Extended functional variation

Riassunto

Si studia il seguente problema: determinare la classe più generale di funzioni di Lagrange, con le quali una data categoria di trasformazioni di coordinate e di variazioni di una categoria arbitraria di oggetti geometrici lascia invariabile il valore del risultante funzionale d’azione. Si dimostra che in tutti i casi si ottiene un sistema di equazioni differenziali parziali lineari o quasi lineari, il cui complesso di soluzioni determina la richiesta classe di lagrangiani. Questi risultati forniscono un metodo diretto per determinare la più generale funzione di Lagrange che ammette una data categoria di simmetrie generalizzate. Se le trasformazioni e variazioni di un gruppoT sono trasformazioni invarianti per una funzione di Lagrange della classe di lagrangiani che ammetteT come gruppo d’invarianti, allora si dimostra cheT è un gruppo di trasformazioni invarianti per ogni elemento della classe di lagrangianiL. Questo risultato non è banale (poichè le equazioni ottenute nella Parte I, che caratterizzano una trasformazione invariante dipendono intrinsecamente dalla funzione di Lagrange considerata) e stabilisce le basi per determinare la più generale funzione di Lagrange che produce una invarianza stretta del funzionale d’azione (cioè, invarianza del funzionale d’azione anche se le equazioni di Eulero-Lagrange non sono soddisfatte).