967);8, 66 (1968).CrossRefGoogle Scholar
  19. (19).
    K. G. Wilson:On Products of Quantum Field Operators at Short Distances (unpublished Cornell report, 1964);Phys. Rev.,179, 1499 (1969).Google Scholar
  20. (20).
    R. A. Brandt:Ann. of Phys.,44, 221 (1967);52, 122 (1969);Phys. Rev.,180, 1490 (1969); see ref. (16).J. Schwinger:Phys. Rev.,82, 664 (1951).ADSCrossRefGoogle Scholar
  21. (21).
    I. M. Gel’fand andG. E. Schilow:Verallgemeinerte Funktionen, Vol.1 (Berlin, 1960).Google Scholar
  22. (22).
    K. L. Nagy:State Vector Speces with Indefinite Metric in Quantum Field Theory (Budapest, 1968), earlier references are cited there;H. P. Dürr:Proceedings of the International Symposium on Nonlocal Quantum Field Theory (Dubna, 1969);T. D. Lee andG. C. Wick:Nucl. Phys.,139, 209 (1969);T. D. Lee:Proceedings of the Topical Conference on Weak Interactions, CERN, report 69-7 (1969);H. P. Dürr andE. Seiler:Nuovo Cimento,66 A, 734 (1970).Google Scholar
  23. (23).
    S. N. Gupta:Proc. Phys. Soc., A63, 681 (1950);K. Bleuler:Helv. Phys. Acta,23, 567 (1950).ADSCrossRefGoogle Scholar
  24. (24).
    H. P. Dürr andW. Heisenberg:Zeits. Naturforsch.,16a, 726 (1961);Nuovo Cimento,37, 1446, 1487 (1965).ADSGoogle Scholar
  25. (25).
    Compare alsoK. Johnson:Nuovo Cimento,20, 773 (1961).CrossRefGoogle Scholar
  26. (26).
    J. Schwinger:Quantum Electrodynamics (New York, 1956).Google Scholar
  27. (27).
    M. Gell-Mann:Phys. Rev.,125, 1067 (1962).ADSMathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  28. (28).
    H. Saller andH. P. Dürr:Nuovo Cimento,64A, 145 (1969).ADSCrossRefGoogle Scholar
  29. (29).
    H. P. Dürr, W. Heisenberg, H. Mitter, S. Schlieder andK. Yamazaki:Zeits. Naturforsch.,149, 441 (1959) and later work as cited inW. Heisenberg (12)W. Heisenberg:Introduction to the Unified Field Theory of Elementary Particles (London, 1966); German edition:Einfürung in die einheitliche Feldtheorie der Elementarteilchen (Stuttgart, 1967).Google Scholar
  30. (30).
    M. Fierz:Helv. Phys. Acta,9, 245 (1936).Google Scholar
  31. (31).
    Y. Nambu andG. Jona-Lasinio:Phys. Rev.,122, 345 (1961);124, 246 (1961).ADSCrossRefGoogle Scholar
  32. (32).
    E. Schmutzer:Zeits. Naturforsch.,15 a, 355 (1960).ADSMathSciNetGoogle Scholar
  33. (33).
    M. Gell-Mann:Phys. Lett.,8, 214 (1964);G. Zweig: CERN preprint, TH 402 (1964) (unpublished).ADSCrossRefGoogle Scholar
  34. (34).
    H. Harari:Phys. Rev. Lett.,22, 562 (1969).ADSCrossRefGoogle Scholar
  35. (35).
    J. Kokkedee andL. Van Hove:Nuovo Cimento,42 A, 711 (1966).ADSCrossRefGoogle Scholar
  36. (36).
    See,e.g.,E. Cunningham:Proc. London Math. Soc.,8, 77 (1910);H. Bateman:Proc. London Math. Soc.,8, 223 (1910);P. A. M. Dirac:Ann. of Math.,37, 429 (1936);J. A. McLennan:Nuovo Cimento,3, 1360 (1956).MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  37. (37).
    H. P. Dürr:Proceedings of II International Symposium on Nonlocal Quantum Field Theory, Azau, USSR (March 1970).Google Scholar

Copyright information

© Società Italiana di Fisica 1970

Authors and Affiliations

  • H. P. Dürr
    • 1
  • N. J. Winter
    • 1
  1. 1.Max-Planck-Institut für Physik und AstrophysikMünchen

Personalised recommendations