Zur Definition und Schätzung von Mittelwerten für zufällige Variable auf der Sphäre
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Zusammenfassung
Diese Arbeit ist die gekürzte Fassung einer Dissertation, die vom Autor 1968 unter gleichem Titel in Würzburg veröffentlicht wurde.
Es ist nicht sinnovll, Mittelwerte für zufällige Variable auf der Sphäre in der üblichen Weise, wie z. B. für zufällige Variable auf der reellen Achse, zu definieren.
W. Uhlmann [1964] bediente sich entscheidungstheoretischer Begriffe, um für zirkuläre zufällige Variable mittlere Winkel zu definieren, die ihre Richtung unabhängig von der Wahl der Null-Richtung beibehalten. Die analoge Invarianzeigenschaft wird für alle hier definierten Mittelwertbegriffe (mittlere Richtung, mittlerer Großkreis, Mittelachse, Mittelkreis) gesichert, indem einfache Forderungen an die zu verwendenden Verlustfunktionen gestellt werden. Da als Schätzungen für diese Mittelwerte stets die entsprechenden Mittelwerte der empirischen Verteilung auftreten, haben diese auch die gleiche Invarianzeigenschaft. Um die Diskrepanz zwischen einer solchen Schätzung und dem zu schätzenden Mittelwert zu messen, werden neue Verlustfunktionen eingeführt. Es wird gezeigt, daß alle eingeführten Schätzungen bezüglich mindestens einer Verlustfunktion unverfälscht sind, d. h. der erwartete Verlust wird minimal, wenn wir aus allen in Frage kommenden Objekten gerade den betreffenden Mittelwert geschätzt werden lassen. Dieser minimale Verlust wird die Dispersion der Schätzung bezüglich dieser Verlustfunktion genannt. Es wird bewiesen, daß alle ermittelten Dispersionen mindestens wien −1/2 gegen Null gehen, wenn n gegen Unendlich strebt.
Summary
This paper is shortened from an equally entitled dissertation which has been published by the author in 1968 at Würzburg.
For random variables on the sphere it would make no sense to define means in the usual way as it is done e. g. for random variables on the real line. Introducing concepts of decision theory,W. Uhlmann [1964] defined mean angles for circular random variables the direction of which does not depend on the choice of the zero direction. Setting up simple conditions for the loss functions to be used, we ensure that all the means defined in the paper (mean directions, mean great circles, mean axes, mean circles) have the analogous invariance property. The estimators of these means are always the corresponding means of the empirical distribution, defined with respect to the same loss function and therefore they have the invariance property too. To measure the discrepance between an estimator and the estimated mean, new loss functions are introduced. It is shown that all the established estimators are unbiased with respect to at least one loss function, i. e. the expected loss is a minimum, if we take just the mean from all the things in question to be estimated by the regarded estimator. This minimum loss is called the dispersion of the estimator with respect to this loss function. It is proved, that all the calculated dispersions go to zero at least asn −1/2, ifn tends to infinity.
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