A method of computing phase shifts and normalizations of continuum-state dirac wave functions
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Summary
A new method is proposed for computing the phase shifts and normalizations of the spherical wave functions of an unbound Dirac electron in the electric field of a point or finite-sized nucleus. The method uses the phase-amplitude formsG(r)=A cosϕ andF(r)=A sinϕ for the radial factors. The first step is to computeϕ(r1), wherer1 is larger than the nuclear radius but is still reasonable for machine computations in many cases of interest. This first step requires a numerical solution of radial differential equations fromr=0 tor=r1. The second step is to compute the phase shift and a normalization correction factor directly from a new asymptotic series, whosen-th term is of the formP(ϕ)r 1 −n , whereP(ϕ) is a finite Fourier series inϕ(r1). Formulae for upper bounds on the error in the series are given and are used to estimate suitable values ofr1 for several cases. The series is especially suitable for problems, like the decay of a μ-mesic atom, where the wave functions must be computed in any case up to distances ≳r1. No comparison is made with other methods.
Riassunto
Si propone un nuovo metodo per calcolare gli spostamenti di fase e le normalizzazioni delle funzioni dell’onda sferica di un elettrone di Dirac non legato nel campo elettrico di un nucleo puntiforme o di dimensioni finite. In questo metodo si usano le formuleG(r)=A cosp edF(r)=A sinp dell’ampiezza di fase per i fattori radiali. Il primo passo è il calcolo diϕ(r1), in cuir1 è maggiore del raggio del nucleo ma ancora adatto per eseguire meccanicamente i calcoli in molti casi interessanti. Questo primo passo esige una soluzione numerica delle equazioni differenziali radiali dar=0 adr=r1. Il secondo passo è il calcolo dello spostamento di fase e del fattore di correzione della normalizzazione direttamente da una nuova serie asintotica il cuin-esimo termine è della formaP(ϕ)r 1 −n , in cuiP(ϕ) è una serie di Fourier finita inϕ(r1). Si danno le espressioni per i limiti superiori dell’errore nella serie, che si usano per stimare gli opportuni valori dir1 in molti casi. La serie è adatta specialmente per quei problemi, come il decadimento di un atomo μ-mesico, in cui le funzioni d’onda devono in ogni caso essere calcolate sino a distanze ≳r1. Non si fanno confronti con altri metodi.
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References
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