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Commentarii Mathematici Helvetici

, Volume 14, Issue 1, pp 257–309 | Cite as

Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe

  • Heinz Hopf
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References

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    Seifert-Threlfall, Lehrbuch der Topologie (Leipzig und Berlin 1934), § 48.— Statt “Homologiegruppe” (l. c.) sage ich “Bettische Gruppe”.Google Scholar
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    Die Nullgruppe, oft kurz mit O bezeichnet, ist die Gruppe, die nur ein Element enthält.Google Scholar
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    Zur Orientierung über die bei uns auftretenden Begriffe aus der Gruppentheorie:W. Magnus, Allgemeine Gruppentheorie (Enzyklopädie d. math. Wiss. I1, 9; Leipzig-Berlin 1939), Nr. 4 (besonders p. 17) und Nr. 14.Google Scholar
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    Der “Kern” eines Homomorphismus ist das Urbild des Eins-Elementes der Bildgruppe.Google Scholar
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    Andeutung: Es gibt einen Komplex mit der FundamentalgruppeG (Seifert-Threlfall, l. c. 1) Lehrbuch der Topologie (Leipzig und Berlin 1934), § 48.— Statt “Homologiegruppe”, (l. c.) sage ich “Bettische Gruppe”., 180, Aufgabe 3); der KomplexK′ seiner zweidimensionalen Simplexe hat auch die FundamentalgruppeG; es gibt ferner einen KomplexK″ mit der Fundamentalgruppe 0 und den Bettischen Gruppen ℬ3,...,ℬn in einem Punkt aneinander.Google Scholar
  10. 10).
    Im allgemeinen schreiben wir beliebige Gruppen multiplikativ, Abelsche Gruppen oft additiv; daß wir Γ additiv schreiben, obwohl die Summenbildung i. a. nicht kommutativ ist, wird sich im “Anhang” rechtfertigen (im Hinblick auf das distributive Gesetz der dort behandelten Produktibildung).Google Scholar
  11. 10a).
    Das Zeichen ⊂ bedeute immer: “echter oder unechter Teil von”.Google Scholar
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    Terminologie wie beiAlexandroff-Hopf, l. c. 9) Topologie I (Berlin 1935), 266, Nr. 9);Google Scholar
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    Wegen des Begriffes, “geschlossener Weg” vgl. man die Bücher vonSeifert-Threlfall 1), 149ff., undAlexandroff-Hopf 9) Topologie I (Berlin 1935), 266, Nr. 9), 332ff.; dieser Begriff ist verschieden von dem Begriff “eindimensionaler Zyklus” (oder “eindimensionale geschlossene Kette”).Google Scholar
  14. 13).
    Seifert-Threlfall, Lehrbuch der Topologie (Leipzig und Berlin 1934), § 48.— Statt “Homologiegruppe”, (l. c.) sage ich “Bettische Gruppe”. § 49.Google Scholar
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    Man darf annehmen, daß die Eckpunktee 1,e 2 vony i, in denenw 1 undw 2 enden, zusammenfallen; wenn dies zunächst nicht so ist, so verlängere manw 2 zu einem Wegw 2, indem man auf dem Rande vony 1 im negativen Sinne vone 2 bise 1 läuft, und ersetzew 2 durchw 2 Google Scholar
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    Der Koeffizientenbereich für die Zyklen und Homologien ist in dieser Arbeit immer der Ring der ganzen Zahlen.Google Scholar
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    K. Reidemeister, Einführung in die kombinatorische Topologie (Braunschweig 1932), 107.Google Scholar
  18. 17).
    Es ist ℭ=ℭ, ℭ(ℛ) =ℭ(ℛ)Google Scholar
  19. 18).
    Beispiel: die “Summe” zweier ExemplareT 1,T 2 des topologischen Produktes von drei Kreisen, die man erhält, wenn man ausT 1 undT 2 je eine Vollkugel ausbohrt und dann die Randflächen zusammenheftet.Google Scholar
  20. 19).
    l. c. ; (IV), 221 (die dort formulierte Voraussetzung, daß die Räume inallen Dimensionen ≥2 asphärisch seien, ist für den Beweis offenbar unnötig).Google Scholar
  21. 20).
    Seifert-Threlfall, Lehrbuch der Topologie (Leipzig und Berlin 1934), § 48.— Statt “Homologiegruppe”, (l. c.) sage ich “Bettische Gruppe”. 180, Aufgabe 3.Google Scholar
  22. 21).
    l. c. 7) ; (II), Satz I.Google Scholar
  23. 22).
    Das ist der einfachste Spezialfall eines Satzes vonE. Witt: Treue Darstellung Liescher Ringe, Crelles Journal 177 (1937), 152–160, Satz IV.Google Scholar
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    Seifert-Threlfall, Lehrbuch der Topologie (Leipzig und Berlin 1934), § 48.— Statt “Homologiegruppe”, (l. c.) sage ich “Bettische Gruppe”., 210, 215.Google Scholar
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    l. c. 7) ; (I), Satz IV; (IV), 216.Google Scholar
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    Alexandroff-Hopf, Topologie I (Berlin 1935), 266, Nr. 9); 308, Formel (12).Google Scholar
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    l. c. 22), Satz IVGoogle Scholar
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    l. c. Satz 12; sowieW. Magnus, Math. Annalen 111 (1935), 259–280, speziell 269.Google Scholar
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    Cf.Alexandroff-Hopf, Topologie I (Berlin 1935), 266, Nr. 9); 586ff.Google Scholar
  30. 29).
    Um ganz korrekt zu sein, sollte man nicht sagen, daßG’ mit ℬ1 identisch ist, sondern daß eine natürliche isomorphe Abbildung,I 1 vonG auf ℬ1 vorliegt; statt (1) hat man dann zu schreiben:I 1 I 2 G’.Google Scholar
  31. 30).
    H. Hopf, Zur Algebra der Abbildungen von Mannigfaltigkeiten, Crelles Journ. 163 (1930), 71–88. Wegen weiterer Literatur sowie der obigen Eigenschaft (C) vgl. man auch meine Arbeit in den Comment. Math. Helvet. 13 (1941), 219–239, speziell 219 und 235f.Google Scholar
  32. 31).
    Das ist ein Spezialfall eines allgemeineren Satzes, der auch für höhere Dimensionszahlen gilt:H. Hopf, Über die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen, Annals of Math. 42 (1941), 22–52; Nr. 34, 35.CrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  33. 32).
    Ein solcher geometrischer Beweis ist an dieser Stelle unseres Gedankenganges natürlicher und bequemer als ein rein algebraischer Beweis; ein solcher, der aus methodischen Gründen erwünscht ist, wird in dem “Anhang” angegeben werden.Google Scholar
  34. 33).
    Führt man wie in Fußnote 29 den IsomorphismusI 1 ein, so hat man statt (5*) zu schreiben:\(U \cdot \bar Z = I_1 [I_2^{ - 1} U \cdot I_3^{ - 1} \bar Z]\).Google Scholar
  35. 34).
    Die Frage bleibt offen, ob auch die nicht-reduzierten Produktbildungen je zweier Elemente von ℬn-1 bzw. von\(\mathfrak{B}^{n_1 - 1} \) miteinander isomorph sind.Google Scholar
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    Whitney,l. c. 3). Theorem 6.CrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  37. 36).
    l. c.4). Es ist bemerkenswert, daß auch bei Reidemeister die Fälleq 1=2,p 1≥1, besonders behandelt werden müssen; ob ein innerer Zusammenhang zwischen den beiden Methoden besteht, ist mir nicht klar.CrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  38. 37).
    Cf.Witt, l. c. 32), § 4; (die dortigenG n sind unsere\(\mathfrak{C}_\mathfrak{G}^{n - 1} \)).Google Scholar
  39. 38).
    l. c. 22) ; auf unseren Beweis in Nr. 13 b dürfen wir uns nicht berufen, da der obige “Anhang” einen rein algebraischen Charakter haben soll.Google Scholar

Copyright information

© Birkhäuser-Verlag 1941

Authors and Affiliations

  • Heinz Hopf
    • 1
  1. 1.Zürich

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