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Commentarii Mathematici Helvetici

, Volume 17, Issue 1, pp 201–208 | Cite as

Sulla formula di Cauchy n-dimensionale e sopra un teorema di Hartogs nella teoria delle funzioni di n variabili complesse

  • Enzo Martinelli
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References

  1. 1).
    Sopra una dimonstrazione di R. Fueter per un teorema di Hartogs, Comm. Math. Helvetici, vol. 15 (1943), pag. 340.Google Scholar
  2. 2).
    Nelle condizioni generaliD 2n può essere non convesso ed anche avere connessioni (delle varie dimensioni) non semplici.Google Scholar
  3. 3).
    Cfr. la mia nota: La formula di Cauchy per le funzioni analitiche di due variabili complesse, Rend. della R. Accad. dei Lincei, vol. XXV, s. 6a, gennaio 1937, pag. 33; e quella diB. Segre: Sull'estensione della formula integrale di Cauchy e sui residui degli integralin-pli, nella teoria delle funzioni din variabili complesse, Atti del 1o Congresso dell'Union Met. Ital., aprile 1937, pag. 174. Chiamon-dimensionale la formula di cui trattasi (in relazione alla dimensione del ciclo d'integrazione che in essa appare), per distinguerla da una formula (2n−1)-dimensionale che ho altrove stabilito, e che deve anch'essa considerarsi come estensione della formula elementare di Cauchy.Google Scholar
  4. 4).
    Per il concetto e le proprietà che occorrono dell'indice d'allacciamento, cfr. p. es.Alexandroff-Hopf Topologie, t. I (Berlin, Springer 1935), Cap. IX. B. Segre, nel lavoro cit., chiamaN indice d'allacciamento diV n conT 2n−2; la differenza di segno che ivi appare nella definizione diN, rispetto all'attuale esposizione, dipende dalla diversa orientazione che qui si assume per loS 2n.Google Scholar
  5. 5).
    La necessità delle condizioni deve intendersi in relazione alla validità della (1) per unaarbitraria f(z1,...,zn) regolare inD 2n; chè, per particolarif(z1,...,zn) (p. es. per la funzione identicamente nulla), la (1) può valere comunque si prendaV n.Google Scholar
  6. 6).
    Cfr.Lefschetz, Topology (New York 1930), cap. IV.Google Scholar
  7. 7).
    Giacché, qualunque reticolazione diD 2n si presupponga onde costruireW n al modo di Lefschetz, il cicloΓ 2n−1, da intersecarsi conC n+1, costituisce sempre un ciclo subordinato alla reticolazione, ine quanto è il contorno diD 2n Google Scholar
  8. 8).
    Che l'intero contornoΓ 1 diD 2 constituisca un cicloW 1 adatto alla (1) risulta, naturalmente, in modo diretto anche dalle condizioni topologiche I, II, III (n. 2), cui deve soddisfareW 1. Invero, il contornoΓ 1 diD 2 sarà in generale composto di più cicli irriducibiliΓ 1(1),Γ 1(2),...Γ 1(s), dei quali sia p. es.Γ 1(1) il contorno esterno. Allora l'indice d'allacciamento diΓ 1(1) conO vale 1, mentre valgono zero gli analoghi indici relativi aΓ 1(2),...,Γ 1(s). Ne segue che l'indice l'allacciamento diΓ 1=Γ 1(1)+Γ 1(2)+⋯+Γ 1(s) è 1; e tale indice non dipende dalla posizione diO (ciò che è confermato dal fatto che due punti qualunque interni al dominio connessoD 2 sono sempre tra loro omologhi inS 1Γ 1). Inoltre risultaΓ 1∼0 in (D2−O)+O=D2, poichéD 2Γ 1.Google Scholar
  9. 9).
    Come varietàB n+1 può assumersi p. es. quella corrispondente all'intersezione virtuale (Cn+1, D2n−E2n) del n. 3.Google Scholar
  10. 10).
    Cfr. p. es. i. n. 4. della mia nota cit. da principio.Google Scholar

Copyright information

© Birkhäuser Verlag 1944

Authors and Affiliations

  • Enzo Martinelli
    • 1
  1. 1.Roma

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