Advertisement

Il Nuovo Cimento A (1965-1970)

, Volume 33, Issue 3, pp 389–431 | Cite as

The classical mechanics for bose-fermi systems

  • R. Casalbuoni
Article

Summary

In this paper we study in a systematic way the classical mechanics of systems described byc-number variables and by Grassmann variables. We derive the general form of the nonrelativistic action and we study the theory of canonical transformations. For a general action, we show that the Jacobian matrices of the canonical transformations acting onN Grassmann variables form a groupO N, N . This group becomesO N for the nonrelativistic action, due to the presence of second-class constraints. We study some examples which give rise to a correct classical description of the spin. Considering a relativistic extension of one of these models, we get a first quantized «substratum» for the superfield theories.

Классическая механика для Боэе и Ферми систем

Реэюме

В зтой работе мы исследуем систематическим обраэом классическую механику систем, которые описываются с помошью переменных Грассмана и пере-менных, представляюших с числа. Мы выводим обшую форму для нерелятивист-ского действия и исследуем теорию канонических преобраэований. Для обшего действия мы покаэываем, что Якобианы канонических преобраэований, действуюших на N переменных Грассмана, обраэуют группу О N,N . Эта группа преврашается в О N для нерелятивистского действия вследствие наличия ограничений второго класса. Мы исследуем некоторые примеры, которые приводят к правильному классическому описанию спина. Рассматривая релятивистское обобшение одной иэ зтих моделей, мы получаем первично квантованную «основу» для теорий суперполей

Riassunto

In questo lavoro si studia in maniera sistematica la meccanica classica di sistemi descritti da variabili numeroc e da variabili di Grassmann. Si deduce la forma generale dell’azione non relativistica e si studia la teoria delle trasformazioni canoniche. Si mostra che, per un’azione generica, le matrici jacobiane delle trasformazioni canoniche agenti suN variabili di Grassmann formano un gruppoO N,N . Questo gruppo si riduce adO N per l’azione non relativistica, a causa della presenza di vincoli di seconda classe. Si studiano alcuni esempi che danno luogo ad una corretta descrizione classica dello spin. Estendendo relativisticamente uno di questi modelli, si ottiene il « substratum » di prima quantizzazione delle teorie di supercampo.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Literatur

  1. (1).
    R. Casalbuoni:On the quantization of systems with anticommuting variables, Florence preprint (1975).Google Scholar
  2. (2).
    D. V. Volkov andV. P. Akulov:Phys. Lett.,46 B, 109 (1973);J. Wess andB. Zumino:Nucl. Phys.,70 B, 39 (1974);A. Salam andJ. Strathdee:Nucl. Phys.,76 B, 477 (1974). See alsoB. Zumino:Proceedings of the XVII International Conference on High-Energy Physics (London, 1974), Rutherford Laboratory Chilton, Didcot (1974), p. I-254.CrossRefADSGoogle Scholar
  3. (3).
    J. L. Martin:Proc. Roy. Soc.,251 A, 543 (1959).CrossRefADSGoogle Scholar
  4. (4).
    A. Neveu andJ. H. Schwarz:Nucl. Phys.,31 B, 86 (1971);P. Ramond:Phys. Rev. D,3, 2415 (1971).CrossRefADSGoogle Scholar
  5. (5).
    Y. Iwasaki andK. Kikkawa:Phys. Rev. D,8, 440 (1973);L. N. Chang, K. Macrae andF. Mansouri:Phys. Lett.,57 B, 59 (1975). See alsoM. Ademollo, L. Brink, A. d’Adda, R. d’Auria, E. Napolitano, S. Sciuto, E. Del Giudice, P. Di Vecchia, S. Ferrara, F. Gliozzi, R. Musto andR. Pettorino:Supersymmetric string and colour confinement, CERN preprint TH. 2097 (1975).CrossRefADSGoogle Scholar
  6. (6).
    B. Zumino:Supersymmetry, CERN preprint TH. 2120 (1976).Google Scholar
  7. (7).
    F. J. Belinfante, D. J. Caplan andW. L. Kennedy:Rev. Mod. Phys.,29, 518 (1957), and references therein. See also, for more recent attempts related with super-symmetries,L. N. Chang, K. Macrae andF. Mansouri:Phys. Lett.,57 B, 59 (1975);Y. M. Cho andP. G. O. Freund: University of Chicago preprint, EFI 75-15 (1975);P. Nath andR. Arnowitt:Phys. Lett.,56 B, 171 (1975);B. Zumino:Supersymmetry, CERN preprint TH. 2120 (1976).MathSciNetCrossRefADSzbMATHGoogle Scholar
  8. (8).
    J. L. Martin:Proc. Roy. Soc.,251 A, 536 (1959);F. A. Berezin andM. S. Marinov:JETP Lett.,21, 321 (1975).CrossRefADSGoogle Scholar
  9. (9).
    R. Casalbuoni:Relativity and supersymmetries, Florence preprint (1975).Google Scholar
  10. (10).
    P. A. M. Dirac:Lectures on Quantum Mechanics (New York, N. Y., 1964).Google Scholar
  11. (11).
    M. H. L. Pryce:Proc. Roy. Soc.,195 A, 62 (1948); see also, for a recent attempt,A. J. Hanson andT. Regge:Ann. of Phys.,87, 498 (1974), and references therein.MathSciNetCrossRefADSGoogle Scholar
  12. (12).
    D. J. Almond:Ann. Inst. H. Poincaré,19, 105 (1973);Z. Haba:Nuovo Cimento,30 A, 567 (1975).Google Scholar
  13. (13).
    J. Schwinger:Quantum Kinematics and Dynamics (New York, N. Y., 1970).Google Scholar
  14. (15).
    F. A. Berezin:The Method of Second Quantization (New York, N. Y., and London, 1966).Google Scholar
  15. (16).
    We follow essentially the exposition byH. C. Corben andP. Stehle:Classical Mechanics, 2nd Edition (New York, N. Y., London and Sidney, 1965).Google Scholar
  16. (17).
    R. Arnowitt, P. Nath andB. Zumino:Phys. Lett.,56 B, 81 (1975).MathSciNetCrossRefADSGoogle Scholar
  17. (18).
    See, for instance,W. H. Greub:Linear Algebra (Berlin, 1967).Google Scholar
  18. (20).
    H. Boerner:Representations of Groups (Amsterdam, 1963).Google Scholar
  19. (22).
    See, for instance,R. Casalbuoni, J. Gomis andG. Longhi:Nuovo Cimento,24 A, 249 (1974).CrossRefADSGoogle Scholar

Copyright information

© Società Italiana di Fisica 1976

Authors and Affiliations

  • R. Casalbuoni
    • 1
  1. 1.CERNGeneva

Personalised recommendations